Fréchetový prostor

Fréchet prostor je matematická struktura z topologického vektorového prostoru splňuje určité věty týkající se Banachových prostorů i v nepřítomnosti normy . Tento název odkazuje na Maurice Frécheta , francouzského matematika, který se zejména podílel na založení topologie a jejích aplikací ve funkční analýze . Právě v této poslední doméně je struktura Fréchetových prostorů obzvláště užitečná, zejména poskytnutím přirozené topologie prostorům nekonečně diferencovatelných funkcí a prostorům distribucí .

Definice

Real topological vektorový prostor se nazývá Fréchet prostor , je-li ve stejnou dobu:

nebo jednodušeji: pokud je lokálně konvexní a měřitelný na úplnou vzdálenost a invariantní překladem.

Pro nenulový Fréchetův prostor existuje několik vzdáleností invariantních translací indukující topologii a všechny jsou úplné, protože indukují stejnou jednotnou strukturu.

Ve funkční analýze se přímo používá následující ekvivalentní definice:

Fréchet prostor je kompletní skutečný topologický vektorový prostor (v jednotném smyslu), jejíž topologie je indukována spočetnou a dělicí rodiny z polovičních norem .

Stejně tak neexistuje žádná kanonická volba takové rodiny polořadovek. Neexistuje také přirozená bijekce mezi kompatibilními a neměnnými vzdálenostmi a těmito rodinami polořadovek.

Příklady

Jakýkoli Banachův prostor je prostor Fréchet, ale obrácení je nepravdivé, tj. Některé Fréchetovy prostory, například C ∞ ([0, 1]) nebo C (ℝ), nejsou normovatelné .

Prostor C ∞ ([0, 1]) nekonečně diferencovatelných funkcí v intervalu [0, 1] je poskytován semi-normami pro jakékoli celé číslo k ≥ 0: ${\ displaystyle p_ {k} (f) = \ sup _ {x \ v [0,1]} \ vlevo | f ^ {(k)} (x) \ vpravo |}$ kde f (0) = f a pro všechna k > 0, f ( k ) označuje k - tou derivaci f . V tomto prostoru posloupnost ( f n ) funkcí konverguje k funkci f ∈ C ∞ ([0, 1]) právě tehdy, když pro všechna k ≥ 0 posloupnost ( f n ( k ) ) konverguje rovnoměrně na f ( k ) .
Fréchetův prostor C ( X ) spojitých funkcí na topologickém prostoru X σ-compact je vybaven semi-normami definovanými normami sup na řadě kompaktů K n pokrývající X (pro X = ℝ můžeme vzít K n = [- n , n ]). Získaná topologie je identifikována s kompaktně otevřenou topologií . Například pro prostor C ( ℕ ) sekvencí (reálných nebo komplexních) můžeme singletony brát jako kompakty . Odpovídající semi-normy spojují s každou posloupností modul pevného indexového členu posloupnosti. Konvergence řady sekvencí se tedy rovná konvergenci mezi termíny.

Kombinací těchto dvou myšlenek definujeme Fréchetovu strukturu v prostoru třídních funkcí C m ( m ≤ $\infty$ ) na otevřeném Ω ℝ p as hodnotami v Banachově prostoru pomocí polostandardů ${\ displaystyle p_ {k, n} (f): = \ sup _ {| \ alpha | = k} \ sup _ {x \ v K_ {n}} \ | \ částečné ^ {\ alpha} f (x) \ | \ quad (n, k \ in \ mathbb {N} {\ text {and}} k \ leq m)}$ kde α označuje multiindexy a posloupnost kompaktů K n pokrývá Ω.

Definujeme stejné, obecně se Fréchet prostor funkcí třídy C m je odrůda å kompaktní třídy C m .

Vlastnosti

Hypotéza úplnosti umožňuje aplikovat Baireovu větu a její důsledky na Fréchetovy prostory , mimo jiné:
- Banachova-Steinhausova věta : všechna jednoduše ohraničené rodiny lineárních mapami Frechet prostoru topologického vektorovém prostoru je equicontinuous;
- otevřený mapa věta : je jakýkoliv surjektivní kontinuální lineární mapa mezi dvěma Frechet prostory otevřené ;
- jeho důsledek: jakákoli spojitá lineární bijektivní mapa mezi dvěma Fréchetovými prostory je homeomorfismus ;
- věta o uzavřeném grafu : jakákoli lineární aplikace uzavřeného grafu mezi dvěma Fréchetovými prostory je spojitá.

Místní konvexita také zajišťuje následující vlastnosti:
- body prostoru Fréchet jsou odděleny jeho topologickým duálním (srov. Hahn-Banachova věta ).
- jakýkoli kompaktní konvex Fréchetova prostoru je adhezí konvexní obálky jeho extrémních bodů (viz Kerin-Milmanova věta ).

Lokální inverze věta obecně neplatí pro Frechet prostorů, ale slabá verze byla nalezena pod názvem města Nash-Moser teorém .
Jakýkoli kvocient Fréchetova prostoru uzavřeným vektorovým podprostorem je úplný (proto je to Fréchetův prostor). Zde je klíčová hypotéza metrisability.

Odvozeno od Gateaux

Prostor spojitých lineárních map mezi dvěma Fréchetovými prostory nepředstavující apriori Fréchetův prostor, konstrukce diferenciálu pro spojité funkce mezi dvěma Fréchetovými prostory prochází definicí derivace Gateaux .

Φ je funkce definovaná na otevřené U a Frechet prostoru X , s hodnotami v Frechet prostoru Y . Dorty derivát cp v bodě x z U a ve směru h o X je limit v Y (pokud existuje)

${\ displaystyle \ Phi '(x; h) = \ lim _ {t \ až 0 \ na vrcholu t \ neq 0} \, {\ frac {1} {t}} {\ Big (} \ Phi (x + th ) - \ Phi (x) {\ Big)},}$

kde proměnná t je brána jako skutečná.

Funkce Φ je považována za Gateaux-diferencovatelnou v x, pokud existuje spojitá lineární mapa Φ ' G ( x ) od X do Y taková, že pro libovolné h z X , (Φ' G ( x )) ( h ) = Φ „( x; h ).

Diferenciální aplikace cp pak může být chápána jako funkce definované v části Frechet prostoru X x X s hodnotami v Y . Může být případně rozlišeno.

Například derivační lineární operátor D : C ∞ ([0,1]) → C ∞ ([0,1]) definovaný D ( f ) = f ' je nekonečně diferencovatelný. Jeho první rozdíl je například definována pro každý pár ( f , h ) z nekonečně diferencovatelné funkce u D ' ( f ), ( h ) = h' , to znamená, že D ' ( f ) = D .

Nicméně, Cauchy-Lipschitz věta se nevztahuje na řešení obyčejných diferenciálních rovnic na Frechet prostorů ve všech obecnosti.

Poznámky a odkazy

(in) Jean Dieudonné , Pojednání o analýze , sv. 2, s. 66 .
(en) SM Khaleelulla, Counterexamples in Topological Vector Spaces , NML 936, str. 108, uvádí příklad (zmíněný na MathOverflow ) lokálně konvexního úplného prostoru, jehož kvocient určitého uzavřeného podprostoru není ani postupně úplný.

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

N. Bourbaki , Elements of mathematics , EVT , Masson editions , 1981
(en) François Treves , Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra , Dover Publications ,2013( 1 st ed. , 1967, Academie Press ), 592 str. ( ISBN 978-0-486-31810-3 , číst online )