Galoisovo rozšíření

V matematice je rozšíření Galois (někdy nazývané rozšíření Galois ) oddělitelné normální rozšíření .

Sada automorfismů rozšíření má skupinovou strukturu nazvanou Galoisova skupina . Tato skupinová struktura charakterizuje příponu i její podřízené subjekty.

Galoisovy rozšíření jsou struktury široce používané pro důkaz vět v algebraické teorii čísel , jako Fermatova poslední věta , nebo v čisté Galoisově teorii , jako Abel-Ruffiniho věta .

Motivace

Počáteční problémy

Přístup, který vede k pojetí Galoisovy extenze, vychází z touhy vyřešit domněnky, často staré a pocházející z různých oborů matematiky: algebra se studiem algebraických rovnic a zejména polynomiálních rovnic , geometrie se zpočátku problémy konstrukce s pravítko a kompas a zejména tři velké problémy starověku, jako je duplikace krychle, a zejména problémy aritmetiky jako poslední Fermatova věta .

Filozofie přístupu

Všechny počáteční citované problémy jsou vyjádřeny jednoduše, jejich tvrzení ve skutečnosti vyžadují pouze základní matematickou úroveň. Na druhou stranu jejich rozhodnutí vyžadovala staletí trpělivosti. Důvod spočívá ve skutečnosti, že naivní přístup neumožňuje zatknout jemnosti implikované výroky. K poskytnutí řešení je nutné porozumět strukturám, které jsou základem každé z těchto otázek. Přímá analýza vyžaduje výpočetní přístup, který je příliš složitý na to, aby uspěl.

I když to znamená zvýšení úrovně abstrakce, zdá se být nutné definovat čisté algebraické struktury, které budou těžit z mocných vět, které tyto staré problémy řeší.

Případ rozšíření Galois

Rozšíření Galois je algebraická konstrukce využívající tři struktury, strukturu skupin, komutativní pole a strukturu vektorových prostorů .

Skupinová struktura umožňuje například analýzu permutací kořenů polynomu. Analýza permutací je však klíčem k hledání algebraických řešení polynomické rovnice. V případě kvintické rovnice nebo rovnice pátého stupně existuje 120 možných permutací. Nalezení, které permutace se mají použít, a v jakém pořadí se zdálo být kombinačním problémem příliš velké složitosti pro matematiky, jako je Joseph-Louis Lagrange, kteří tuto otázku studovali.

Systematická analýza konečných skupin již ne pod kombinační osou, ale s abstraktním přístupem umožňuje výměnou za vzestup abstrakce výpočetně relativně jednoduché řešení například pro případ kvintické rovnice. Ludwig Sylow demonstruje tři věty, které elegantně ukončují analýzu polynomiálních rovnic.

Základní věta

Rozšíření Galois je archetypální pro tento čistý algebraický přístup. A tato struktura má silnou větu, která je základem všech moderních řešení různých citovaných problémů. Toto je základní věta Galoisovy teorie . Tato věta vytváří vztah mezi tělem a skupinou. Umožňuje vytvořit most mezi teorií skupin a studovanou algebrou, geometrií nebo aritmetickými problémy. Ve výroku základní věty jsou tělo, skupina a korespondence mezi nimi abstraktní. Výměnou za tuto abstrakci nabízí rozšíření Galois velmi obecný rámec pro studium mnoha problémů.

Dějiny

Na počátku abstrakce: skupiny

Jedná se o polynomy, které inicializovaly přístup, který končí konstrukcí rozšíření Galois. Lagrange poznamenává, že rozlišení polynomiální rovnice algebraickou metodou je úzce spojeno se studiem určitých permutací v množině kořenů. Poté založí první větu, která je nyní zobecněna na všechny konečné skupiny pod názvem Lagrangeova věta . Paolo Ruffini konkrétněji studuje skupinu permutací řádu pět, stanoví důležité výsledky, jako je existence podskupiny řádu pět, a je první přesvědčen o nemožnosti obecného řešení kvintické rovnice. Pokud je zahájena systematická analýza skupin permutací, je stále nedostatečné to uzavřít.

Algebra a geometrie

Na počátku XIX th století, Carl Friedrich Gauss zavádí nový vztah mezi polynomiální algebry a geometrie. Zdůrazňuje souvislost mezi cyklotomickými polynomy a pravítkovou a kompasovou konstrukcí pravidelných polygonů. Tyto práce umožňují konstrukci pravidelného mnohoúhelníku se 17 stranami. Pokud má Gauss intuici, že tento přístup umožňuje řešení tří velkých problémů starověku, musíme přesto počkat, až Gauss-Wantzelova věta dospěje k závěru.

Abstraktní struktura skupiny

Zrození moderní algebry se obecně připisuje Évariste Galois . Je skutečně první, kdo používá zcela abstraktní přístup a hovoří o struktuře skupiny obecně. Po jeho smrti byla tato díla znovu objevena v roce 1843 Josephem Liouvilleem , který je publikoval. Abstraktní algebra poté vstoupila do oblasti aritmetiky a Liouville použil tuto teorii k dosažení zásadního průlomu v oblasti teorie čísel v roce 1844 tím, že prokázal existenci transcendentních čísel .

Prstenec a stavba těla

Pro získání nových průlomů v oblasti aritmetiky Ernst Kummer pokračuje v Gaussově práci na cyklotomických polynomech, zdůrazňuje představu ideálního komplexního čísla a v mnoha případech dokazuje Fermatovu poslední větu. Proces analogický postupu skupin umožňuje postupně identifikovat abstraktní pojem prstenu a komutativního těla , objevuje se poprvé pod perem Richarda Dedekinda .

Moderní formalizace kruhové struktury vychází ze syntézy Davida Hilberta . Obsahuje původ teorie třídních polí . Obecná teorie těl se objeví později po práci Ernsta Steinitze . Tato teorie obsahuje moderní pojmy jako rozšíření pole , stupeň rozšíření nebo oddělitelné rozšíření . Současná formalizace rozšíření Galois a základní věty teorie Galois je dílem Emila Artina .

Definice a příklady

Definice

V následujícím článku K je pole, L algebraické rozšíření o K a Ω algebraické uzávěr z K . L je identifikováno s podpolem Ω, které v případě, že rozšíření je konečné , v žádném případě nezhoršuje obecnost expozice, jak je uvedeno v algebraickém uzavření rozšíření v článku .

Rozšíření se nazývá normální , pokud všechny morfismus L v Ω opuštění K invariant je automorphism L .
Poznámka: morfismus těla je vždy injektivní. Morfizmus je morfismus vektorových prostorů, protože L má prostorová struktura vektor na K . Pokud je tedy L konečným rozšířením, pak stačí, aby morfismus měl v L obrázek, který má argument dimenze, aby dokázal surjektivitu.
O rozšíření se říká, že je Galois nebo Galois, pokud je normální a oddělitelné .
Poznámka: rozšíření L o K se říká, že oddělitelné v případě, že minimální polynom na K jakéhokoliv prvku L nemá více kořen v w. Článek o algebraických rozšířeních stručně evokuje existenci minimálního polynomu. Pokud K je dokonalé tělo (například pokud je charakteristická 0 nebo pokud je konečné pole ), přičemž L je vždy oddělitelné přes K .
Sada automorfismů L, která ponechává K invariantní, poskytovaná zákonem kompozice map, tvoří skupinu nazvanou Galoisova skupina rozšíření a je často označována Gal ( L / K ).

Příklady

Pole komplexních čísel je Galoisovým rozšířením pole reálných čísel. Jedná se o jednoduché rozšíření (tj. Generované polem reálných čísel a jediným doplňkovým prvkem), jehož skupina Galois je cyklická skupina řádu 2.

Jednoduchá přípona generovaná kubickým kořenem dvou nad racionálním polem není příponou Galois. Ve skutečnosti, tělo neobsahuje všechny kořeny, existuje morphism z L , jejíž obraz není L .

Přípona generovaná kubickým kořenem dvou a i , imaginární jednotky , nad polem racionálů je příponou Galois. Toto rozšíření má stupeň šest a jeho Galoisova skupina je izomorfní se skupinou permutací tří prvků .

Demonstrace

Pole komplexních čísel je Galoisovým rozšířením pole reálných čísel.

Pole komplexních čísel je rozšířením pole reálných čísel o stupeň 2. Jedná se tedy o jednoduché rozšíření generované čistou představivostí i . Protože pole komplexních čísel je algebraicky uzavřeno, jakýkoli morfismus z tohoto pole k libovolnému rozšíření opouštějícímu reálná čísla neměnná je automorfismus. To znamená automorfismus odlišný od identity. Automorfismus permutuje kořeny polynomu s koeficienty v základním poli. Takže σ ( i ) je kořen polynomu X 2 +1 stejně jako i . A σ ( i ) se liší od i, protože jinak by σ byla identita na základě komplexních čísel: (1, i ), a proto by se rovnala identitě. Předchozí polynom připouští pouze dva kořeny, protože má stupeň dva. Zkontrolujeme, že dva kořeny jsou i a - i . Obraz základny (1, i ) pomocí σ je tedy (1, - i ). To znamená, že σ je konjugovaná mapa. Je snadné ověřit, že σ je skutečně automorfismus řádu dva. Galoisova skupina je tedy skupina se dvěma prvky izomorfní s cyklickou skupinou řádu dva. $\ sigma$

Jednoduchá přípona L generovaná kubickým kořenem dvou nad polem racionálů není příponou Galois.

Je snadné ověřit, že L má jako základ rodinu tří prvků jeden, kořen krychle dvou a kořen krychle čtyř. Důkaz je dán prvním návrhem odstavce Algebraické rozšíření a polynom aplikovaný na polynom P (X) = X 3 -2. Nyní, když označíme r = , kde j je komplexní kubický kořen jednoty, r je také kořen polynomu. První návrh odstavce Algebraické rozšíření a overfield zaručuje existenci morfismu L v rozšíření r na racionálních číslech. Rozšíření L proto není normální, nejedná se o rozšíření Galois. ${\ displaystyle j. {\ sqrt [{3}] {2}}}$

Rozšíření L ' generovaný kubické odmocninou ze dvou a i čistě imaginární číslo je rozšíření Galois. Toto rozšíření má stupeň 6 a obsahuje skupinu Galois izomorfní s permutační skupinou tří prvků.

Je rozšíření stupně 2 na L , protože i má stupeň 2 na L . Druhý výrok odstavce Definice a první vlastnosti algebraických rozšíření ukazuje, že [L ': Q] = [L': L] . [L: Q] a L ' je rozšíření stupně 6 o racionálních číslech.
L ' je pole rozkladu polynomu P [X] (pole rozkladu je definováno v algebraické příponě odstavce a na poli , je to nejmenší pole obsahující všechny kořeny polynomu). Ve skutečnosti jsou tři kořeny polynomu kubický kořen dvou r a konjugát r . Tělo P [X] rozklad přísně obsahuje L , jeho rozměr je tedy přísné násobek to L . 6 je však nejmenší přísný násobek 3; pole rozkladu P [X] je tedy alespoň dimenze šest a L ', která je dimenze 6, zjevně obsahuje tři kořeny.
Tyto primitivní element věta zaručuje, že existují přesně šest Morfismy L " v algebraické uzavření pole racionálních čísel. Jakýkoli morfismus těla však dává jako obraz kořene polynomu P [X] kořen P (X). Omezení morfismu na tři kořeny je tedy obměnou tří kořenů. Existuje přesně 6 možných permutací. 6 morfismů je tedy prodloužením 6 permutací, protože kořeny generují L ' . Rozšíření L ' těchto permutací ponechává L' stabilní, což ukazuje, že rozšíření je Galois a že skupina morfismů je izomorfní se skupinou permutací tří prvků.

Vlastnosti

Základní vlastnosti

V této části předpokládáme, že rozšíření L nad K je konečné .

Pořadí skupiny Galois je menší nebo rovno stupni rozšíření a rovná se mu právě tehdy, pokud je příponou Galois.
Rozšíření je normální, jestliže a pouze v případě, že minimální polynom nad K nějaký element L je rozdělena na L .

Demonstrace

Pořadí skupiny Galois je menší nebo rovno stupni rozšíření a rovná se mu právě tehdy, pokud je příponou Galois.
Všimněte si počtu morfismů od L do Ω, takže K zůstává neměnný. Morfizmus bod v algebraické uzavření části Rozdělitelný rozšíření článku se stanoví, že ${\ displaystyle [L: K] _ {s}}$ ${\ displaystyle [L: K] _ {s} \ leq [L: K],}$ s rovností právě tehdy, když je rozšíření oddělitelné.
Kromě toho samozřejmě máme ${\ displaystyle \ mathrm {karta} (\ mathrm {Gal} (L / K)) \ leq [L: K] _ {s},}$ s rovností právě tehdy, když je rozšíření normální.
Návrh vychází z těchto dvou bodů.
Rozšíření je normální, jestliže a pouze v případě, že minimální polynom nad K nějaký element L je rozdělena na L .
Předpokládejme, že rozšíření je normální. Nechť α je prvek L , P (X) je jeho minimální polynom a β kořen P (X) v Ω. Potom, podle odstavce morfismus v algebraické uzávěru je identita z K canonically zasahuje do izomorfismus f z K (a) na K (P), který vysílá na α p, a f má alespoň jeden prodlužovací g do L . Tím, normality, L je stabilní za g proto β = g (a) patří do L .
Naopak předpokládat, že pro každý prvek alfa z L , minimální polynom P (X) sklonu na K je rozdělena na L . Nechť g je morfismus z L do Ω, takže K zůstane neměnný. Pak g (α) je kořen P (X), patří tedy k L . To znamená, že obraz L o g je součástí L .

Základní věta o Galoisově teorii

Existuje korespondence mezi mezilehlými poli konečného rozšíření Galois a podskupinami jeho skupiny Galois. V rámci teorie konečných rozšíření je tato korespondence základním výsledkem Galoisovy teorie. Základem této korespondence jsou tři vlastnosti:

Lemma Artinova - Nechť L tělo, G konečná skupina automorphisms L mohutnosti N , a K subfield prvky stanovené každý prvek G . Pak L je Galoisovo rozšíření K stupně n .
Pokud L je Galoisovo rozšíření K a pokud F je mezilehlé pole ( K ⊂ F ⊂ L ), pak L je Galoisovo rozšíření F a Gal ( L / F ) je podskupina Gal ( L / K ) skládající se z prvky, které ponechávají F invariantní.
Pokud L je konečná rozšíření Galois K , pak prvky subfield L nastavuje všech prvků, Gal ( L / K ) je snížen na K .

Demonstrace

Lemma 1. Artinova - Nechť L tělo, G konečná skupina automorphisms L mohutnosti N , a K subfield prvky stanovené každý prvek G . Pak L je Galoisovo rozšíření K stupně n . (Kontrola, že K je skutečně podpole L, je ponechána na čtenáři.)
- Ukažme, že L je algebraické a oddělitelné.
  Nechť α být prvek L , {α 1 , ..., α m } jeho orbita za působení části G (kardinální m oběžné dráhy je ohraničen n ), a ${\ displaystyle P (X) = \ prod _ {k = 1} ^ {m} (X- \ alpha _ {k}).}$ Každý prvek G permutuje α k proto stanoví koeficienty p (x), které proto patří do K .
  Tento výsledek ukazuje, že α je kořen polynomu s koeficienty v K bez vícenásobného kořene. Přípona L je proto algebraická i oddělitelná.
  Více než minimální polynomu alfa na jednom oznámení K je (protože se dělí P (x))
  (1) ze stupně menší než nebo se rovná n, a
  (2) rozdělením na L .
- Ukažme, že stupeň rozšíření je menší nebo roven n.
  Za to, že nám ukazují, že r libovolné prvky x 1 , ..., x r o L jsou K- souvisí jakmile r > n. Nechť F = K ( x 1 , ..., x r ). Podle výše, F je konečné prodloužení K generované oddělitelnými prvky, tak (podle odstavce morphisms v algebraické uzavření na výrobku oddělitelného rozšíření ) F oddělitelné přes K . V primitivní prvek teorému , F je tedy ve tvaru K (a). Navíc podle poznámky (1) výše je stupeň α nad K (jinými slovy: rozměr K - vektorový prostor F ) menší nebo roven n, proto je přísně menší než r, jakmile r > n, takže ( x 1 , ..., x r ) je pak K- spojeno.
- Nakonec je prodloužení normální a stupně větší nebo rovné n.
  Normálnost vyplývá z poznámky (2) výše a z druhé ze dvou # základních vlastností . Podle první z těchto dvou vlastností se tedy stupeň rozšíření rovná kardinálovi jeho skupiny Galois. Protože tato skupina obsahuje G , její mohutnost je alespoň n.
2. Pokud L je Galoisovo rozšíření K a F je mezilehlé pole ( ), pak L je Galoisovo rozšíření F a Gal ( L / F ) je podskupina Gal ( L / K ) složená z prvků které ponechávají F invariantní. $\ scriptstyle K \ podmnožina F \ podmnožina L$
L je oddělitelné na K, proto na F (minimální polynom na F libovolného prvku L rozděluje minimální polynom na K , má tedy jednoduché kořeny jako druhý). Podobně L je normální na K a tedy na F (jakýkoli morfismus od L do Ω opouštějící F invariantní také opouští K invariantní proto je automorfismus L ). A konečně, skupina Gal ( L / F ) je ze své podstaty množina prvků Gal ( L / K ), které ponechávají nejen K invariantní, ale F (což opět dokazuje skutečnost - navíc elementární - že tato podmnožina je skutečně podskupina).
3. Pokud L je konečná rozšíření Galois K , pak prvky subfield L nastavuje všech prvků, Gal ( L / K ), se redukuje na K .
Tato množina F je (podle definice) mezilehlé pole mezi K a L , splňující Gal ( L / K ) = Gal ( L / F ). Podle první ze dvou # základních vlastností tedy máme [ L : K ] = karta (Gal ( L / K )) = karta (Gal ( L / F )) ≤ [ L : F ], takže [ F : K ] ≤1, tedy F = K .

Nechť L je konečným Galoisovým rozšířením K a G jeho Galoisovy skupiny. Podskupiny H z G , se L H subfield L , která obsahuje prvky stanovené každý prvek H . Předchozí návrhy jsou použity v podrobném článku k prokázání základní věty Galoisovy teorie:

L je Galoisovo rozšíření L H a H je přidružený Galois skupina. Aplikace, která každý H kombajnům L H je bijection všech podskupin G ve všech mezilehlého tělesa mezi K a L . Rozšíření L H z K je Galoisovo tehdy a jen tehdy, pokud H je podskupina z G . Potom se Galois skupina tohoto rozšíření je izomorfní s kvocientu skupiny G / H .

Obecný případ. Pokud již nepředpokládáme konečné rozšíření, je Galoisova skupina Gal ( L / K ), tj. Skupina K -automorfismů L , profinní skupinou (projektivní limit konečných skupin), poskytnutou profinovanou topologií. Základní věta je uvedena jako v konečném případě a nahrazuje podskupiny uzavřenými podskupinami. Konečné dílčí rozšíření Galois odpovídají otevřeným podskupinám Gal ( L / K ).

Podívejte se také

Poznámky

J.-L. Lagrange , „ Úvahy o algebraickém rozlišení rovnic “, Nové monografie Královské akademie věd a Bellesovy dopisy z Berlína , 1771-72, znovu publikováno v Œuvres de Lagrange , t. 3, Paříž, 1869, s. 205-421 .
ML Sylow, „ Věta o substitučních skupinách “, Mathematische Annalen , sv. PROTI,1872, str. 584-594.
(It) P. Ruffini, Teoria Generale delle Equazioni, v cui si dimostra nemožná la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto , 1799.
(La) CF Gauss, Disquisitiones arithmeticae , 1801.
P.-L. Wantzel, „Výzkum prostředků k rozpoznání, zda lze problém s geometrií vyřešit pomocí pravítka a kompasu“, v Journal of pure and Applied mathematics , 1 e series, tome II, 1837, str. 366-372.
Matematické práce Évariste Galois , Journal of pure and Applied Mathematic , řada 1 e , svazek XI, 1846, s. 381-444.
(De) R. Dedekind, Gesammelte mathematische Werke , after Nicolas Bourbaki , Elements of the history of mathematics [ detail of editions ], str. 106, ref. 79.
(De) D. Hilbert , „ Die Theorie der algebraischen Zahlkorper “ , Jahresbericht der DMV , sv. 4,1897, str. 175-546, známý jako Zahlbericht („Zpráva o číslech“).
(De) E. Steinitz , „ Algebraische Theorie der Körper “ , Journal für die Reine und angewandte Mathematik , sv. 137,1910, str. 167–309.
Použitím axiomu volby je tato hypotéza konečnosti ve skutečnosti nadbytečná, srov. Lang, Algebra , kap. VIII, Věta 1.

externí odkazy

Krátká prezentace algebraických rozšíření Bernardem Le Stumem, University of Rennes 1. 2001
Kurz DEA o teorii Galois od Alaina Krause, University of Paris VI , 1998

Reference

Régine a Adrien Douady , teorie Algebra a Galois [ detail vydání ]
Serge Lang , Algebra [ detail vydání ]
Pierre Samuel , Algebraická teorie čísel [ detail vydání ]