Kinematika bodu

Aktuální představa o zrychlení odpovídá zvýšení hodnoty vektoru rychlosti. V mechanice je tento pojem obecnější, protože nejenže může odpovídat nárůstu jako snížení hodnoty rychlosti, ale stejně jako tento je zobecněn ve vektorové podobě. Podle definice je vektor zrychlení derivací vektoru rychlosti:

na→=na→M/(R)=dproti→dt=d2r→dt2{\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {a}} _ {M / (R)} = {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} {\ vec {r}}} {dt ^ {2}}}}

Fyzicky vektor zrychlení popisuje variace vektoru rychlosti: lze je provádět v hodnotě nebo ve směru . V důsledku toho je možné a priori rozložit na tangenciální komponentu , tedy kolineární s a popisující variace hodnoty tohoto vektoru a normální komponentu , kolmou na , a popisující variace jeho směru. na→{\ displaystyle {\ vec {a}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}

Ve skutečnosti z vnitřního vyjádření vektoru rychlosti pochází: proti→=dsdtT→=protiT→{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {ds} {dt}} {\ vec {T}} = v {\ vec {T}}}

na→=ddt(protiT→)=dprotidtT→+protidT→dt=dprotidtT→+protidsdtdT→ds=dprotidtT→+proti2dT→ds{\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {d} {dt}} \ vlevo (v {\ vec {T}} \ vpravo) = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec { T}} + v {\ frac {d {\ vec {T}}} {dt}} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {T}} + v {\ frac {ds} {dt }} {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {T}} + v ^ {2} {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}}}

nyní, protože je ze své podstaty jednotný , což znamená . Proto je dobře směrován ve směru kolmém na . Je možné ukázat, že je obsažena v rovině v oskulační kružnice a směřuje k středu křivosti trajektorie v M , tedy v souladu s normální z Serret-Frenetův trojhran, s , R bytí poloměr zakřivení z trajektorie M . T→{\ displaystyle {\ vec {T}}}T→2=1{\ displaystyle {\ vec {T}} ^ {2} = 1}dT→ds⋅T→=0{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}} \ cdot {\ vec {T}} = 0}dT→ds{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}}}T→{\ displaystyle {\ vec {T}}}dT→ds{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}}}NE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}dT→ds=NE→R{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}} = {\ frac {\ vec {N}} {R}}}

V důsledku toho má vektorové zrychlení pro vnitřní součásti:

na→=dprotidtT→+proti2RNE→=d2sdt2T→+1R(dsdt)2NE→{\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {T}} + {\ frac {v ^ {2}} {R}} {\ vec {N}} = {\ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} {\ vec {T}} + {\ frac {1} {R}} \ left ({\ frac {ds} {dt} } \ right) ^ {2} {\ vec {N}}}

to znamená, že se rozpadá na:

• tečné zrychlení , kolineární s , hodnotu, která odpovídá aktuální pojmu zrychlení (nebo „zpomalování“, pokud ;na→T=dprotidtT→{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {T} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {T}}}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}dprotidt<0{\ displaystyle {\ frac {dv} {dt}} <0}
• normální zrychlení , který je nulový v případě přímočaré trajektorii, která , a který je o to důležitější, že křivky „závity“ ve „těsný“ způsobem, který existuje i v případě, že pohyb je jednotná .na→NE=proti2RNE→{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {N} = {\ frac {v ^ {2}} {R}} {\ vec {N}}}R=∞{\ displaystyle R = \ infty}

V kartézských souřadnicích má vektor zrychlení pro komponenty . na→=X˙˙E→X+y˙˙E→y+z˙˙E→z{\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ dot {\ dot {x}}} {\ vec {e}} _ {x} + {\ dot {\ dot {y}}} {\ vec {e }} _ {y} + {\ dot {\ dot {z}}} {\ vec {e}} _ {z}}

Popis pohybu v různých souřadnicových systémech

Cylindro-polární souřadnice

V cylindro-polárních souřadnicích je možné zavést lokální ortonormální bázi , ve které je zapsán poziční vektor: (ρ,θ,z){\ displaystyle (\ rho, \ theta, z)}(E→ρ,E→θ,E→z){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {\ rho}, {\ vec {e}} _ {\ theta}, {\ vec {e}} _ {z})}

r→=ρE→ρ+zE→z{\ displaystyle {\ vec {r}} = \ rho {\ vec {e}} _ {\ rho} + z {\ vec {e}} _ {z}}

Následně se zapíše vektor rychlosti:

proti→=dr→dt=ρ˙E→ρ+ρdE→ρdt+z˙E→z{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} = {\ dot {\ rho}} {\ vec {e}} _ {\ rho} + \ rho {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ rho}} {dt}} + {\ dot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}

nyní tedy přichází výraz dE→ρdt=θ˙E→θ{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ rho}} {dt}} = {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}

proti→=ρ˙E→ρ+ρθ˙E→θ+z˙E→z.{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {\ rho}} {\ vec {e}} _ {\ rho} + \ rho {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + {\ dot {z}} {\ vec {e}} _ {z}.}

Vektor rychlosti se rozpadá na:

• složka ' radiální , která odpovídá vektoru rychlosti pohybu ve směru projekce na polární rovinu vektoru polohy;ρ˙E→ρ{\ displaystyle {\ dot {\ rho}} {\ vec {e}} _ {\ rho}}
• součást ortoradiální , která odpovídá vektoru rychlosti pohybu „kruhový snímek“ v kruhu počátku poloměru a středové osy;ρθ˙E→θ{\ displaystyle \ rho {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}ρ{\ displaystyle \ rho}
• axiální složka , která odpovídá vektoru rychlosti posunutí ve směru (Oz) .z˙E→z{\ displaystyle {\ dot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}

S ohledem na vektorové zrychlení je vyjádřeno ve tvaru:

na→=dproti→dt=ρ¨E→ρ+ρ˙dE→ρdt+ρ˙θ˙E→θ+ρθ¨E→θ+ρθ˙dE→θdt+z¨E→z{\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = {\ ddot {\ rho}} {\ vec {e}} _ {\ rho} + {\ dot {\ rho}} {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ rho}} {dt}} + {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + \ rho {\ ddot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + \ rho {\ dot {\ theta}} {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ theta}} {dt}} + {\ ddot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}

dE→θdt=-θ˙E→ρ{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ theta}} {dt}} = - {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ rho}}

na→=[ρ˙˙-ρθ˙2]E→ρ+[ρθ¨+2ρ˙θ˙]E→θ+z¨E→z{\ displaystyle {\ vec {a}} = \ left [{\ dot {\ dot {\ rho}}} - \ rho {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ right] {\ vec {e} } _ {\ rho} + \ left [\ rho {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ theta}} \ right] {\ vec {e}} _ { \ theta} + {\ ddot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}

což opět odpovídá rozkladu na tři složky:

• radiální , což je interpretováno jako součet zrychlení spojeného s přímočarým pohybem zrychleným v radiálním směru a normální složkou „okamžitého“ kruhového pohybu poloměru a úhlové rychlosti ;[ρ˙˙-ρθ˙2]E→ρ{\ displaystyle \ left [{\ dot {\ dot {\ rho}}} - \ rho {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ right] {\ vec {e}} _ {\ rho}}ρ{\ displaystyle \ rho}θ˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}
• orthoradial , který je interpretován jako součet tangenciálního zrychlení kruhového pohybu se stejným poloměrem a úhlovou rychlostí, a Coriolisova složka zrychlení v referenčním rámci spojená s rotujícím rámem (srov. pod odstavcem změna úložiště) .[ρθ¨+2ρ˙θ˙]E→θ{\ displaystyle \ left [\ rho {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ theta}} \ right] {\ vec {e}} _ {\ theta}}
• axiální , což jednoduše odpovídá zrychlení přímočarého pohybu ve směru (Oz) .z¨E→z{\ displaystyle {\ ddot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}

Je pozoruhodné, že ortoradiální složku lze také zapsat (a to je užitečné pro větu o momentu hybnosti):

• (ρθ¨+2ρ˙θ˙)E→θ=1ρd(ρ2θ˙)dtE→θ{\ displaystyle (\ rho {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ theta}}) {\ vec {e}} _ {\ theta} = {\ frac { 1} {\ rho}} {\ frac {d (\ rho ^ {2} {\ dot {\ theta}})} {dt}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}

Sférické souřadnice

V zaznamenaných sférických souřadnicích , kde θ je colatitude a φ azimut, se kterým je spojen ortonormální základní mobilní rámec, je vektor polohy hmotného bodu vyjádřen ve tvaru: (r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}(E→r,E→θ,E→ϕ){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {r}, {\ vec {e}} _ {\ theta}, {\ vec {e}} _ {\ phi})}

r→=rE→r{\ displaystyle {\ vec {r}} = r {\ vec {e}} _ {r}}

Rychlostní vektor se zapíše poté:

proti→=drdtE→r+rdE→rdt{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {dr} {dt}} {\ vec {e}} _ {r} + r {\ frac {d {\ vec {e}} _ {r} } {dt}}}

dE→rdt=θ˙E→θ+hřích⁡θϕ˙E→ϕ{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {e}} _ {r}} {dt}} = {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + \ sin \ theta {\ dot {\ phi}} {\ vec {e}} _ {\ phi}}

proti→=r˙E→r+rθ˙E→θ+rhřích⁡θϕ˙E→ϕ{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {r}} {\ vec {e}} _ {r} + r {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta } + r \ sin \ theta {\ dot {\ phi}} {\ vec {e}} _ {\ phi}}

Ve sférických souřadnicích má vektor rychlosti radiální složku ( ) a dvě ortoradiální složky následující za a . pro pohyb v rovině xOy , tj. pokud , je vyjádření vektoru rychlosti stejné jako pro pohyb v rovině ve válcových polárních souřadnicích. r˙E→r{\ displaystyle {\ dot {r}} {\ vec {e}} _ {r}}E→θ{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ theta}}E→ϕ{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ phi}}θ=π/2{\ displaystyle \ theta = \ pi / 2}

Opětovným driftováním se zrychlení získá stejným způsobem podle tří složek:

nar=(r¨-rθ˙2+rφ˙2hřích2⁡θ){\ displaystyle a_ {r} = \ left ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ { 2} \ theta \ right)}

naθ=(rθ˙2+2r˙θ˙-rφ˙2hřích⁡θcos⁡θ){\ displaystyle a _ {\ theta} = \ left (r {\ dot {\ theta}} ^ {2} +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta \ right)}

naφ=(rφ¨hřích⁡θ+2r˙φ˙hřích⁡θ+2rφ˙θ˙cos⁡θ){\ displaystyle a _ {\ varphi} = \ left (r {\ ddot {\ varphi}} \ sin \ theta +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta + 2r { \ dot {\ varphi}} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \ right)}

Pro záznam si všimneme, že na blokované zeměpisné délce probíhá pohyb v rovině poledníku a v této rovině najdeme zrychlení vypočítané v předchozím odstavci. A s blokovanou soudržností zjistíme zrychlení kruhového pohybu o poloměru R = r.sin (theta) (pozor na komponenty). Nakonec termín v a_phi, který zahrnuje theta '. phi 'představuje Coriolisovu vazbu (viz níže).

Trojitý ortogonální systém

Buď, abychom uvažovali o registraci trojitým ortogonálním systémem, souřadnic u1, u2, u3: blokování u2 a u3, bod se pohybuje po proměnné přímce u1, jejíž jednotkový vektor se bude nazývat e1. Podobně pro řádky u2 proměnné (s jednotkovým vektorem e2) a u3 proměnné (s jednotkovým vektorem e3).

Říkáme, že systém je trojitý ortogonální, jestliže {e1, e2, e3} tvoří trojúhelníkový trojstěn.

Blokováním u2 a u3 se zdá, že materiální bod se pohybuje z M do M 'nekonečně blízko ve směru e1

dM=∂M∂u1du1: =h1du1E1{\ displaystyle \ mathbf {dM} = {\ frac {\ částečné \ mathbf {M}} {\ částečné u_ {1}}} du_ {1}: = h_ {1} du_ {1} \ mathbf {e} _ {1}}

Parametr h_1 se nazývá parametr Lamé. Stejným způsobem můžeme definovat parametry h2 a h3.

Poté se zdá, že rychlost bodu M, když se {u1, u2, u3} mění, je:

proti=h1u˙1E1+h2u˙2E2+h3u˙3E3{\ displaystyle \ mathbf {v} = h_ {1} {\ dot {u}} _ {1} \ mathbf {e} _ {1} + h_ {2} {\ dot {u}} _ {2} \ mathbf {e} _ {2} + h_ {3} {\ dot {u}} _ {3} \ mathbf {e} _ {3}}

A protože je systém kolmý,

proti2=h12u˙12+h22u˙22+h32u˙32=F(u1,u2,u2,u˙1,u˙2,u˙3){\ displaystyle v ^ {2} = h_ {1} ^ {2} {\ dot {u}} _ {1} ^ {2} + h_ {2} ^ {2} {\ dot {u}} _ { 2} ^ {2} + h_ {3} ^ {2} {\ dot {u}} _ {3} ^ {2} = f (u_ {1}, u_ {2}, u_ {2}, {\ tečka {u}} _ {1}, {\ dot {u}} _ {2}, {\ dot {u}} _ {3})}

Jeden tak snadno získal kinetickou energii jednotkové hmoty, T.

Poté Euler a Lagrange ukázali, že k získání složek zrychlení v tomto trojitém souřadnicovém systému stačí použít vzorec:

2na1=ddt∂T∂u˙1-∂T∂u1{\ displaystyle 2a_ {1} = {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ částečné T} {\ částečné {\ tečka {u}} _ {1}}} - {\ frac {\ částečné T } {\ částečné u_ {1}}}}

a totéž pro další dvě složky.

Ilustrativní příklady:

Ve sférických souřadnicích, které tvoří trojitý ortogonální systém, je snadné varováním pouze r zjistit, že h_r = 1.

Pak změnou pouze colatitude: h_theta = r

A změnou pouze zeměpisné délky, h_phi = r.sin (theta).

Druhá mocnina rychlosti je tedy:

proti2=r˙2+r2θ˙2+r2sineθϕ˙2{\ displaystyle v ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} sin \ theta {\ dot {\ phi}} ^ {2}}

Použitím Euler-Lagrangeova vzorce získáme:

nar=(r¨-rθ˙2+rφ˙2hřích2⁡θ){\ displaystyle a_ {r} = \ left ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ { 2} \ theta \ right)}

naθ=(rθ˙2+2r˙θ˙-rφ˙2hřích⁡θcos⁡θ){\ displaystyle a _ {\ theta} = \ left (r {\ dot {\ theta}} ^ {2} +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta \ right)}

naφ=(rφ¨hřích⁡θ+2r˙φ˙hřích⁡θ+2rφ˙θ˙cos⁡θ){\ displaystyle a _ {\ varphi} = \ left (r {\ ddot {\ varphi}} \ sin \ theta +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta + 2r { \ dot {\ varphi}} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \ right)}

Což je rychlejší než přemýšlet o výpočtu časových derivací jednotkových vektorů (to znamená, že je dobré znát obě metody).

Můžeme to zkusit s válcovým souřadným systémem.

Výhodou této metody je, že umožňuje trojité bifokální systémy, například velmi užitečné v astronomii.

Důležité zvláštní případy pohybů

Pohyb hmotného bodu vzhledem k danému referenčnímu rámci lze charakterizovat pomocí dvou kritérií:

• tvar trajektorie : v nejobecnějším případě nemá daný geometrický tvar a pohyb je pak považován za křivočarý . Když je naopak trajektorie známého segmentu křivky nebo segmentu, roviny nebo vlevo, je pohyb kvalifikován podle tvaru této křivky:
  • (část) přímka: přímočarý pohyb;
  • kruh (nebo oblouk kruhu): kruhový pohyb;
  • kruhová spirála : spirálový pohyb;
  • cykloid: cykloidní pohyb atd.
• hodnota rychlosti nebo zrychlení bodu : je- li obecně libovolná, stane se:
  • aby hodnota rychlosti byla konstantní: pohyb je považován za rovnoměrný ;
  • že hodnota zrychlení je konstantní: pohyb se říká rovnoměrně zrychlený .

Tato dvě kritéria jsou kumulativní: tedy materiální bod pohybující se v daném referenčním rámci podle trajektorie odpovídající kružnici a rychlostí konstantní hodnoty bude v kruhovém a rovnoměrném pohybu vzhledem k tomuto referenčnímu rámci.

Povaha pohybu samozřejmě závisí na materiálovém bodě považovaném za referenční rámec studie, například pro kolo vozidla, které se valí bez prokluzu konstantní rychlostí:

• střed kola je v přímém a rovnoměrném pohybu vzhledem k referenčnímu rámci spojenému se silnicí, zatímco hmotný bod umístěný na konci tohoto kola bude mít rovnoměrný cykloidní pohyb ;
• vzhledem k referenčnímu rámci spojenému s nápravou bude střed kola nehybný a bod na konci bude mít jednotný kruhový pohyb.

Přímočarý pohyb

O pohybu se říká, že je přímočarý, pokud je trajektorií hmotného bodu přímka (přímý segment ve všech přísnostech): v důsledku toho se u tohoto typu pohybu směr vektoru rychlosti nemění, je možné představovat například pro pohyb podél osy (Ox) : proti→M/(R){\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {M / (R)}}

proti→M/(R)protiME→X{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M / (R)} v_ {M} \, {\ vec {e}} _ {x}}

protim=dXdt=X˙{\ displaystyle v_ {m} = {\ frac {dx} {dt}} = {\ dot {x}}}

Nejjednodušším případem je rovnoměrný přímočarý pohyb , pro který navíc (a tedy . V důsledku toho je hodinová rovnice pohybu bez obtíží získána integrací: protiM=boční=protiX0{\ displaystyle v_ {M} = {\ text {cte}} = v_ {x0}}proti→M=vs.tE→{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M} = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}}}}

X(t)=protiX0t+X0{\ displaystyle x (t) = v_ {x0} t + x_ {0}}

X0{\ displaystyle x_ {0}}

X(t){\ displaystyle x (t)}

Druhý zvláštní případ přímočarého pohybu je rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb , pro které , například v souladu s (Ox) , je konstantní hodnota zrychlení. pak přichází postupně integrací: na→M=vs.tE→{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {M} = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}}}} na→M=naX0E→X{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {M} = a_ {x0} \, {\ vec {e}} _ {x}}naX0{\ displaystyle a_ {x0}}

protiX(t)=naX0t+protiX0{\ displaystyle v_ {x} (t) = a_ {x0} t + v_ {x0}}

protiX0{\ displaystyle v_ {x0}} - být integrační konstantou fyzicky odpovídající počáteční hodnotě rychlosti bodu a -

X(t)=12naX0t2+proti0t+X0{\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {2}} a_ {x0} t ^ {2} + v_ {0} t + x_ {0}}

X0{\ displaystyle x_ {0}}je druhou konstantou integrace odpovídající počáteční hodnotě . Tento typ pohybu odpovídá pohybu hmotného bodu ve volném pádu , tj. Uvolněného s vertikální rychlostí hodnoty v gravitačním poli, přičemž zanedbává vliv třecích sil. X(t){\ displaystyle x (t)}protiX0{\ displaystyle v_ {x0}}

Kombinace dvou pohybů, jednoho rovnoměrného přímočarého a druhého rovnoměrně zrychleného přímočarého, ve dvou ortogonálních směrech (označovaných (Ox) a (Oy) ) vede k celkovému parabolickému a nejednotnému pohybu . V tomto případě jsou hodinové rovnice:

{X(t)=protiX0t+X0y(t)=12nay0t2+protiy0t+y0{\ displaystyle {\ begin {cases} x (t) = v_ {x0} t + x_ {0} \\ y (t) = {\ frac {1} {2}} a_ {y0} t ^ {2} + v_ {y0} t + y_ {0} \ end {cases}}}

a je možné eliminovat datum t mezi těmito dvěma hodinovými rovnicemi:

t=X-X0protiX0{\ displaystyle t = {\ frac {x-x_ {0}} {v_ {x0}}}}

y=12nay0(X-X0)2protiX02+protiy0protiX0(X-X0)+y0{\ displaystyle y = {\ frac {1} {2}} a_ {y0} {\ frac {\ vlevo (x-x_ {0} \ vpravo) ^ {2}} {v_ {x0} ^ {2}} } + {\ frac {v_ {y0}} {v_ {x0}}} \ vlevo (x-x_ {0} \ vpravo) + y_ {0}}

což je kartézský rovnice z paraboly (fyzicky, bude oblouk paraboly) od vrcholu . S(-protiX0protiy0nay0,y0-protiy022nay0){\ displaystyle S \ left (- {\ frac {v_ {x0} v_ {y0}} {a_ {y0}}}, y_ {0} - {\ frac {v_ {y0} ^ {2}} {2a_ { y0}}} \ vpravo)}

Tento typ trajektorie odpovídá balistickému pohybu hmotného bodu v pozemském referenčním rámci (nebo obecně „planetárním“), tj. Pohybu pod jediným vlivem gravitačního pole , tedy s , materiálový bod je spouštěn počáteční rychlostí z počáteční polohy souřadnic . G→=GE→y{\ displaystyle {\ vec {g}} = g {\ vec {e}} _ {y}}nay0=G=boční{\ displaystyle a_ {y0} = g = {\ text {cte}}}proti→0=protiX0E→X+protiy0E→y{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {0} = v_ {x0} {\ vec {e}} _ {x} + v_ {y0} {\ vec {e}} _ {y}}(X0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}

Kruhový pohyb

Pohyb materiálu bodu se říká, kruhový , pokud cesta v daném referenčním snímku je kruh (nebo oblouk) jmenovitého středu O a o poloměru R . Kruhový pohyb může být rovnoměrný nebo nejednotný.

K popisu tohoto typu pohybu jsou nejvhodnější polární souřadnice v rovině trajektorie. Vektor polohy materiálového bodu je dán vztahem , proto pochází z předchozích výrazů pro vektory rychlosti a zrychlení: r→=RE→ρ{\ displaystyle {\ vec {r}} = R {\ vec {e}} _ {\ rho}}

proti→=Rθ˙E→θ=Rω(t)E→θ{\ displaystyle {\ vec {v}} = R {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} = R \ omega (t) {\ vec {e}} _ {\ theta }}

ω(t)=θ˙{\ displaystyle \ omega (t) = {\ dot {\ theta}}}

ω(t)=boční{\ displaystyle \ omega (t) = {\ text {cte}}}

na→=-Rω2E→ρ+Rω˙E→θ{\ displaystyle {\ vec {a}} = - R \ omega ^ {2} {\ vec {e}} _ {\ rho} + R {\ dot {\ omega}} {\ vec {e}} _ { \ theta}}

T→=E→θ{\ displaystyle {\ vec {T}} = {\ vec {e}} _ {\ theta}}

NE→=-E→ρ{\ displaystyle {\ vec {N}} = - {\ vec {e}} _ {\ rho}}

na→T=Rω˙T→{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {T} = R {\ dot {\ omega}} {\ vec {T}}}

ω˙=0{\ displaystyle {\ dot {\ omega}} = 0}

na→NE=Rω2NE→{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {N} = R \ omega ^ {2} {\ vec {N}}}

Spirálový pohyb

Spirálový pohyb hmotného bodu odpovídá případu, kdy je dráhou spirála . Obvykle je to kruhová vrtule . Tento typ pohybu je výsledkem kombinace kruhového pohybu a přímočarého pohybu ve směru (nejčastěji označovaném (Oz) ) kolmém k rovině této trajektorie. Pokud jsou oba pohyby rovnoměrné , má vrtule konstantní stoupání.

S ohledem na konkrétní roli osy vrtule je možné k popisu tohoto typu pohybu použít cylindro-polární souřadnice. Poloměr R spirály je konstantní, v důsledku toho se v případě tohoto typu pohybu zapíše vektor zrychlení:

na→=-Rθ˙2E→ρ+Rθ¨E→θ+z¨E→z,{\ displaystyle {\ vec {a}} = - R {\ dot {\ theta}} ^ {2} {\ vec {e}} _ {\ rho} + R {\ ddot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + {\ ddot {z}} {\ vec {e}} _ {z},}

vektor rychlosti, který mu byl zapsán:

proti→=Rθ˙E→θ+z˙E→z.{\ displaystyle {\ vec {v}} = R {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + {\ dot {z}} {\ vec {e}} _ {z }.}

V důležitém zvláštním případě, kdy je pohyb je jednotná , a v důsledku toho předchozí výrazy jsou zjednodušeny: θ˙=ω0 = cste{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = \ omega _ {0} {\ text {= cste}}}z˙=proti0 = cste{\ displaystyle {\ dot {z}} = v_ {0} {\ text {= cste}}}

na→=-Rω02E→ρ,{\ displaystyle {\ vec {a}} = - R \ omega _ {0} ^ {2} {\ vec {e}} _ {\ rho},}

a

proti→=Rω0E→θ+proti0E→z,{\ displaystyle {\ vec {v}} = R \ omega _ {0} {\ vec {e}} _ {\ theta} + v_ {0} {\ vec {e}} _ {z},}

Integrací se poziční vektor stává:

r→(t)=RE→ρ+[z0+proti0t]E→z,{\ displaystyle {\ vec {r}} (t) = R {\ vec {e}} _ {\ rho} + \ doleva [z_ {0} + v_ {0} t \ doprava] {\ vec {e} } _ {z},}

poznámkou z 0 počáteční hodnotu z .

Hodinové pohybové rovnice lze snadno získat vyjádřením v ortonormální bázi spojené se souřadným systémem Oxy spojeným se studijním referenčním rámcem nebo zde . E→ρ{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ rho}}E→ρ=cos⁡θE→X+hřích⁡θE→y{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ rho} = \ cos \ theta {\ vec {e}} _ {x} + \ sin \ theta {\ vec {e}} _ {y}}θ(t)=ω0t{\ displaystyle \ theta (t) = \ omega _ {0} t}

Zaznamenáním x 0 a y 0 příslušných počátečních hodnot x a y přijde:

{X(t)=X0+R(cos⁡(ω0t)-1)y(t)=y0+Rhřích⁡(ω0t)z(t)=z0+proti0t{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x (t) = x_ {0} + R \ left (\ cos (\ omega _ {0} t) -1 \ right) \\ y (t) = y_ {0} + R \ sin (\ omega _ {0} t) \\ z (t) = z_ {0} + v_ {0} t \ end {matrix}} \ right.}

Jelikož je zde spirálový pohyb rovnoměrný, je kruhový pohyb v rovině kyslíku periodický a celkový pohyb má stejnou periodicitu. Vzdálenost uražená podél osy během periody T se nazývá stoupání šroubovice , tj. V tomto případě: 2πω0{\ displaystyle {\ tfrac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}}}

p=2πproti0ω0.{\ displaystyle p = 2 \ pi {\ frac {v_ {0}} {\ omega _ {0}}}.}

Kónické trajektorie

Změna úložiště

Povaha pohybu hmotného bodu a tvar dráhy závisí na zvoleném referenčním rámci. Pohyb vzhledem k danému referenčnímu rámci (R) je známý, je možné určit jeho povahu vzhledem k jinému referenčnímu rámci (R ') . K tomu je nutné mít výrazy rychlosti a zrychlení hmotného bodu ve srovnání s (R ') podle těch, které člověk zná v (R) , a parametrů určujících pohyb referenčního rámce (R ') vzhledem k (R) .

Prostorový souřadnicový systém přidružený k referenčnímu rámci (R) je označen Oxyzem , systém přidružený k referenčnímu rámci (R ') , v pohybu vzhledem k (R) , je označen O'x'y'z ' . Pokud M je poloha hmotného bodu a odpovídá polohovým vektorům M vzhledem k (R) a (R ') . V klasické mechanice má čas absolutní charakter , to znamená, že hodiny spojené s každým ze dvou referenčních rámců, pro které je vybrán původ společných dat, označují stejné datum v (R) a (R ' ) , bez ohledu na jejich relativní pohyby . r→=ÓM→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ overrightarrow {OM}}}r→′=ÓM→′{\ displaystyle {\ vec {r}} '= {\ overrightarrow {OM}}'}t=t′{\ displaystyle t = t '}

Nejobecnějším pohybem referenčního rámce (R ') vzhledem k referenčnímu rámci (R) je kombinace:

• pohyb svého původu O ' vzhledem k (R) ;
• variace v orientaci os přidruženého vesmírného rámu, popsané vektorem okamžité rotace , která je taková ((a odpovídající vzorce pro a ).ω→R′/R{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R}}dE→X′dt=ω→R′/R∧E→X′{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {e}} _ {x '}} {dt}} = {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ klín {\ vec {e}} _ {X '}}E→y′{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {y '}}E→z′{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z '}}

Rychlostní složení

Vektor polohy M v (R) je dán vztahem , proto přichází pro vektor rychlosti materiálového bodu v (R) : r→=ÓM→=ÓÓ′→+Ó′M→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {OO '}} + {\ overrightarrow {O'M}}}

proti→M/R=(dÓM→dt)(R)=(dÓÓ′→dt)(R)+(dÓ′M→dt)(R){\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M / R} = \ left ({\ frac {d {\ overrightarrow {OM}}} {dt}} \ right) _ {(R)} = \ left ( {\ frac {d {\ overrightarrow {OO '}}} {dt}} \ vpravo) _ {(R)} + \ vlevo ({\ frac {d {\ overrightarrow {O'M}}} {dt}} \ vpravo) _ {(R)}}

(dÓÓ′→dt)(R)=proti→Ó′/R{\ displaystyle \ left ({\ frac {d {\ overrightarrow {OO '}}} {dt}} \ right) _ {(R)} = {\ vec {v}} _ {O' / R}}

Kromě toho je poloha vektor M v (R ‚) , který je zapsán v oblasti dna markeru spojeného s tímto úložiště: jako výsledek: . Ó′M→{\ displaystyle {\ overrightarrow {O'M}}}Ó′M→=X′E→X′+y′E→y′+z′E→z′{\ displaystyle {\ overrightarrow {O'M}} = x '{\ vec {e}} _ {x'} + y '{\ vec {e}} _ {y'} + z '{\ vec {e }} _ {z '}}(dÓ′M→dt)(R)=X′˙E→X′+y′˙E→y′+z′˙E→z′+X′ω→R′/R∧E→X′+y′ω→R′/R∧E→y′+z′ω→R′/R∧E→z′=proti→M/R′+ω→R′/R∧r′→{\ displaystyle \ left ({\ frac {d {\ overrightarrow {O'M}}} {dt}} \ right) _ {(R)} = {\ dot {x '}} {\ vec {e}} _ {x '} + {\ dot {y'}} {\ vec {e}} _ {y '} + {\ dot {z'}} {\ vec {e}} _ {z '} + x' {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ wedge {\ vec {e}} _ {x'} + y '{\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ wedge { \ vec {e}} _ {y '} + z' {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ klín {\ vec {e}} _ {z'} = {\ vec {v} } _ {M / R '} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ klín {\ vec {r '}}}

Nakonec je vzorec pro složení rychlostí ve tvaru:

proti→M/R=proti→E+proti→M/R′{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M / R} = {\ vec {v}} _ {e} + {\ vec {v}} _ {M / R '}}

kde je rychlost přípravy z M v porovnání s (R) , který je součtem termínu vztahující se k posunutí počátku prostorového stavebního prvku spojeného s (R ‚) a termín odráží změna orientace tohoto odkazu. proti→E=proti→Ó′/R+ω→R′/R∧r′→{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {e} = {\ vec {v}} _ {O '/ R} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ klín {\ vec {r '}}}

Složení zrychlení

Zrychlovací vektor M v (R) se získá diferenciací vektoru rychlosti vzhledem k času v tomto referenčním rámci: proti→M/R{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {M / R}}

na→M/R=(dproti→M/Rdt)(R=(ddt[proti→Ó′/R+ω→R′/R∧r′→+proti→M/R′])(R){\ displaystyle {\ vec {a}} _ {M / R} = \ left ({\ frac {d {\ vec {v}} _ {M / R}} {dt}} \ right) _ {(R } = \ left ({\ frac {d} {dt}} \ left [{\ vec {v}} _ {O '/ R} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ klín {\ vec {r '}} + {\ vec {v}} _ {M / R'} \ doprava] \ doprava) _ {(R)}}

ale přichází okamžitě:

(dproti→M/R′dt)(R)=na→M/R′+ω→R′/R∧proti→M/R′{\ displaystyle \ left ({\ frac {d {\ vec {v}} _ {M / R '}} {dt}} \ right) _ {(R)} = {\ vec {a}} _ {M / R '} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ klín {\ vec {v}} _ {M / R '}}

a

(dr′→dt)(R)=proti→M/R′+ω→R′/R∧r′→{\ displaystyle \ left ({\ frac {d {\ vec {r '}}} {dt}} \ right) _ {(R)} = {\ vec {v}} _ {M / R'} + { \ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ klín {\ vec {r'}}}

Nakonec je zákon složení zrychlení ve formě:

na→M/R=na→M/R′+na→E+na→vs.{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {M / R} = {\ vec {a}} _ {M / R '} + {\ vec {a}} _ {e} + {\ vec {a} } _ {vs}}

s:

• zrychlení tréninku ,na→E=na→Ó′/R+ω→R′/R∧(ω→R′/R∧r′→)+dω→R′/Rdt∧r′→{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {e} = {\ vec {a}} _ {O '/ R} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ klín \ vlevo ( {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ klín {\ vec {r'}} \ doprava) + {\ frac {d {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R}} {dt}} \ wedge {\ vec {r '}}}
• zrychlení Coriolis .na→vs.=2ω→R′/R∧proti→M/R′{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {c} = 2 {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ klín {\ vec {v}} _ {M / R'}}

Poznámky a odkazy

1. Obecně se jedná o levý oblouk .
2. Toto je definice vektorové derivace jako hranice vektoru „průměrné rychlosti“ během doby trvání Δt, když má tato doba sklon k nule.
3. Doporučujeme rozlišovat hodinové rovnice parametrického typu od rovnic trajektorie v konkrétním systému souřadnic (zde kartézské souřadnice), které odpovídají rovnici spojující souřadnice navzájem bez zásahu parametru t .
4. Také se nazývá volný pád „s počáteční rychlostí“: je zřejmé, že volný pád citovaný jako příklad rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu je pouze zvláštním případem balistického pohybu s nulovou počáteční rychlostí.
5. Je třeba vzít v úvahu, že to závisí na čase a na tom .E→θ{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ theta}}E→˙ρ=θ˙E→θ{\ displaystyle {\ dot {\ vec {e}}} _ {\ rho} = {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}

Bibliografie

• Philip José Pérez, fyzika kurzy: mechanické , 6 th  edition, Masson , Paříž, 2001.

Související články

• Úložiště (fyzické)
• Rychlost
• Akcelerace
• Hmotný bod