Konvergentní série

V matematice se říká , že řada je konvergentní, pokud má posloupnost jejích dílčích součtů v uvažovaném prostoru limit . Jinak se říká, že se liší .

U numerických řad nebo s hodnotami v Banachově prostoru - tj. Úplném normalizovaném vektorovém prostoru - stačí prokázat absolutní konvergenci řady a ukázat její konvergenci, což umožňuje redukci na řadu v pozitivní skutečné podmínky. Ke studiu posledně jmenovaného existuje široká škála výsledků založených na principu srovnání.

Definice a obecné vlastnosti

Uvažovaná řada je numerická (ve skutečném nebo složitém smyslu) nebo vektorová s hodnotami v normalizovaném vektorovém prostoru. Říkáme, že obecný termín řady konverguje, když sekvence částečných součtů konverguje , kde pro všechny přirozené číslo n , nane{\ displaystyle a_ {n}}(NAne)ne∈NE{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

NAne=∑k=0nenak{\ displaystyle A_ {n} = \ součet _ {k = 0} ^ {n} a_ {k}}

V tomto případě je součet řady limitem posloupnosti dílčích součtů

∑k=0+∞nak=limne→+∞NAne{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} a_ {k} = \ lim _ {n \ to + \ infty} A_ {n}}

Pokud někdo upraví konečný počet členů řady, pak nezmění její povahu (konvergence nebo divergence). Samozřejmě, pokud je řada konvergentní, změna jejích prvních členů změní její součet.

Požadovaná podmínka, hrubá odchylka

Pokud je řada konvergentní, pak posloupnost od té doby konverguje k 0 ∑nane{\ displaystyle \ sum _ {} ^ {} a_ {n}}(nane)ne∈NE{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

∀ne≥1,nane=NAne-NAne-1{\ displaystyle \ forall n \ geq 1, \ qquad a_ {n} = A_ {n} -A_ {n-1}}

Když obecný člen řady nemá tendenci k 0, říká se, že je triviálně nebo hrubě odlišný .

Příklad: je hrubě odlišná řada∑(-1)ne{\ displaystyle \ sum _ {} ^ {} (- 1) ^ {n}}

Absolutní konvergence

Absolutní konvergence poskytuje velmi často používanou podmínku dostatečné konvergence pro numerické řady. Říkáme, že řada se skutečnými nebo složitými členy je absolutně konvergentní, když je řada obecných členů ( absolutní hodnota reálného nebo modulu komplexního čísla ) konvergentní. A v tomto případě řada sama konverguje. ∑nane{\ displaystyle \ sum a_ {n}}|nane|{\ displaystyle | a_ {n} |}∑nane{\ displaystyle \ sum a_ {n}}

Obecněji řečeno, pokud je řada termínů v Banachově prostoru, říkáme, že je absolutně konvergentní, když je obecná řada termínů konvergentní. A v tomto případě řada sama konverguje. ∑nane{\ displaystyle \ sum a_ {n}}‖nane‖{\ displaystyle \ | a_ {n} \ |}∑nane{\ displaystyle \ sum a_ {n}}

Studium absolutní konvergence tak poskytuje dostatečně příjemnou podmínku, vzhledem k tomu, že se redukujeme na studium sérií s kladnými výrazy, pro které existuje mnoho konkrétních výsledků.

Série pozitivních skutečností

Pokud jsou všechny pojmy kladné reálné, říká se , že řada má kladné pojmy . U takové řady se posloupnost dílčích součtů zvyšuje. Je pak buď konvergentní, nebo divergentní s nekonečným limitem. nane{\ displaystyle a_ {n}}∑nane{\ displaystyle \ sum a_ {n}}(NAne){\ displaystyle (A_ {n}) \,}

Obecná zásada: srovnávací pravidla

Je možné uvést srovnávací pravidlo mezi dvěma řadami s kladnými podmínkami, na nichž jsou založena ostatní studijní pravidla.

• Pokud řada má obecné členy a n a b n kladné, navíc pro všechna n , a n ≤ b n  : je-li řada s obecným členem b n konvergentní, pak s obecným členem a n také konverguje (nebo, toto které je ekvivalentní: je-li řada obecných členů a n divergentní, liší se i řada obecných členů b n ).
  Samozřejmě stačí provést srovnání z určité pozice.
• Obecněji řečeno, pokud v posloupnosti ( a n ) dominuje ( b n ) ( a n = O ( b n ) s Landauovými notacemi - zejména pokud jsou podmínky přísně pozitivní a pokud pro všechna n , ): pokud ∑ b n konverguje, pak také ∑ a n .nane+1nane≤bne+1bne{\ displaystyle {\ tfrac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ leq {\ tfrac {b_ {n + 1}} {b_ {n}}}}
• V důsledku toho, pokud a n ~ b n, pak řady ∑ a n a ∑ b n mají stejnou povahu. (Navíc - viz Stolz-Cesàroova věta - tato ekvivalence posloupností se přenáší na částečné součty, pokud se tyto dvě řady rozcházejí, a na zbývající, pokud se sbíhají.)

Tato kritéria lze použít pouze u sérií s kladnými výrazy . Například obecná řada termínů

une=(-1)neneprotine=(-1)nene+1ne∼une{\ displaystyle u_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n}} {\ sqrt {n}}} \ qquad v_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n}} { \ sqrt {n}}} + {\ frac {1} {n}} \ sim u_ {n}}

jsou první, konvergentní a druhý divergentní.

Konvergenční pravidla pro série s kladnými termíny

Každé z těchto pravidel využívá předchozí princip srovnání a je podrobně popsáno v příslušném článku.

• Poměr zkouška
  buďsérie přísně pozitivní podmínky, pro které je poměrblíží k mezní L . Za těchto podmínek řada: konverguje, pokud L <1  ; odchyluje se, pokud L > 1  ; pokud L = 1, nemůžeme to uzavřít. Existuje pravidlo Raabe-Duhamel, které v pochybném případě posune studii dále ( L = 1 ).∑une{\ displaystyle \ sum u_ {n}}une+1une{\ displaystyle {\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}}}
  
• Cauchyovo pravidlo
  Pokud jsou podmínkypřísně pozitivní a pokud existuje konstanta C <1 taková, pakje konvergentní.nane{\ displaystyle a_ {n} \,}(nane)1ne≤VS{\ displaystyle (a_ {n}) ^ {\ frac {1} {n}} \ leq C}∑nane{\ displaystyle \ sum a_ {n}}
• Pravidlo porovnání řady a integrálu
  Pokud je spojitá klesající pozitivní funkce v intervalu [1, ∞ [ , pak jsou řada a integrál stejné povahy, tj. Řada je konvergentní právě tehdy, když je integrál konvergentní.F{\ displaystyle f \,} ∑F(ne){\ displaystyle \ sum f (n)} ∫1∞F(X)dX{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \, {\ rm {d}} x}

Jiné metody

Cauchyho kritérium

Řada s hodnotami v Banachově prostoru je konvergentní, právě když její částečné součty tvoří Cauchyovu posloupnost , to znamená: ∀ε>0∃NE∈NE∀ne≥NE∀p∈NE‖une+1+⋯+une+p‖<ε.{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ existuje N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n \ geq N \ quad \ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad \ left \ | u_ {n +1} + \ tečky + u_ {n + p} \ doprava \ | <\ varepsilon.}

Příklad  : v prostoruℓp(NE){\ displaystyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {N})} vytvořena se svým kanonickým Schauder základny , pro jakékoliv sekvenceze scalars tak, žese řada obecněje bezpodmínečně konvergentní , protože i všechny jeho permutace splňovat kritérium Cauchyho a prostor je kompletní. (δne)ne∈NE{\ displaystyle (\ delta _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(λne)ne∈NE{\ displaystyle (\ lambda _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}∑ne∈NE|λne|p<+∞{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} | \ lambda _ {n} | ^ {p} <+ \ infty}λneδne{\ displaystyle \ lambda _ {n} \ delta _ {n}}

Leibnizovo pravidlo pro střídání sérií

Dirichletův test

Být

• (αne)ne∈NE{\ displaystyle (\ alpha _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} klesající skutečná sekvence, která má tendenci k 0;
• (une)ne∈NE{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}komplexní posloupnost, například pro určitý reálný  :M{\ displaystyle M}∀ne∈NE,|∑k=0neuk|≤M.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ left | \ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} \ right | \ leq M.}

Tak je konvergentní. ∑αneune{\ displaystyle \ sum \ alpha _ {n} u_ {n}}

Související články

• Série Riemann
• Bertrandova řada
• Summable rodina
• Cauchyova zkouška kondenzace
• Test konvergence

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">