Sekvenční kompaktnost

V matematiky , je postupně kompaktní prostor je topologický prostor , ve kterém jakákoliv sekvence má alespoň jeden konvergentní posloupnost . Pojem sekvenční kompaktnost udržuje úzké vazby s kvazi-kompaktností a kompaktností a spočítatelnou kompaktností . Pro metrický prostor (zejména pro normalizovaný vektorový prostor ) jsou tyto čtyři koncepty ekvivalentní.

Kompaktní celek je intuitivně „malý“ a „uzavřený“ v tom smyslu, že z něj nelze „uniknout“. Pokud z této množiny vytvoříme řadu bodů, její prvky se od sebe nemohou příliš vzdálit a zaměřit se na určité hodnoty. Tento článek navrhuje přístup ke kompaktnosti v omezeném rámci metrických prostorů, kde je ekvivalentní sekvenční kompaktnosti.

Srovnání s kompaktností

Prostor je považován za kompaktní, pokud je samostatný a téměř kompaktní . Obvyklá definice kvazi-kompaktnosti je však ekvivalentní následující, která odpovídá slovo za slovem definici postupné kompaktnosti, s jedním rozdílem: sekvence jsou nahrazeny zobecněnými sekvencemi :

Kvazi-kompaktní prostor je topologický prostor, ve kterém má jakákoli zobecněná sekvence alespoň jednu konvergující zobecněnou posloupnost .

Několik protikladů stačí k tomu, aby se přesvědčil, že toto přidání slova „zobecněný“ je velmi důležité. Nejznámější jsou:

první nespočetné pořadový [0, w 1 [(poskytnuto v topologii objednávky ) a dlouhé řady , postupně kompaktní a odděleny, ale kompaktní;
prostor produkt {0, 1} ℝ a kamene Čech compactified βℕ z ℕ , kompaktní, ale ne postupně kompaktní (tedy ne sekvenční ). (Kromě toho, tyto dva kompakty jsou oddělitelné a přitom „velmi velký“: oni dokonce kardinál 2 ℭ jako sada dílů z ℝ ).

Mezi těmito dvěma pojmy však existují vazby prostřednictvím mnohostranné koncepce spočetné kompaktnosti (někdy za určitých předpokladů, vždy ověřené, když je prostor měřitelný ): viz podrobný článek.

Na druhou stranu, jakýkoli „dostatečně malý“ kompaktní je postupně kompaktní. Podle hypotézy kontinua se toto „dostatečně malé“ překládá jako: „mající nanejvýš tolik prvků jako ℝ“. Přesněji (a bez předpokladu nepřetržitého):Jakákoli kvazi-kompaktní s mohutností menší nebo rovnou ℵ 1 je postupně kompaktní.

Vlastnosti

Jakýkoli konečný prostor nebo obecněji jakékoli podprostorové konečné sjednocení sekvenčně kompaktních částí stejného prostoru je jasně sekvenčně kompaktní.
Jakýkoli prostor s počitatelnými základnami sousedství, který je ohraničený ω ( tj. Ve kterém je adheze jakékoli spočetné části kvazi-kompaktní) je postupně kompaktní.
V samostatném prostoru, stejně jako je uzavřena jakákoli kompaktní část, je postupně uzavřena jakákoli postupně kompaktní část K , tj. Stabilní omezeními posloupností (libovolná posloupnost bodů K, která konverguje, má svou mez v K ), ale ne nutně uzavřená : příklad [0, ω 1 [ není uzavřen v [0, ω 1 ].
Jakákoli postupně uzavřená část (a tím spíše jakákoli uzavřená část) sekvenčně kompaktního prostoru je sekvenčně kompaktní, stejně jako jakákoli uzavřená část (téměř) kompaktu je (téměř) kompaktní .
Stejně jako průsečík libovolné klesající posloupnosti neprázdných kompaktů je průnik libovolné klesající posloupnosti neprázdných sekvenčně kompaktních částí $F n$ neprázdný. Ostatně, pojďme si vybrat pro všechny $n$ prvku $u n$ o $F n$ . Sekvence $( u n )$ připouští konvergentní subsekvenci ve $F 0$ . U všech $n$ má subsekvence hodnoty ve $F n$ od určité pozice a protože je tato sada postupně uzavřena, obsahuje limit.
Stejně jako kvazi-kompaktnost je sekvenční kompaktnost zachována kontinuálními obrazy.

Demonstrace

Nechť f je spojitá (nebo dokonce jen postupně spojitá ) mapa na postupně kompaktním prostoru K a ( y n ) posloupnost bodů f ( K ), kde y n = f ( x n ), pak posloupnost ( x n ) připouští subsekvenci konvergující k prvku X o k . Kontinuitou posloupnost obrazů konverguje k f ( X ), které patří k f ( K ).

Sekvenční kompaktnost je u produktů zachována nanejvýš spočítatelně (zatímco u všech produktů je zachována kvazikompaktnost ). Pro libovolný kardinál κ větší nebo rovný síle kontinua ℭ ( kardinál ℝ nebo množina částí ℕ) je kompaktní {0, 1} κ - produkt κ kopií diskrétního prostoru {0 , 1} - není postupně kompaktní.

Demonstrace a protiklad

Nechť X je produkt posloupnosti ( X i ) i ∈ℕ sekvenčně kompaktních prostorů a nechť ( x j ) j ∈ℕ posloupnost prvků X (posloupnost posloupností). Z n 0 ( j ) = j sestrojíme indukcí sekvenci extraktorů n p , každý extrahovaný z předchozího a takový, že v X p posloupnost konverguje k určitému x p (k extrakci z n p subsekvenci n p +1 splňující tuto podmínku, použijeme postupnou kompaktnost X p ), poté nastavíme (pro libovolné přirozené číslo p ) φ ( p ) = n p ( p ) (v případě hotového výrobku X 0 ×… × X m –1 , není nutné aplikovat tento diagonální proces : můžeme jednoduše vzít φ = n m ). Tento extraktor φ pak dává sekvenci extrahovanou z ( x j ) j ∈ℕ, která konverguje konstrukcí k prvku ( x p ) p ∈ℕ z X , který dokončí důkaz. ${\ displaystyle (x_ {n_ {p + 1} (j)} ^ {p}) _ {j \ in \ mathbb {N}}}$
Nechť S = {0, 1} ℕ je množina posloupností s hodnotami v {0, 1}. Kompaktní T = {0, 1} S není postupně kompaktní. Ve skutečnosti je T identifikován se sadou, poskytovanou topologií jednoduché konvergence , mapování S v {0, 1}, ale můžeme vytvořit sekvenci ( f n ) n such takových mapování, z nichž žádná subsekvence ( f φ ( j ) ) nemá žádné omezení. K tomu stačí definovat f n pomocí: f n ( s ) = s n pro všechna s . Pro každý extrakční cp, považují prvek je z S tak, že je n = 1 , pokud n = φ ( j ), pro i celé číslo j a s n = 0 pro všechny ostatní hodnoty n . Potom se posloupnost f φ ( j ) ( s ) = s φ ( j ) střídavě rovná 1 a 0 proto nemá žádné omezení, což dokazuje, že posloupnost ( f φ ( j ) ) ( f n ) n ∈ ℕ nemá v T žádný limit .

Poměrně postupně kompaktní část

Část z topologického prostoru X se nazývá postupně relativně kompaktní, pokud jsou všechny tyto hodnoty v A má alespoň jeden sub-sekvence, která konverguje X . Tuto představu je třeba srovnávat s pojmem relativní kompaktnosti a relativní spočetné kompaktnosti, ale adheze relativně postupně kompaktní části nebo dokonce sekvenčně kompaktní části nemusí být nutně postupně kompaktní.

Kompaktní metrické prostory

Velmi velké množství problémů s topologií a funkční analýzou vzniká v kontextu normalizovaných vektorových prostorů jakékoli dimenze nebo obecněji v metrických prostorech. Hlavním nástrojem je pak pojem konvergentní sekvence . Pokud máme vzdálenost v prostoru, můžeme z kompaktnosti odvodit spoustu informací a můžeme ji charakterizovat pomocí následující základní věty.

Bolzano-Weierstrassova věta

Bolzanova věta - Weierstrass - Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, je-li kompaktní.

Uzavřené ohraničení

V metrickém prostoru:

uzavřené části jsou postupně uzavřené části ;
část je považována za ohraničenou, pokud je zahrnuta v kouli ;
uzavřené koule představují jednoduché příklady ohraničené uzavřené, ale jiné nejsou „z jednoho kusu“ (viz spojitost pro formalizaci tohoto pojmu). Spojení dvou uzavřených koulí je tedy stále omezeným uzavřením, nebo také soupravou Cantor ;
Jakákoli postupně kompaktní část je uzavřena (podle jedné z vlastností uvedených výše ) a ohraničena, ale konverzace je nepravdivá, dokonce i v normalizovaném vektorovém prostoru .

Tato konverzace však platí, když metrický prostor je skutečná čára, obvyklá rovina nebo obecněji skutečný vektorový prostor konečné dimenze opatřený normou :

Věta o Borelovi - Lebesgue - In, n , kompaktní jsou ohraničené uzavřené.

Článek „ Borel-Lebesgueova věta “ to demonstruje z pojmu kompaktnosti, ale lze jej také dát z toho, zde ekvivalentního , o sekvenční kompaktnosti:

Demonstrace sekvenční kompaktností

Už víme, že v metrickém prostoru je vše postupně kompaktní uzavřeno a ohraničeno. V ℝ n naopak, pokud K je uzavřená ohraničená část, pak je to uzavřená z krychle [- M , M ] n pro M dostatečně velkou. Kvůli slabé formě „Bolzano-Weierstrassovy věty“ v ℝ (každá ohraničená reálná sekvence připouští konvergentní subsekvenci), [- M , M ] je postupně kompaktní, takže i její produkt (krychle) . Jelikož je K v této krychli sekvenčně uzavřen, dědí tuto sekvenční kompaktnost .

O metrickém prostoru se říká, že je vhodný, pokud jsou všechny jeho uzavřené koule kompaktní nebo, což se rovná stejné věci, pokud jsou jeho kompakty uzavřenými ohraničenými. Předchozí věta je optimální v následujícím smyslu:

Rieszova věta o kompaktnosti - Skutečný normalizovaný vektorový prostor je správný (pokud a), pouze pokud má konečnou dimenzi.

Část „if“ sestává z ekvivalence norem k charakterizaci kompaktů ℝ n , které poskytuje Borel-Lebesgueova věta.

Část „pouze pokud“ je vlastní Rieszova věta o kompaktnosti a je opět demonstrována mimo jiné pomocí Bolzano-Weierstrassovy věty .

Omezení velikosti

Metrický prostor X se říká, že prekompaktní případně sekvence X má Cauchyova posloupnost . Je tedy okamžité, že X je sekvenčně kompaktní právě tehdy, když je předkompaktní a kompletní .

V důsledku toho je jakýkoli (postupně) kompaktní měřitelný prostor homeomorfní s uzavřenou Hilbertovou krychlí [0, 1] ℕ (protože jakákoli předkompaktní metrika je oddělitelná a jakýkoli oddělitelný měřitelný prostor je homeomorfní s podprostorem [0, 1] ℕ ) . Zejména má nanejvýš sílu spojitého .

Poznámky a odkazy

(ps) Raymond Mortini, topologie , věta 7,2 s. 32 (Mortini používá, stejně jako anglické reproduktory, slovo „compact“ pro označení našich kvazi-kompaktů.)
Je obtížné vybudovat samostatný postupně kompaktní prostor oddělitelný od kardinálu přísně větší než síla spojitého : ZFC nestačí, ale nevylučuje, že existuje. (en) „ Velikost uzavření sady “ , v matematice. výměna zásobníku .
(in) Norman Levine , „ My kompaktnost a sekvenční kompaktnost “ , Proc. Hořký. Matematika. Soc. , sv. 54,1976, str. 401-402 ( číst online ).
(in) Peter Nyikos , „ Sekvenční rozšíření spočetně kompaktních prostorů “ , Topology Proceedings , sv. 31, n O 22007, str. 651-665 ( číst online )a (en) Ofelia T. Alas a Richard G. Wilson : „ Kdy je kompaktní prostor postupně kompaktní? ” , Topology Proceedings , sv. 29, n O 22005, str. 327-335 ( číst online ) dejte novější věty zajišťující, že kvazi-kompaktní nebo „dostatečně malý“ kompaktní počet (v různých smyslech) je postupně kompaktní.
(in) David Gauld, neměřitelné potrubí , Springer ,2014( číst online ) , s. 51.
Pro přechodné případy ω₁ ≤ kappa <ℭ viz (in) Eric van Douwen (in) , „The Integrers and Topology“ , v Kenneth Kunen a Jerry E. Vaughan, The Handbook of Set-Theoretic Topology , North Holland,1984( číst online ) , s. 111-167, Čt 5.1 a 6.1.
(in) Charles Castaing , Paul Raynaud de Fitte a Michel Valadier , Young Measures were Topological Spaces: With Applications in Control Theory and Probability Theory , Springer ,2004, 320 s. ( ISBN 978-1-4020-1963-0 , číst online ) , s. 83.
Christian Samuel, „ Eberlein-Šmulianova věta “ , University of Aix-Marseille , s. 2 2-3 .
Jinak by obsahoval posloupnost prvků, jejichž vzdálenosti od pevného bodu mají sklon k nekonečnu, tedy bez konvergentní subsekvence.
Zejména (zapomenutím na strukturu) komplexní normovaný vektorový prostor, jehož skutečná dimenze bude dvojnásobná.
Obecněji řečeno, jakýkoli kompaktní prostor s počitatelnými základnami čtvrtí má nanejvýš sílu spojitého .

Podívejte se také

Související články

Úvod do Banach-Alaogluovy věty v článku Slabá topologie
Eberlein-Šmulianova věta a sekvenční charakterizace reflexních prostorů

Externí odkaz

(en) Ronald Brown , „ Na sekvenčně správných mapách a postupném zhutňování “ , J. Lond. Matematika. Soc. , sv. 7, n O 21973, str. 515-522 ( číst online )