E8 (matematika)

V matematice , je největší komplex Lie skupina výjimečného druhu. Je zaznamenána její Lieova algebra . $E_ {8}$ ${\ mathfrak {e}} _ {8}$

E 8 je hodnosti 8 a dimenze 248. Je jednoduše spojená a její střed je triviální.

Struktura E 8 byl objeven v roce 1887 matematik norského Sophus Lie na studijní symetrie a zatím nikoho nenapadlo, že by to mohlo být chápáno matematický objekt, se domnívá, Jeffrey Adams (v) , vedoucí týmu Atlas Lež skupin a reprezentace (en) , které přináší společně 18 matematiků a programátorů z celého světa, včetně Fokko du Cloux a Marc van Leeuwen (en) .

Skutečné tvary

Kromě komplexní Lieovy skupiny , komplexní dimenze 248 (tedy skutečné dimenze 496), existují tři reálné formy této skupiny, všechny skutečné dimenze 248. Nejjednodušší jsou kompaktní (en) a rozšířené (en) formy. (maximálně nekompaktní nebo rozdělené v angličtině) a je zde třetí, poznamenal . $E_ {8}$ $E _ {{8 (-248)}}$ $E _ {{8 (8)}}$ $E _ {{8 (-24)}}$

Stavby

Můžeme zkonstruovat kompaktní tvar skupiny E 8 jako skupinu automorfismů odpovídající lže algebry . Tato algebra má subalgebru dimenze 120 a můžeme ji použít k rozložení adjointové reprezentace jako ${\ mathfrak {e}} _ {8}$ ${\ mathfrak {so}} (16)$

{\ mathfrak {e}} _ {8} = {\ mathfrak {so}} (16) \ oplus \ textstyle {S} _ {{16}} ^ {+}

kde je jedna ze dvou spinálních reprezentací typu Majorana-Weyl ze skupiny, která je Lieovou algebrou. $S _ {{16}} ^ {+}$ $\ operatorname {Spin} (16)$ ${\ mathfrak {so}} (16)$

Pokud zavoláme sadu generátorů pro a 128 komponent, pak můžeme explicitně napsat vztahy definující jako $J _ {{ij}}$ ${\ mathfrak {so}} (16)$ $Q_ {a}$ $S _ {{16}} ^ {+}$ ${\ mathfrak {e}} _ {8}$

\ left [J _ {{ij}}, J _ {{k \ ell}} \ right] = \ delta _ {{jk}} J _ {{i \ ell}} - \ delta _ {{j \ ell }} J_ {{ik}} - \ delta _ {{ik}} J _ {{j \ ell}} + \ delta _ {{i \ ell}} J _ {{jk}} \,

jakož i

\ left [J _ {{ij}}, Q_ {a} \ right] = {\ frac 14} \ left (\ gamma _ {i} \ gamma _ {j} - \ gamma _ {j} \ gamma _ { i} \ vpravo) _ {{ab}} Q_ {b} \,

což odpovídá přirozenému působení na spinor . Zbývající komutátor (který je skutečně komutátorem a nikoli antikomutátorem) je definován mezi složkami spinoru jako $\ operatorname {so} (16)$ $S _ {{16}} ^ {+}$

\ left [Q_ {a}, Q_ {b} \ right] = \ gamma _ {{ac}} ^ {{[i}} \ gamma _ {{cb}} ^ {{j]}} J _ {{ ij}} \,

Z těchto definic můžeme ověřit, že Jacobiho identita je uspokojena.

Geometrie

Skutečnou kompaktní formu E 8 lze chápat jako izometrickou skupinu Riemannova potrubí o dimenzi 128, která se nazývá oktooktonionová projektivní rovina . Tento název pochází ze skutečnosti, že může být konstruována s použitím algebry, který je vytvořen jako tenzor produkt z octonions s sebou. Tento typ konstrukce podrobně analyzují Hans Freudenthal a Jacques Tits ve své konstrukci známé jako magický čtverec ( fr ) .

Ve fyzice

V kontextu velkých teorií sjednocení ve fyzice částic je skupina E 8 někdy považována za skupinu kandidátských měřidel, protože přirozeně obsahuje řadu dalších často považovaných za velké skupiny sjednocení. Vidíme to pod řadou inkluzí

E_ {8} \ leftarrow \ operatorname {SO} (10) \ leftarrow \ operatorname {SU} (5) \ leftarrow \ operatorname {SU} (3) \ times \ operatorname {SU} (2) \ times \ operatorname {U } (1) \,

Skupina E 8 se navíc často objevuje v teorii strun a v supergravitaci . V teorii heterotických řetězců se díky formulaci jeví (v kompaktní formě) skupina měřidel . Kromě toho, když je maximální supergravity je zhutněna na anuloidu rozměru 8 pak byla výsledná teorie v dimenzi tři má globální symetrie E 8 (to znamená, že rozvinutý tvar, nebo maximálně nekompaktním). Následně bylo navrženo diskrétní verzi, označený , že skupina by symetrie, nazvaný v této souvislosti U-dualita (en) , v teorie M . $\ textstyle {E_ {8}} \ times \ textstyle {E_ {8}}$ $E_ {8} (\ mathbb {Z})$

V listopadu 2007 americký fyzik Antony Garrett Lisi vložil na web arXiv Scientific Preprints hodně diskutovaný článek o sjednocující teorii sil založené na skupině E 8 : „ Výjimečně jednoduchá teorie všeho “.

Algebra

Dynkinův diagram

Kořenový systém

V základu tvořeném jednoduchými kořeny je kořenový systém E 8 tvořen na jedné straně ze všech permutací ${\ mathfrak {so}} (16)$

\ left (\ pm 1, \ pm 1,0,0,0,0,0,0 \ right) \,

který tvoří systém kořenů a má prvky (je nutné přidat 8 generátorů Cartanu, abychom získali 120, což je rozměr ). ${\ mathfrak {so}} (16)$ $4 \ krát {\ begin {pmatrix} 8 \\ 2 \ end {pmatrix}} = 112$ ${\ mathfrak {so}} (16)$

Kromě toho je třeba k tomu přidáme 128 závaží spinor zastoupení všech . Vždy ve stejné základně jsou tyto reprezentovány vektory $S _ {{16}} ^ {+}$ ${\ mathfrak {so}} (16)$

\ vlevo (\ pm {\ frac 12}, \ pm {\ frac 12}, \ pm {\ frac 12}, \ pm {\ frac 12}, \ pm {\ frac 12}, \ pm {\ frac 12} , \ pm {\ frac 12}, \ pm {\ frac 12} \ vpravo) \,

tak, že součet všech souřadnic je sudý. Jsou do počtu . ${\ frac 12} \ krát 2 ^ {8} = 128$

Získali jsme tedy kořeny, vše s multiplicitou 1. Zneužíváním jazyka také někdy považujeme nulový vektor za kořen spojený s Cartanovou subalgebrou (en) . Protože E 8 má hodnost 8, je nulový kořen multiplicity 8. Konečně jsme tedy dobře popsali 248 generátorů algebry . $112 + 128 = 240$ ${\ mathfrak {e}} _ {8}$

Kartanová matice

{\ begin {pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & -1 \ \ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 a 0 a 0 a 2 \ end {pmatrix}}

Zastoupení

${\ mathfrak {e}} _ {8}$ se liší od ostatních konečně-dimenzionálních Lieových algeber tím, že jeho nejmenší netriviální reprezentace je adjunktní reprezentace .

Základní reprezentace E 8 má rozměr 248.

Dekódování skupiny E 8

19. března 2007 oznámil Americký matematický institut ( AIM), že americkým a evropským vědcům se po čtyřech letech úsilí a více než století po objevu podařilo dekódovat E 8 , jeden z nejsložitějších a největších matematických struktur. Jádro výzkumné skupiny se skládá ze sedmi matematiků, pět Američanů a dvou francouzských Jeffrey Adams z University of Maryland , Dan Barbasch z Cornell University , John Stembridge (v) na University of Michigan , Peter Trapa z University of Utah , Marc van Leeuwen z University of Poitiers , David Vogan (z) z Massachusetts Institute of Technology a Fokko du Cloux z University of Lyon .

Podle Petera Sarnaka , profesora matematiky na Princetonské univerzitě a předsedy vědeckého výboru AIM, by dekódování této skupiny mohlo otevřít dveře dalším inovacím v oblasti počítačového programování.

"Tento průlom je důležitý nejen pro zdokonalení základních matematických znalostí, ale také pro usnadnění počítačových výpočtů při řešení složitých problémů, [...]." Dekódování této struktury zvané E 8 by také mohlo velmi dobře mít aplikace v matematice a fyzice, které několik let neobjevíme. "

- Peter Sarnak, Le Monde , 19. března 2007

Mezi objekty, které jsou základem Lieových skupin, jsou všechny druhy geometrických obrazců, jako jsou koule , kužely , válce v trojrozměrném prostoru. Ale věci se zhoršují, když studujeme tyto objekty ve prostorech vyšších dimenzí. „Pochopení a klasifikace struktur bylo zásadní pro pochopení jevů v mnoha oblastech matematiky, včetně algebry , geometrie , teorie čísel i fyziky a chemie, “ komentuje Peter Sarnak, profesor matematiky na Princetonské univerzitě a předseda vědeckého výboru AIM . $E_ {8}$

Tyto výpočty vyžadovaly nové matematické techniky a výpočetní kapacity počítačů, které před několika lety neexistovaly, tvrdí vědci. Operace se 77 hodin a vyžadoval superpočítač s 200 GB z paměti RAM , a k výsledku kolem 60 GB, jehož velikost může být v porovnání s 60 krát, že z lidského genomu. Tým tedy čekal na nalezení superpočítače schopného provádět výpočty, když Noam Elkies , matematik na Harvardské univerzitě, přišel se způsobem, jak rozdělit projekt na jednodušší. Každý prvek vytváří podmnožinu výsledku a jejich vzájemné spojení poskytuje úplné řešení problému. V létě roku 2006 rozdělili tři členové týmu, včetně Fokko du Cloux, program na několik částí. Výpočty byly provedeny na stroji na Washingtonské univerzitě .

Pořadí a povaha výpočtu by měly být porovnány s projektem sekvenování lidského genomu, naznačuje tisková zpráva vydaná AIM. Zatímco celá informace o genomu představuje objem 1 GB, výsledek E 8 je u vysoce komprimovaných dat asi 60krát větší. Napsaný na papíře by tento výsledek pokryl prostor ekvivalentní velikosti Manhattanu .

Některé údaje o výpočtu E 8

Několik představ o velikosti konečného výsledku:

Výsledkem výpočtu E 8 je matice 453 060 řádků a sloupců.
Matice má 205 263 363 600 prvků,
Pokud by každý prvek této matice byl napsán na ploše 2,5 cm 2 , měla by matice rozměr čtverce se stranou větší než 10 km .

Počet odlišných polynomů : 1181 642 979,
počet koeficientů v různých polynomech: 13 721 641 221,
největší koeficient: 11 808 808,
polynom s největším koeficientem: 152 q 22 + 3472 q 21 + 38 791 q 20 + 293021 q 19 + 1370 892 q 18 + 4067 059 q 17 + 7 960 012 q 16 + 11 159 003 q 15 + 11 808 808 q 14 + 9 859 915 q 13 + 6 778 956 q 12 + 3 964 369 q 11 + 2015 441 q 10 + 906 567 q 9 + 363 611 q 8 + 129 820 q 7 + 4 2339 q 6 + 11426 q 5 + 2 677 q 4 + 492 q 3 + 61 q 2 + 3 q,
hodnota tohoto polynomu pro q = 1: 60 779 787,
polynom s nejvyšší hodnotou (při q = 1) dosud objevený (květen 2007) : 1 583 q 22 + 18 668 q 21 + 127 878 q 20 + 60 4872 q 19 + 2 040 844 q 18 + 4 880 797 q 17 + 8 470 080 q 16 + 11 143 777 q 15 + 11 467 297 q 14 + 9 503 114 q 13 + 6 554 446 q 12 + 3 862 269 q 11 + 1 979 443 q 10 + 896 537 q 9 + 36 1489 q 8 + 129510 q 7 + 41 211 q 6 + 11 425 q 5 + 2 677 q 4 + 492 q 3 + 61 q 2 + 3 q,
hodnota pro tento polynom pro q = 1: 62 098 473.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „ E8 (matematika) “ ( viz seznam autorů ) .

(in) Mathematicians Map E8 na webu AIM

externí odkazy

Lieova skupina E8: klíč k teorii superstrun? na futura-sciences.com
Matematické řešení s nepřiměřenými rozměry na techno-science.net