V algebry , je kvadraticky uzavřený pole je komutativní pole , v němž každý prvek má odmocninu .
Pro jakékoli pole F jsou ekvivalentní následující vlastnosti:
Jakékoli kvadraticky uzavřené pole je jak Pythagorovo, tak formálně reálné, ale obrácení je nepravdivé (myslete na pole s charakteristikou 2).
Nechť E / F je konečné rozšíření s E kvadraticky uzavřené. Pak buď −1 je čtverec ve F a F je kvadraticky uzavřený, nebo −1 není čtverec ve F a F je euklidovský (je to důsledek věty o Dillerových šatech ).
Pro tělo F , tam je „ menší “ kvadraticky blízkosti rozšíření F . Toto rozšíření, které je jedinečné pro izomorfismu , se nazývá „“ kvadratický uzávěr z F . Můžeme to zkonstruovat jako podpole „ algebraického uzavření F alg of F , tím, že sjednotíme všechny tahy kvadratických rozšíření na F v F alg . Když je charakteristický of F je odlišný od 2, jedná se tedy o sjednocení ze 2 konečných rozšíření v F v F ALG , to znamená, že všechny Galois rozšíření z míry shodná s výkonem 2.
Například :