4-mnohostěn

Grafy šesti pravidelných konvexních 4-polytopů

{3,3,3}	{3,3,4}	{4.3.3}
5-buněk Pentachore 4- simplex	16 buněk Orthoplex 4 - hyperoktaedron	8-buněk Tesseract 4- kostka
{3,4,3}	{5.3.3}	{3.3.5}
24 buněk Ocplex	120-buňkový dodekaplex	600-buněčný tetraplex

V geometrii, je 4-mnohostěn (často nazývané také polychorus ) je mnohostěn ze čtyř trojrozměrném prostoru . Jedná se o příbuzný obrázek, který se skládá z konečného počtu polytopů nižší dimenze: vrcholů , hran , ploch (které jsou mnohoúhelníky ) a buněk (které jsou mnohostěn ), přičemž každá plocha patří přesně dvěma buňkám. Nejznámějším 4-polytopem je tesseract (nebo hyperkrychle), 4D analog krychle.

Definice

Definice 4-polytopů se mezi autory velmi liší. Jednoduchou definicí konvexních 4-polytopů má být konvexní trup konečné sady ne všech bodů umístěných ve stejné nadrovině . Potom je snadné definovat vrcholy , hrany , plochy a buňky polytopu jako nízkoprostorové polytopy obsažené v hranici ; z toho je odvozena abstraktnější definice, která se neomezuje pouze na konvexnost, jako soubor mnohostěnů s vhodnou kombinační strukturou (například každý mnohoúhelník patří přesně ke dvěma mnohostěnům); tento popis vedl k ještě abstraktnějšímu pojmu zjednodušeného komplexu . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

Vizualizace

Příklady reprezentace 24 buněk

Sekce			Šéf

Projekce
autor: Schlegel	2D ortogonální	3D ortogonální	ve 4D rotaci

Skutečná vizualizace 4-polytopů je v obvyklém prostoru nemožná, bylo představeno několik metod, které je představují.

Ortogonální projekce

Tyto ortogonální projekce jsou zvláště užitečné pro zvýraznění symetrie některých 4-Polytopes. Mohou být nakresleny v rovině jako grafy zobrazující vrcholy a hrany nebo v prostoru (se zvýrazněnými 2 tvářemi).

Perspektivní projekce

Jedním z nejužitečnějších projekcí pro poskytnutí pocitu hloubky ve čtvrté dimenzi je Schlegelův diagram , stereografická projekce vrcholů mnohostěnů (údajně vepsaných do 3-sféry ) do obvyklého prostoru a následné spojení těchto vrcholů. hranami (které nemusí být nutně projekty skutečných hran).

Sekce

Řez mnohostěnu rovinou je mnohoúhelník; podobně řezání 4-polytopu s nadrovinou odhalí mnohostěn. Řada těchto sekcí paralelními hyperplany dává představu o globálním tvaru a můžeme dát animovanou reprezentaci (což se rovná použití času jako čtvrté dimenze).

Vzory

Vzor z 4-mnohostěnu je tvořena polyhedral buněk spojených tváří; rekonstrukce polytopu také vyžaduje indikace skládání ve čtvrté dimenzi.

Eulerova charakteristika dostačující rozdělit polyhedra (a obecněji kompaktní plochy trojrozměrném prostoru) do izomorfismu, není užitečně být celkový vyšších dimenzí, což vedlo k objevu čísel Betti ; Podobně, orientovatelnosti musí být nahrazeny obecnějším studiu kroucení z homologie skupin na mnohostěnu.

Klasifikace

Terminologie

4-polytop je konvexní, pokud se jeho hranice (buňky, plochy a hrany) neprotínají a pokud je v polytopu obsažen jakýkoli segment spojující dva body hranice; jinak to není konvexní . 4-polytopy, které se samy protínají, vyjádřily hvězdu (fr) , analogicky s hvězdnými polygony a mnohostěny Kepler-Poinsot .
4-polytop je pravidelný, pokud je na svých vlajkách tranzitivní . Dokazujeme, že je to ekvivalentní tomu, že všechny jeho buňky jsou shodné pravidelné mnohostěny a všechny jeho vrcholové postavy jsou jiné shodné pravidelné mnohostěny.
4-konvexní polytop je semi-pravidelný (in), pokud jsou všechny buňky z pravidelných mnohostěnů a pokud existuje skupina symetrie tranzitivní na vrcholech , ale není pravidelný. Existují pouze tři polopravidelné polytopy, které identifikoval Thorold Gosset v roce 1900: 5-zkrácené buňky (en) , 600-zkrácené buňky (in) a 24-buňky snub (en) .
4-mnohostěn je jednotný (ne), pokud jsou všechny jeho buňky jednotné mnohostěny a na vrcholech je přechodná skupina symetrie . 2-strany jednotného 4-polytopu jsou pravidelné mnohoúhelníky .
4-polytop je scaliform (en), pokud je tranzitivní na vrcholech a pokud mají všechny jeho okraje stejnou délku. Buňky proto mohou být nejednotné, například Johnsonovy pevné látky .
4-polytop je hranolový, pokud se jedná o kartézský součin polytopů menších rozměrů.

Třídy

Následující třídy seskupují polytopy s mnoha symetriemi. Byly studovány i jiné třídy, ale obecně mnohem méně vyčerpávajícím způsobem.

4 uniformní polytopy :

4 konvexní jednotné polytopy (64 plus dvě nekonečné rodiny)
- 47 neprismatických, včetně:
  - šest pravidelných konvexních 4-polytopů ( pravidelné polychore )
- 18 mnohostěnných hyperprismů typu {} × {p, q} (mezi nimiž je hyperkrychle )
- Nekonečná rodina hranolů postavená na antiprismech
- Nekonečná rodina duoprismů typu {p} × {q}
4 uniformní nekonvexní polytopy
- 10 pravidelných hvězd Polytopes ( Polytopes Schläfli-Hess (v) )
- 57 hyperprismů postavených na jednotné hvězdné mnohostěně
- Další uniformní nekonvexní 4-polytopy, jejichž celkový počet dosud není znám: v roce 2005 Norman Johnson a jeho spolupracovníci identifikovali více než 1 800 pomocí softwaru Stella 4D ( fr )

Ostatní třídy

Zobecnění

Tyto obklady z prostoru (ve třech rozměrech) zobecnit 4-Polytopes (jsou nekonečné 4-polytopes), stejně jako obklady z roviny zobecnit polyhedra. Jednotný obklady skládá jednotného polyhedra.

4 nekonečné jednotné polytopy euklidovského prostoru

28 jednotných konvexních obkladů (in) , z nichž 1 je pravidelný obklad, kubický obklad {4,3,4}.

4 nekonečné jednotné polytopy hyperbolického prostoru

76 takzvaných wythoffovských obkladů , z toho 4 běžné obklady: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} a {5,3,5}.

Tyto abstraktní polytopes jsou podobné kombinatorické struktury pro Polytopes, ale bez geometrického realizaci. Příkladem v dimenzi 2 je digone .

4-abstraktní jednotné polytopy

11 buněk (v)
57 buněk (v)

Podívejte se také

4-pravidelný konvexní polytop

Reference

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ 4-polytop “ ( viz seznam autorů ) .

Poznámky

(in) NW Johnson , Geometries and Transformations (2018) ( ISBN 978-1-107-10340-5 ) Kapitola 11: Symetrie konečných skupin , 11.1 polytopes and Honeycombs , str.224
T. Vialar , Složitá a chaotická nelineární dynamika: Pokroky v ekonomice a financích , Springer,2009( ISBN 978-3-540-85977-2 , číst online ) , s. 674
V. Capecchi , Contucci, P., Buscema, M. a D'Amore, B., Aplikace matematiky v modelech, Umělé neuronové sítě a umění , Springer,2010( ISBN 978-90-481-8580-1 , DOI 10.1007 / 978-90-481-8581-8 , číst online ) , s. 598
(v) Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy , Princeton, 2008.
(in) Norman Johnson , Uniform Polychora ,

Bibliografie

Coxeter HSM :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins a JCP Miller : Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, London, 1954
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3. vydání, Dover New York, 1973
Kaleidoskopy: Vybrané spisy HSM Coxetera, editace F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ( ISBN 978-0-471-01003-6 ) [1]
- (Paper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Papír 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Papír 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
JH Conway a MJT Guy : Four-Dimensional Archimedean Polytopes , Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, strana 38 a 39, 1965
NW Johnson : Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
Čtyřrozměrný Archimedean Polytopes (německy), Marco Möller, disertační práce z roku 2004 [2]

externí odkazy

(en) Eric W. Weisstein , „ Polychoron “ , na MathWorld
(en) Eric W. Weisstein , „ Polyhedral formula “ , na MathWorld
(en) Eric W. Weisstein , „ Pravidelné polychoronové Eulerovy charakteristiky “ , na MathWorld
Uniform Polychora , autor Jonathan Bowers
Uniform polychoron viewer - Java3D Applet with sources
Dr. R. Klitzing, polychora