Prostor apartmá ℓ str

V matematiky je prostor ℓ p je příklad vektorového prostoru , který se skládá ze sekvence s skutečných nebo komplexních hodnot, a která má, pro 1 ≤ p ≤ ∞ , je Banachův prostor struktury .

Motivace

Předpokládejme reálný vektorový prostor ℝ n , to znamená prostor n- n-tic z reálných čísel .

Euklidovská norma vektoru je dán vztahem: X=(X1,X2,...,Xne){\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ tečky, x_ {n})}

‖X‖=(X12+X22+⋯+Xne2)1/2{\ displaystyle \ | x \ | = \ left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2} \ right) ^ {1/2} }.

Ale pro jakékoli reálné číslo p ≥ 1 můžeme definovat další normu na ℝ n , nazývanou p -norm, pózováním:

‖X‖p=(|X1|p+|X2|p+⋯+|Xne|p)1/p{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ dots + | x_ {n} | ^ {p } \ vpravo) ^ {1 / p}}

pro libovolný vektor . X=(X1,X2,...,Xne){\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ tečky, x_ {n})}

Pro všechna p ≥ 1 je tedy ℝ n obdařený p -norm normalizovaným vektorovým prostorem . Protože je to konečný rozměr , je pro tento standard kompletní .

Vesmír ℓ str

P -norm může být rozšířena na vektory, které mají spočetné nekonečno komponent, který umožňuje definovat prostor litrů, P (také známý ℓ p ( ℕ ), protože můžeme definovat stejným způsobem litrů, p ( X ) pro jakýkoliv konečný nebo nekonečný množina X , případ, kdy X má n prvků odpovídajících předchozímu odstavci).

Přesněji řečeno, ℓ p bude vektorový podprostor prostoru nekonečné řady reálných nebo komplexních čísel, na kterém je součet definován:

(X0,X1,...,Xne,Xne+1,...)+(y0,y1,...,yne,yne+1,...)=(X0+y0,X1+y1,...,Xne+yne,Xne+1+yne+1,...){\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ tečky, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ tečky) + (y_ {0}, y_ {1}, \ tečky, y_ {n }, y_ {n + 1}, \ dots) = (x_ {0} + y_ {0}, x_ {1} + y_ {1}, \ dots, x_ {n} + y_ {n}, x_ {n +1} + y_ {n + 1}, \ tečky)}

a násobení skalárem podle:

λ(X0,X1,...,Xne,Xne+1,...)=(λX0,λX1,...,λXne,λXne+1,...).{\ displaystyle \ lambda (x_ {0}, x_ {1}, \ tečky, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ dots) = (\ lambda x_ {0}, \ lambda x_ {1}, \ dots, \ lambda x_ {n}, \ lambda x_ {n + 1}, \ dots).}

Definujeme p -norm posloupnosti  : X=(X0,X1,...,Xne,Xne+1,...){\ displaystyle x = (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ dots)}

‖X‖p=(|X0|p+|X1|p+⋯+|Xne|p+|Xne+1|p+...)1/p∈[0,+∞].{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (| x_ {0} | ^ {p} + | x_ {1} | ^ {p} + \ dots + | x_ {n} | ^ {p } + | x_ {n + 1} | ^ {p} + \ dots \ right) ^ {1 / p} \ in [0, + \ infty].}

Řada vpravo není vždy konvergentní: například posloupnost (1, 1, 1,…) má nekonečné p -norm pro libovolné p <∞ .

Prostor ℓ p je definován jako množina nekonečných posloupností reálných nebo komplexních čísel, jejichž p -norm je konečný.

Máme také definovat „normu ∞  “ jako:

‖X‖∞=sup(|X0|,|X1|,...,|Xne|,|Xne+1|,...){\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup (| x_ {0} |, | x_ {1} |, \ tečky, | x_ {n} |, | x_ {n + 1} |, \ tečky)}

a odpovídající vektorový prostor ℓ ∞ je prostor ohraničených sekvencí .

Vlastnosti

• Pro libovolnou množinu X je prostor ℓ ∞ ( X ) funkcí ohraničených na X (se skutečnými nebo komplexními hodnotami) Banach , tj. Jakákoli rovnoměrně Cauchyova posloupnost funkcí ohraničená na X konverguje rovnoměrně (na ohraničenou funkci). Stejně tak pro 1 ≤ p ≤ ∞ je ℓ p (ℕ) Banachova. (Jedná se o dva speciální případy Riesz-Fischerovy věty , která se týká všech prostorů L p .)
• V pásmy ∞ , pozoruhodná podprostor je prostor c ze sbíhajících sekvencí . Je uzavřený ( tedy úplný ), protože jakýkoli jednotný limit konvergentních sekvencí je konvergentní; nebo znovu: c je úplné ( tedy uzavřené v ℓ ∞ ), protože izometricky je izomorfní s (úplným) prostorem spojitých map ( proto ) ohraničených na kompaktu [0, ω] = ℕ∪ {+ ∞} , zhutněný d 'Alexandrov z diskrétního ℕ .
• Pro 1 < p < ∞ je prostor pořadového ℓ p je reflexivní . Jeho duální je prostor ℓ q , s 1 / p + 1 / q = 1;
• V pásmy ∞ , podprostor c 0 sekvencí s nulovou limitu je není reflexivní: jeho dvojí je ℓ 1 a dvojí pásmy 1 je ℓ ∞ . Proto ani ℓ 1 a ℓ ∞ nejsou reflexní.
• Pro všechna r < ∞ a veškeré x ∈ litrů, r , mapa p ↦ ║ x ║ p je klesající na [ r , + ∞ [ . Ve skutečnosti, pokud p ≥ q ≥ r máme | x k | / ║ x ║ q ≤ 1 pro jakýkoli index k , proto|Xk|p/‖X‖qp≤|Xk|q/‖X‖qq ;{\ displaystyle | x_ {k} | ^ {p} / \ | x \ | _ {q} ^ {p} \ leq | x_ {k} | ^ {q} / \ | x \ | _ {q} ^ {q} ~;}sečtením této nerovnosti na k odvodíme ║ x ║ p ≤ ║ x ║ q . Funkce p ↦ ║ x ║ p je také spojitá přes [ r , + ∞] . Zejména :‖X‖∞=limp→+∞‖X‖p.{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ až + \ infty} \ | x \ | _ {p}.}

Poznámky a odkazy

1. Georges Skandalis , obecná topologie , Masson.
2. (v) "  The L ∞ -norm se rovná limitů a v p -norms  " na math.stackexchange .

Související články

• Schauderova základna
• Prostor L str
• Summable rodina

externí odkazy

• Autoritní záznamy  :
  • Francouzská národní knihovna ( údaje )
  • Univerzitní dokumentační systém
  • Knihovna Kongresu
  • Gemeinsame Normdatei