Gauss-Codazziho rovnice
V Riemannian geometrii , že Gauss-Codazzi-Mainardi rovnice jsou základní rovnice v rámci teorie nadploch ponořených v euklidovském prostoru , a obecněji Podvariety z Riemannově potrubí . Existují také aplikace pro případ hyperplošin ponořených do pseudoriemanianského potrubí .
V klasické povrchové geometrii se Gauss-Codazzi-Mainardiho rovnice skládají z dvojice rovnic. První rovnice, někdy nazývaná Gaussova rovnice, spojuje vnitřní zakřivení (nebo Gaussovo zakřivení ) povrchu s deriváty Gaussovy mapy prostřednictvím druhé základní formy . Tato rovnice je základem Gaussovy věty egregium . Druhá rovnice, někdy nazývaná Codazzi-Mainardiho rovnice , je strukturální podmínkou pro druhé deriváty Gaussovy mapy. Tato rovnice zahrnuje vnější zakřivení (nebo průměrné zakřivení ) povrchu. Tyto rovnice ukazují, že složky druhé základní formy a její deriváty zcela klasifikují povrch až do euklidovské transformace , která se rovná jedné z vět Pierre-Ossian Bonnet .
Formální prohlášení
Nechť i: M ⊂ P je n -dimenzionální subvarieta ponořená v Riemannově varietě P dimenze n + p . Existuje přirozené zahrnutí svazku tangenty z M v tom, že z P a cokernel je normální svazek z M :
0→TXM→TXP|M→TX⊥M→0.{\ displaystyle 0 \ rightarrow T_ {x} M \ rightarrow T_ {x} P | _ {M} \ rightarrow T_ {x} ^ {\ perp} M \ rightarrow 0.}Metrika poskytuje následující přesný efekt :
TP|M=TM⊕T⊥M.{\ displaystyle TP | _ {M} = TM \ oplus T ^ {\ perp} M.}Po této posloupnosti se spojení Levi-Civita ∇ ′ P rozpadne na tangenciální složku a normální složku. Pro každé X ∈ T M a vektorové pole Y na M ,
∇X′Y=⊤(∇X′Y)+⊥(∇X′Y).{\ displaystyle \ nabla '_ {X} Y = \ top (\ nabla' _ {X} Y) + \ bot (\ nabla '_ {X} Y).}Je
∇XY=⊤(∇X′Y),α(X,Y)=⊥(∇X′Y).{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = \ top (\ nabla '_ {X} Y), \ quad \ alpha (X, Y) = \ bot (\ nabla' _ {X} Y).}Gaussův vzorec pak zajišťuje, že ∇ X je spojení Levi-Civita pro M a α je symetrický vektorový diferenciální tvar s hodnotami v normálním svazku.
Okamžitým důsledkem je Gaussova rovnice. Pro X , Y , Z , W ∈ T M ,
⟨R′(X,Y)Z,Ž⟩=⟨R(X,Y)Z,Ž⟩+⟨α(X,Z),α(Y,Ž)⟩-⟨α(Y,Z),α(X,Ž)⟩{\ displaystyle \ langle R '(X, Y) Z, W \ rangle = \ langle R (X, Y) Z, W \ rangle + \ langle \ alpha (X, Z), \ alpha (Y, W) \ rangle - \ langle \ alpha (Y, Z), \ alpha (X, W) \ rangle}kde R je zakřivení tensor P a R je M .
Weingarten rovnice je analogem vzorce Gaussovy pro připojení v normálním svazku. Nechť X ∈ T M a ξ je pole normálových vektorů. Potom rozložíme kovarianční derivaci ξ na X na normální a tangenciální složku:
∇Xξ=⊤(∇Xξ)+⊥(∇Xξ)=-NAξ(X)+DX(ξ).{\ displaystyle \ nabla _ {X} \ xi = \ top (\ nabla _ {X} \ xi) + \ bot (\ nabla _ {X} \ xi) = - A _ {\ xi} (X) + D_ {X} (\ xi).}Tak
-
Weingartenovy rovnice :⟨NAξX,Y⟩=⟨α(X,Y),ξ⟩{\ displaystyle \ langle A _ {\ xi} X, Y \ rangle = \ langle \ alpha (X, Y), \ xi \ rangle}
-
D X je metrické připojení (en) v normálním svazku.
Existuje tedy několik spojení: ∇, definované na tangenciálním svazku M ; a D , nastavení v běžném svazku M . Tyto dvě kombinovat, aby spojení na jakékoli tenzor produkt T M a T ⊥ M . Zejména plně definují kovariantní derivaci α:
(∇~Xα)(Y,Z)=DX(α(Y,Z))-α(∇XY,Z)-α(Y,∇XZ).{\ displaystyle ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) = D_ {X} \ left (\ alpha (Y, Z) \ right) - \ alpha (\ nabla _ { X} Y, Z) - \ alpha (Y, \ nabla _ {X} Z).}Codazzi-Mainardi rovnice dává
⊥(R′(X,Y)Z)=(∇~Xα)(Y,Z)-(∇~Yα)(X,Z).{\ displaystyle \ bot \ left (R '(X, Y) Z \ right) = ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) - ({\ tilde {\ nabla} } _ {Y} \ alpha) (X, Z).}
Výrok klasických rovnic
V klasické diferenciální geometrii jsou Codazzi-Mainardi rovnice obecně vyjádřeny druhou základní formou:
Eproti-Fu=EΓ121+F(Γ122-Γ111)-GΓ112{\ displaystyle e_ {v} -f_ {u} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f (\ Gamma _ {12} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {1}) - g \ Gamma _ {11} ^ {2}}
Fproti-Gu=EΓ221+F(Γ222-Γ121)-GΓ122{\ displaystyle f_ {v} -g_ {u} = e \ Gamma _ {22} ^ {1} + f (\ Gamma _ {22} ^ {2} - \ Gamma _ {12} ^ {1}) - g \ Gamma _ {12} ^ {2}}
Důkaz klasických rovnic
Druhé deriváty parametrizovaného povrchu (in) lze vyjádřit v základu stejně jako Christoffelovy symboly a druhý základní tvar.
(Xu,Xproti,NE){\ displaystyle (X_ {u}, X_ {v}, N)}
Xuu=Γ111Xu+Γ112Xproti+ENE{\ displaystyle X_ {uu} = \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {v} + eN}
Xuproti=Γ121Xu+Γ122Xproti+FNE{\ displaystyle X_ {uv} = \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {v} + fN}
Xprotiproti=Γ221Xu+Γ222Xproti+GNE{\ displaystyle X_ {vv} = \ Gamma _ {22} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {22} ^ {2} X_ {v} + gN}
Tyto Schwarz věta uvádí, že tyto parciální derivace dojíždí:
(Xuu)proti=(Xuproti)u{\ displaystyle \ left (X_ {uu} \ right) _ {v} = \ left (X_ {uv} \ right) _ {u}}Pokud rozlišujeme s ohledem na v a s ohledem na u, získáme:
Xuu{\ displaystyle X_ {uu}}Xuproti{\ displaystyle X_ {uv}}
(Γ111)protiXu+Γ111Xuproti+(Γ112)protiXproti+Γ112Xprotiproti+EprotiNE+ENEproti=(Γ121)uXu+Γ121Xuu+(Γ122)uXproti+Γ122Xuproti+FuNE+FNEu{\ displaystyle \ left (\ Gamma _ {11} ^ {1} \ right) _ {v} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {uv} + \ left (\ Gamma _ { 11} ^ {2} \ right) _ {v} X_ {v} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {vv} + e_ {v} N + eN_ {v} = \ left (\ Gamma _ {12} ^ {1} \ right) _ {u} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {uu} + \ left (\ Gamma _ {12} ^ {2} \ right) _ {u} X_ {v} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {uv} + f_ {u} N + fN_ {u}}Pokud potom dosadíme výše uvedené výrazy za druhé derivace a rovnáme se koeficientům N:
FΓ111+GΓ112+Eproti=EΓ121+FΓ122+Fu{\ displaystyle f \ Gamma _ {11} ^ {1} + g \ Gamma _ {11} ^ {2} + e_ {v} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f \ Gamma _ {12 } ^ {2} + f_ {u}}přeskupením podmínek najdeme první Codazzi-Mainardiho rovnici.
Poznámky a odkazy
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v
angličtině s názvem
„ Gauss-Codazzi rovnice “ ( viz seznam autorů ) .
-
(La) Carl Friedrich Gauss , „ Disquitiones Generales circa Superficies Curvas “ , Comm. Soc. Gott. , sv. 6,1828
-
na počest Gaspare Mainardiho (de) (1856) a Delfina Codazziho (1868-1869), kteří nezávisle našli tento výsledek. Srov. (En) Morris Kline (en) , Mathematical Thought from Ancient to Modern Times: Volume 3 , OUP ,1972, 399 s. ( ISBN 978-0-19-506137-6 , číst online ) , s. 885.
-
Ossian Bonnet , „ Memoár o teorii povrchů použitelných na daný povrch “, JEP , sv. 25,1867, str. 31-151
-
Terminologie (in) Michael Spivak , (Komplexní úvod do) Diferenciální geometrie [ maloobchodní vydání ], let. 3
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">