Adelic prsten

V matematiky a teorie čísel , na adelic kruhu , nebo Adele kruhu , je topologické kruh obsahující pole z racionálních čísel (nebo, obecněji, je pole algebraických čísel ), vyrobenou za použití celého těla doplnění v.

Slovo „adele“ je zkratka pro „aditive idele“ („aditive idele“). Skutečnost, že se jedná také o francouzské ženské křestní jméno, je typická pro ducha Bourbakistů . Adély se před rokem 1950 nazývaly vektory ocenění nebo distribucí.

Definice

Dokončení profinite z celých čísel je projektivní omezení (nebo inverzní limit) z Z / N Z kroužky  : Z^{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {Z}}}}

Z^=lim←Z/neZ .{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {Z}}} = \ lim _ {\ leftarrow} \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} ~.}

Podle čínského zbytek věty , to je isomorphic k produktu všech p -adic čísel  :

Z^=∏pZp,{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {Z}}} = \ prod _ {p} \ mathbb {Z} _ {p},}

pravá strana je opatřena topologií produktu.

Adelic kruh celých čísel je produkt:

NAZ=R×Z^.{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Z}} = \ mathbb {R} \ times {\ hat {\ mathbb {Z}}}.}

Adelic kroužek racionálních čísel je jeho rozšíření z skaláry pro všechny racionální čísla, tj. Tensor produkt:

NAQ=Q⊗ZNAZ{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}} = \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Z}}}

topologized so that in is an open subring. Přesněji řečeno, základ topologie je dán sadami formuláře NAZ{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Z}}}

U×∏p∈SPROTIp×∏p∉SZp{\ displaystyle U \ times \ prod _ {p \ in S} V_ {p} \ times \ prod _ {p \ notin S} {\ mathbb {Z}} _ {p}}

kde U je otevřená množina , S konečná množina prvočísel a otevřená množina prvočísel . Adelická topologie je jemnější než ta, která je indukována topologií produktu z . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}PROTIp{\ displaystyle V_ {p}}Qp{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}R×∏pQp{\ displaystyle \ mathbb {R} \ krát \ prod _ {p} \ mathbb {Q} _ {p}}

Obecněji řečeno, adelický kruh libovolného pole algebraických čísel K je tenzorovým součinem

NAK.=K.⊗ZNAZ{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {K} = {K} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Z}}}

topologized as a product of deg ( K ) copies of . NAQ{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}}}

Adelický kruh racionů lze také definovat jako omezený produkt  ( fr )

NAQ=R×∏p′Qp{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}} = \ mathbb {R} \ krát {\ prod _ {p}} '\ mathbb {Q} _ {p}}

všech p -adických doplnění a reálných čísel nebo jinými slovy jako omezený produkt všech racionálních dokončení. V tomto případě s omezeným produktu vyplývá, že pro Adele všichni p jsou p-adic celá čísla , kromě konečného počtu z nich. Qp{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}(na∞,na2,na3,na5,....){\ displaystyle (a _ {\ infty}, a_ {2}, a_ {3}, a_ {5}, ....)}

Oblohu funkčního tělesa nad konečným tělesem lze definovat podobným způsobem jako omezený součin všech dokončení tohoto tělesa.

Vlastnosti

Racionální adeles tvoří lokálně kompaktní skupinu , racionální čísla ℚ tvoří diskrétní ko-kompaktní podskupinu. Použití adelických prstenů ve vztahu k Fourierovým transformacím bylo využito v Tateově práci . Jednou z klíčových vlastností skupiny aditiv adel je to, že je izomorfní se svým duálem Pontryagin .

Aplikace

Kruh adeles se hodně používá v teorii čísel , často jako prstencové koeficienty v pásmech Matrix  : V kombinaci s teorií algebraických skupin pomáhá budovat algebraické skupiny adelické  (in) (nebo skupiny idele). Skupina idels z teorie těla třídy se objeví jako skupina invertible prvků kruhu adeles. Identifikací této skupiny s uzavřenou podmnožinou bodů tak, že xy = 1, s indukovanou topologií , z ní uděláme topologickou skupinu. Je třeba poznamenat, že začlenění věřících do věřících je neustálé používání, ale nejde o ponoření a jeho obraz není ani otevřený, ani uzavřený. (X,y)∈NAK.×NAK.{\ displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {A} _ {\ mathbb {K}} \ times \ mathbb {A} _ {\ mathbb {K}}}

Důležitým krokem ve vývoji teorie byla definice Tamagawa čísla  (en) pro lineární adelickou algebraickou skupinu. Jedná se o objemovou míru spojenou s G ( A ), která říká, jak , což je diskrétní skupina v G ( A ), je ponořena do druhé. Domněnka Andrew Weil (v) byl počet Tamagawa byla ještě 1 G algebraický skupina jednoduše připojen . Vyplývalo to z Weilova moderního zpracování výsledků teorie kvadratických forem  ; demonstraci nakonec dokončil Kottwitz. G(Q){\ displaystyle G (\ mathbb {Q})}G(Q){\ displaystyle G (\ mathbb {Q})} 

Mezitím byl vliv myšlenky na počet Tamagawy pociťován v teorii abelianských odrůd . Zdálo se (a stále se zdá), že není možná žádná přímá adaptace. Během vývoje hypotézy Birch a Swinnerton-Dyer však byla úvaha, že pro eliptickou křivku E by skupina racionálních bodů mohla souviset, představovala motivaci a udávala směr práce na cestě vedoucí od numerických výsledků k formulace domněnky. E(Q){\ displaystyle E (\ mathbb {Q})}E(Qp){\ displaystyle E (\ mathbb {Q} _ {p})}

Související článek

• Funkce Schwartz-Bruhat  (en)

Reference

Většina knih o moderní algebraické teorii čísel, například:

(en) JWS Cassels a A. Fröhlich , Algebraická teorie čísel , Academic Press,1967, 366  s. ( ISBN  978-0-9502734-2-6 )

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „  Adele ring  “ ( viz seznam autorů ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">