Rychlost vlny

Vlna je porucha, která se pohybuje v médiu. Je možné s ním spojit dvě rychlosti vln , jmenovitě rychlost fáze a rychlost skupiny, které se někdy nerovnají:

V homogenním médiu má šíření monochromatické (nebo sinusové) vlny v daném směru za následek jednoduchý překlad sinusoidy rychlostí, která se nazývá fázová rychlost nebo celerita . V nedisperzním médiu nezávisí tato rychlost na frekvenci. Přeložením monochromatických vln různých frekvencí (nebo pulzací) získáme složitější vlny (viz Spektrální analýza ). Když je fázová rychlost nezávislá na frekvenci, výsledná vlna také prochází globálním posunem svého profilu, bez deformace.
V disperzním médiu nebo když jsou směry šíření různorodé (v rozměru větším než 1) se příslušné složky rozptýlí. V tomto případě je často možné identifikovat vlnové pakety (nebo skupiny vln) pohybující se skupinovou rychlostí odlišnou od fázových rychlostí komponent.

Rychlost fáze

Rychlost fáze se vlny je rychlost, při které se fáze vlny prochází prostorem. Výběrem konkrétního bodu vlny (např. Vrcholu) se tento nehmotný bod pohybuje v prostoru fázovou rychlostí. Vyjadřuje se jako funkce pulzace vlny ω a počtu vln $k$ :

v _ {\ phi} = \ frac {\ omega} {\ mathrm {Re} (k)}

Zápis představuje skutečnou část komplexu $k$ . Imaginární část $k,$ která má pouze účinek zeslabení amplitudy, je nutné vzít v úvahu pouze skutečnou část modulu vlny. Nyní předpokládejme $k$ skutečné. Počínaje monochromatickou vlnou definovanou v prostoru a čase pomocí , uvažujme o vlnové ploše, která se skládá ze všech bodů, které mají stejnou hodnotu a následně stejnou hodnotu fáze : je to fázový plán . Pokud je fázová rovina umístěna v čase a v čase , pak: $\ mathrm {Re} (k)$ $\ psi (x, t) = \ psi _ {{0}} \ cos (\ omega t-kx + \ phi _ {{0}}) \,$ $\ psi \,$ $\ phi \,$ $\ phi \,$ $X \,$ $t \,$ $x + dx \,$ $t + dt \,$

\ phi = \ omega t-kx + \ phi _ {{0}} \,.

\ phi = \ omega (t + dt) -k (x + dx) + \ phi _ {{0}} \,.

Rozdíl tedy : tj $0 = \ omega dt-kdx \ ,,$

v _ {{\ phi}} = {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {\ omega} {k}}.

Případ elektromagnetických vln

Ve vakuu se fázová rychlost elektromagnetické vlny rovná konstantě, kterou je rychlost světla . V transparentním médiu klesá o faktor, který je podle definice roven indexu lomu n média: $vs.$

n = {\ frac {c} {v _ {{\ phi}}}} \,

Kromě toho, že toto médium je obecně disperzní, index závisí na vlnové délce , což vede k zavedení pojmu skupinové rychlosti, který si všimneme , a to v případě, že pozorovaná vlna je superpozicí nebo lineární kombinací monochromatických vln sousedních frekvencí. . Ve skutečnosti je v daném okamžiku superpozice komponent v určitých bodech konstruktivní , v jiných však destruktivní . $v_ {g} \,$

Rychlost skupiny

Z výše uvedeného je fázová rychlost monochromatické vlny stejná jako poměr její pulzace k jejímu počtu vln (norma vlnového vektoru ).

Uvažujme nejjednodušší případ vlny složené ze superpozice dvou vln sousedních pulzací a jednotkové amplitudy (fáze, které zasahují málo, jsou ignorovány):

\ psi (x, t) = \ cos (\ omega _ {1} t-k_ {1} x) + \ cos (\ omega _ {2} t-k_ {2} x). \,

Použitím klasického vztahu v trigonometrii, podle kterého se součet kosinů rovná součinu kosinů ( Simpsonovy vzorce ), přichází:

\ psi (x, t) = 2 \ cos \ left ({\ frac {\ omega _ {2} + \ omega _ {1}} {2}} t - {\ frac {k_ {2} + k_ {1 }} {2}} x \ right) \, \ cos \ left ({\ frac {\ omega _ {2} - \ omega _ {1}} {2}} t - {\ frac {k_ {2} - k_ {1}} {2}} x \ vpravo).

Uvažovanou vlnu tedy tvoří součin 2 výrazů:

První je monochromatická vlna, jejíž fázová rychlost odpovídá váženému průměru fázových rychlostí obou složek jejich příslušnými vlnovými vektory. $v _ {{\ phi}} = {\ frac {\ omega _ {2} + \ omega _ {1}} {k_ {2} + k_ {1}}}$
Druhá je další monochromatická vlna, jejíž fázová rychlost je . Poté funguje jako amplitudový modulátor prvního členu. $v _ {{\ phi}} = {\ frac {\ omega _ {2} - \ omega _ {1}} {k_ {2} -k_ {1}}}$

Objeví se tedy úderový jev, kdy je sinusoida s charakteristikami blízkými charakteristikám obou složek amplitudově modulována sinusoidu s nižší pulzací. U hodnot blízkých dvěma pulzům a dvěma vlnovým vektorům komponent je rychlost skupiny přibližně stejná $v_ {g} = {\ frac {{\ mathrm d} \ omega} {{\ mathrm d} k}}.$

V obecném případě superpozice mnoha monochromatických vln se tato rychlost skupiny týká obálky složitější než sinusoida. Je možné zobecnit předchozí přístup k vlnění paketů v prostoru s několika rozměry.

Vztah, který vyjadřuje pulzaci jako funkci vlnového vektoru, je disperzní vztah . Když je pulzace přímo úměrná modulu vlnového vektoru a všechny jsou kolineární , pak je fázová rychlost nezávislá na pulzaci a skupinová rychlost se rovná této běžné fázové rychlosti. Jinak se obálka vlny během šíření deformuje.

Případ elektromagnetických vln

U elektromagnetické vlny závisí rychlost fáze a rychlost skupiny na aproximaci (platí pouze pro nízké frekvence):

v_ {g} v _ {{\ phi}} = {\ frac {c ^ {2}} {n ^ {2}}}

kde je rychlost světla ve vakuu a index lomu média. $vs.$ $ne$

Disperze, která je základem skupinové rychlosti odlišné od fázové rychlosti, je důležitým účinkem, který se bere v úvahu pro přenos informací optickými vlákny .

Skupinová rychlost je obecně prezentována jako rychlost, při které je energie nebo informace přenášena vlnou. Tento popis je obecně platný, i když je stále možné provádět experimenty, ve kterých je rychlost laserových pulzů odesílaných do konkrétních materiálů větší než rychlost přenosu signálu.

Informační rychlost

Za určitých okolností může být fázová rychlost elektromagnetické vlny větší než rychlost světla ve vakuu: to je případ, kdy pro určité frekvence je index lomu média menší než 1 (tento jev pozorujeme u X- paprsky). Taková situace však nezahrnuje přenos energie nebo informace rychlostí větší než je rychlost světla.

Rychlost informace je skutečně omezena nižší ze dvou rychlostí, což znamená , z výše uvedeného vztahu vyplývá: $v _ {{\ text {info}}} = \ min (v _ {{\ phi}}, v_ {g})$

v _ {{\ text {info}}} \ leq {\ frac {c} {n}}.

Chcete-li být o tom přesvědčeni, předpokládejme . V tomto případě informace, které by byly přenášeny určitými složkami vlny (rychlostí ), zmizí v modulačním procesu, protože tato periodicky přepisuje amplitudu těchto složek. Informace tedy může být přenášena pouze vlnovou skupinou. Můžeme mít podobné uvažování, když . $v_ {g} <v _ {{\ phi}}$ $v _ {{\ phi}}$ $v_ {g}> v _ {{\ phi}}$

Historický

Rozdíl mezi rychlostí skupiny a fázovou rychlostí poprvé zavedl v roce 1880 Georges Gouy .

Reference

Émile Picard , „ Pocta památce Georgesa Gouye “, týdenní zprávy o zasedáních Akademie věd , t. 182, n o 5,1 st 02. 1926, str. 293 ( číst online )

Podívejte se také

Související články

externí odkazy

Animace o Futura-Sciences