Banachova-Mazurova věta

Banachova-Mazur věta je výsledkem funkční analýzy . Velmi přibližným způsobem vyjadřuje, že normalizované vektorové prostory vyhovující přiměřeným podmínkám z hlediska analýzy jsou podprostory prostoru spojitých cest vykreslených na reálné linii . Věta je pojmenována po Stefanovi Banachovi a Stanisławovi Mazurovi .

Státy

Pro každý kompaktní prostor K , označíme C ( K ) na Banachova prostoru spojitých funkcí z K v ℝ, obdařen normou ‖ ‖ ∞ o stejnoměrné konvergence .

Lineární isometry z jednoho normalizované vektorového prostoru do druhého, se nazývá vkládání .

Libovolný oddělitelný normovaný vektorový prostor se vrhá do C ( K ) pro určitý kompaktní metrický prostor K , který lze dokonce zvolit rovný reálnému intervalu [0, 1].

Jinými slovy: takový prostor E je označena vektor podprostoru F z C ([0, 1]). Je zřejmé, že v případě, navíc E je Banachova, pak je podprostor F je uzavřen .

Demonstrace

Libovolný oddělitelný normovaný vektorový prostor E je ponořen do C ( K ) pro určitý kompaktní metrický prostor K :Označme K je prostor spojitých lineárních forem na E z normy menší než nebo rovný 1, za předpokladu, s topologii jednoduchého konvergence . Podle Banach-Alaogluovy věty je K kompaktní (uzavřený od kompaktu [–1, 1] E ). Je také měřitelný, protože E je oddělitelný. My ponořit E do C ( K ) lineárně spojením kteréhokoliv vektoru x z E kontinuální mapě g x : K → ℝ, f ↦ f ( x ). Podle Hahn-Banachovy věty platí ‖ g x ‖ ∞ = ‖ x ‖.
Pro jakýkoli měřitelný kompaktní prostor K je C ( K ) ponořeno do C (Δ), kde Δ označuje Cantorovu množinu :Víme, že v K existuje surjekce na Δ φ . Ponořit jsme C ( K ) lineárně v C (A) spojením kteréhokoliv mapa g o C ( K ) Tento kompozitní mapa h g = g ∘φ. Tato dvě zobrazení mají stejnou normu surjektivitou ϕ.
C (Δ) se ponoří do C ([0, 1]):Spojujeme s jakýmkoliv satelitní h o C (A) na unikátní mapy C ([0, 1]), který se shoduje s h o, delta a který je afinní na intervalech komplementu [0, 1] \ ó.

Důsledek

Libovolný oddělitelný metrický prostor je izometrický k části C (Δ), tedy C ([0, 1]).

Ve skutečnosti, pokud X je takový prostor, viděný jako součást $ℓ \infty$ ( X ) prostřednictvím Kuratowského vložení , a pokud D je hustá spočetná část X , pak je X zahrnuto do oddělitelného normovaného vektorového prostoru: adheze v $l \infty$ ( X ) všech lineárních kombinací s koeficienty racionální prvků D .

Poznámky

C ([0, 1]) je univerzální Banachův prostor s ohledem na podprostory obrazu ve třídě všech oddělitelných Banachových prostorů; to je přesně výsledek Banachovy-Mazurovy věty.

Existují i další univerzální oddělitelné Banachovy prostory s ohledem na obrazových podprostorů: můžeme ukázat, že některý oddělitelný Banachův prostor je izometricky izomorfní s prostor kvocientu z prostoru sekvencí pásmy 1 .

Aleksander Pełczyński v roce 1962 ukázal, že následující tvrzení o oddělitelných Banachových prostorech E jsou rovnocenná:

E je univerzální oddělitelný Banachův prostor s ohledem na podprostory obrazu;
C (A) se ponoří do E ;
C ([0, 1]) se ponoří do E ;
Existují prvky pro a , jako a pro všechny reálné . ${\ displaystyle x_ {n, k} \ v E}$ $n \ in \ N$ ${\ displaystyle k = 0,1, \ ldots 2 ^ {n} -1}$ ${\ displaystyle x_ {n, k} \, = \, x_ {n + 1,2k} + x_ {n + 1,2k + 1}}$ ${\ displaystyle \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {2 ^ {n} -1} t_ {k} x_ {n, k} \ right \ | = \ max _ {k = 0, \ ldots 2 ^ {n} -1} | t_ {k} |}$ $t_ {k}$

Důsledek se rozšíří: pokud α je nespočetný kardinál , jakýkoli metrický prostor hustoty α je izometrický k části C ([0, 1] α ).

Poznámky a odkazy

(de) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v němčině s názvem „ Satz von Banach-Mazur “ ( viz seznam autorů )

, jehož reference byly

(de) S. Banach a S. Mazur, „Zur Theorie der linearen Dimension“, Studia Mathematica , sv. 4, 1933, s. 100-112 ,
(de) A. Pełczyński, „Über die Universalität einiger Banachräume“, Vestnik Leningrad. Univ. Ser. Stožár. Meh. Astr. , let. 13, 1962, str. 22-29 (originál v ruštině, překlad do němčiny ),
(en) P. Wojtaszczyk, Banachovy prostory pro analytiky , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, sv. 25, 1991 a
(en) Terry J. Morrison, Functional Analysis, An Introduction to Banach Space Theory , Wiley, 2001 ( ISBN 0-471-37214-5 ) .

(en) Neal L. Carothers, Krátký kurz o Banachově vesmírné teorii , CUP ,2005( číst online ) , s. 131.
(in) Juha Hinonen (de) , „ Geometric embeddings of metric spaces “ , University of Jyväskylä ,2003.
(in) Alexander B. Kharazishvili, Aplikace teorie požadované hodnoty v reálné analýze , Springer ,1998( číst online ) , s. 31.
(en) Stefan Cobzas, Funkční analýza v asymetrických normovaných prostorech , Springer,2012( číst online ) , s. 29.