Paprsek (matematika)

V matematiky , je paprsek je nástroj, který umožňuje, aby systematicky sledovat data definovaná místně a spojených s otvory jednoho topologického prostoru . Data mohou být omezena na menší otvory a data odpovídající otevřenému jsou ekvivalentní sadě kompatibilních dat odpovídajících malým otvorům překlenujícím původní otevřené. Například taková data mohou sestávat z prstenců spojitých nebo hladkých reálných funkcí definovaných při každém otevření.

V geometrii , stejně jako jinde v algebraické geometrii v diferenciální geometrii , je koncept paprsku zobecněním celkových částí vektorového svazku . V této souvislosti je základem svazku algebraická odrůda nebo diferenciální odrůda .

Paprsky zavedl Jean Leray v algebraické topologii, když byl během druhé světové války v zajetí. Pod popudem zejména Henriho Cartana , Jeana-Pierra Serra a Alexandra Grothendiecka (kterým vděčíme za termín prefeam ), paprsky následně získaly značný význam v mnoha oblastech matematiky, kde „se snažíme hýbat problém, od lokálního řešení po globální řešení. Překážky takového průchodu lze studovat pomocí kohomologie paprsků .

Pre-paprsky

Definice prefeamu - Nechť $X$ je topologický prostor a kategorie. Prefeam objektů na $X$ jsou údaje o: $\ mathcal C.$ ${\ mathcal {F}}$

pro jakoukoliv otevřenou $U$ z $X$ , objektu nazývá předmětu úseků o o $U$ (nebo výše pro $U$ ); ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (U) \ v {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {F}}$
pro jakékoli otevřené $V$ zahrnuté v $U$ , morfismus , nazývaný restrikční morfismus z $U$ na $V$ ; ${\ displaystyle \ rho _ {VU}: {\ mathcal {F}} (U) \ až {\ mathcal {F}} (V)}$

jako :

${\ displaystyle \ rho _ {UU} = \ operatorname {id} _ {{\ mathcal {F}} (U)}}$ pro jakékoli otevřené $U$ ;
$\ rho _ {{WU}} = \ rho _ {{WV}} \ circ \ rho _ {{VU}}$ pro všechny inkluze otevřené $W \subset V \subset U$ .

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X)}$ se nazývá objekt globálních sekcí .

Ekvivalentně můžeme definovat prefeam jako kontravariantní funktor otevřené kategorie $X$ (s vměstky jako morfismy) v . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}: U \ mapsto {\ mathcal {F}} (U)}$ $\ mathcal C.$

Nejběžnější předřadníky mají hodnoty v konkrétních kategoriích (kategorie množin, skupin, prstenů, vektorových prostorů, algeber, modulů, topologických prostorů, topologických skupin atd.). V tomto případě si pro všechny otevřené $V \subset U$ všimneme:

{\ displaystyle \ forall s \ in {\ mathcal {F}} (U) \ quad \ rho _ {VU} (s): = s | _ {V}}

a prvek se nazývá část z výše $U$ . Píšeme místo . ${\ displaystyle s \ in {\ mathcal {F}} (U)}$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle \ Gamma \ vlevo (U, {\ mathcal {F}} \ vpravo)}$ ${\ mathcal F} (U)$

Příklady

Zásadním příkladem prefeamu je situace, kdy omezení morfismů jsou obvyklými omezeními funkcí. Zejména na diferenciálním potrubí (resp. Analytickém potrubí) $X$ je pro libovolné otevřené $U \subset X$ množina funkcí neurčitě diferencovatelná od $U$ směrem ke komplexům (resp. Množina analytických funkcí se složitými hodnotami) prstencem. Tyto prstence tvoří předvýběr prstenů na $X$ vzhledem k obvyklým omezením funkcí. ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (U, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (U)}$
Můžeme také uvažovat množinu všech rozvodů na diferenciálním potrubí $X$ (resp. Množina všech hyperfunkce na reálnou analytické potrubí $X$ ), pokud toto potrubí je konečné dimenze a paracompact (například pokud se jedná o non-prázdný otevřený z ); tato sada je abelianská skupina. Dostaneme se presheaf rozvodů (resp. Of hyperfunkce) na $X$ tím, že zvažuje omezení těchto distribucí (resp. Tyto hyperfunkce) otevřete $X$ . ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ vlevo (X \ vpravo)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ vlevo (X \ vpravo)}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$
V komplexní rovině, která je dána obyčejná diferenciální rovnice, lineární as holomorfními koeficienty, tvoří prostory řešení na otvorech, které se vyhýbají singulárním bodům rovnice, prefeam vektorových prostorů dimenze rovné řádu l 'rovnice.

Výše uvedené příklady předpásů jsou nosníky (viz níže ).

Pre-paprsky a morfismy paprsků

Pre-paprsky na množině $X$ lze považovat za objekty kategorie , jejichž šipky jsou definovány následovně.

Definice morfismu pre-sheaves a morfismu sheaves - Vzhledem k tomu, že dva pre-paprsky a na stejném topologickém prostoru $X$ , je morfismus před-paprsku dán rodinou morfismů pro jakékoli otevřené $U$ , takže pro jakoukoli sekci $to$ ze dne $u$ máme: ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal {G}}$ ${\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ na {\ mathcal {G}}}$ ${\ displaystyle f (U): {\ mathcal {F}} (U) \ až {\ mathcal {G}} (U)}$ ${\ mathcal {F}}$

f (V) (s | _ {V}) = f (U) (s) | _ {V}

Morfismus paprsek (viz níže ), je předem paprsek morfismus mezi dvěma nosníky.

Vlákna a bakterie

Dovolit být předzářením na $X$ s hodnotami v kategorii, která připouští indukční limity. Vláken ( EGA , 0.3.1.6) (anglicky terminologie: „stonek“, tyč ) o v bodě $x$ o $X$ je samozřejmě předmětem induktivními koncovými ${\ mathcal {F}}$ $\ mathcal C.$ ${\ mathcal {F}}$ $\ mathcal C.$

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {x} = \ varinjlim _ {U \ ni x} {\ mathcal {F}} (U)}

limit se bere na všechny otvory obsahující $x$ , řádový vztah na těchto otvorech je inkluze a přechodové morfizmy jsou omezovací morfizmy . $V \ podmnožina U$ ${\ displaystyle \ rho _ {VU}: {\ mathcal {F}} (U) \ až {\ mathcal {F}} (V)}$

Pokud je kategorie beton, kanonický obraz sekce $s$ In je klíček ze $s$ v bodě $x$ , poznamenat, $s$ $x$ . $\ mathcal C.$ ${\ mathcal F} _ {x}$

Poznámka. Někteří autoři volají na zárodek a v bodě $x$ , čemu se říká nad vláknem o v tomto bodě. ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal {F}}$

Svazky

Definice nosníku

Na příkladu funkcí na diferenciální potrubí X . Vlastnost těchto funkcí být neomezeně diferencovatelná je místní . Je proto možné „lepit“ funkce shodující se na průsečících jejich definiční oblasti (včetně případů, kdy je tato část prázdná) do globální funkce . Totéž by platilo pro spojité nebo obecněji třídní funkce . Totéž platí, i když je to méně zřejmé, pro distribuce na konečně-dimenzionálním paracompaktním diferenciálním potrubí, nebo pro analytické funkce nebo hyperfunkce na konečně-dimenzionálním paracompaktním skutečném analytickém potrubí. Právě tuto vlastnost bychom zde chtěli zobecnit z představy předletové kontroly. $C ^ {{\ infty}}$ $C ^ {{\ infty}}$ $C ^ {{\ infty}}$ $C ^ {{m}}$

Balíček sad Definice

Podmínkou pro pre-snop souprav být svazek - prenatální svazek sad na X se nazývá snop , kdy pro každou otevřenou V části X , spojení s rodinou otvorů , a pro každou rodinu úseků na otevřeném , kontrola: ${\ mathcal {F}}$ $\ {V_ {i} \} _ {I}$ $\ {s_ {i} \} _ {I}$ ${\ mathcal {F}}$ $V_i$

s_ {i} | _ {{V_ {i} \ cap V_ {j}}} = s_ {j} | _ {{V_ {i} \ cap V_ {j}}}

je jediná sekce to o o V taková, že: . ${\ mathcal {F}}$ $s | _ {{V_ {i}}} = s_ {i}$

Poznámka

Protože prázdná rodina je překrytím prázdného otevřeného , výsledkem výše uvedené podmínky je singleton. ${\ mathcal F} (\ varnothing)$

Ostatní případy

Stejným způsobem definujeme na topologickém prostoru X svazek skupin (resp. Abelianských skupin, prstenů atd.) Jako svazek základny X s hodnotami v kategorii skupin (resp. Abelianských skupin, kruhů atd.), Které splňují výše uvedenou podmínku.

Balíček s hodnotami v kategorii Obecná definice

Prozkoumejme nyní případ paprsku na X s hodnotami obecně v kategorii ( EGA , 0.3.1): $\ mathcal C.$

Obecná definice paprsku -

Pre-paprsek přes X s hodnotami v kategorii se nazývá paprsek, pokud je splněna následující podmínka: ${\ mathcal {F}}$ $\ mathcal C.$

Pro každý objekt T o , je svazek sad. $\ mathcal C.$ ${\ displaystyle U \ mapsto \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} \ vlevo (T, {\ mathcal {F}} \ vlevo (U \ vpravo) \ vpravo)}$

Podívejme se na několik základních příkladů.

Balíček modulů

Nechť paprsek kroužky na prostoru topological X. . Říkáme -Module vlevo svazek základnových sad X poskytnuté s následující strukturou: pro všechny otevřené U , my předpokládáme strukturu modulu na levé straně na kruhu , tak, aby aplikace omezení ( ) nebo modul homomorphism kompatibilní s kroužkem homomorfismus . Za všechno , předáním na indukční limitu na snižování otvorů , vlákno je -module na levé straně, a údaje o těchto vláken pro všechno , se strukturou -module na levé straně, které bylo právě uvedené a je ekvivalentní to -Module nalevo . ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (U)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} (U)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (U) \ mapsto {\ mathcal {M}} (V)}$ $V \ podmnožina U$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} (U) \ mapsto {\ mathcal {A}} (V)}$ $x \ v X$ ${\ displaystyle U \ ni x}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {x}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {x}}$ $x \ v X$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {x}}$ ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal {M}}$

Dovolme být kategorií topologických skupin (se spojitými homomorfismy pro morfismy). Svazek na X s hodnotami v je svazek skupin tak, že pro jakoukoliv otevřenou U a jakékoli překrytí U otvory , topologie skupiny je alespoň jemný takže omezení kontinuální . Morfizmus úrody topologických skupin je morfismus úrody skupin tak, že pro každý otevřený U , je kontinuální ( EGA , 0.3.1.4). $\ mathcal C.$ $\ mathcal C.$ ${\ displaystyle U \ mapsto {\ mathcal {F}} \ doleva (U \ doprava)}$ ${\ displaystyle U_ {i} \ podmnožina U}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ vlevo (U \ vpravo)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ vlevo (U \ vpravo) \ mapsto {\ mathcal {F}} \ vlevo (U_ {i} \ vpravo)}$ ${\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ mapsto {\ mathcal {G}}}$ ${\ displaystyle f (U): {\ mathcal {F}} (U) \ mapsto {\ mathcal {G}} (U)}$

Rovněž bychom definovali svazek topologických prstenů nebo svazek topologických modulů na svazku topologických kroužků.

Zobecnění, topos

Ve výše uvedené definici je svazek funktorem konkrétního typu kategorie otvorů topologického prostoru v kategorii . Můžeme uvažovat o obecnějším případu: buď „malá kategorie“ ( tj . Kategorie, jejíž třídou předmětů je sada) připouštějící výrobky z vláken , a kategorie. Prefeam on s hodnotami v je obecně kontravariantní funktor červů . Můžeme poskytnout strukturu nazvanou „Grothendieckova topologie“. To spočívá v definování jakékoliv objektů U z „zahrnující rodiny“ z U , a to rodiny morfismů , které mají vlastnosti, analogické k zakrytí otevřeného U topologického prostoru X rodina otvorů , na morfizmö, v tomto případě je inkluze. Kategorie s topologií Grothendieck se nazývá web . Paprsek na místě s hodnotami v je definována od pojmu prefail úvahou, obdobně , jako kdyby to byl obvyklý topologický prostor, křižovatka otevřených částí nahrazován vláknitého výrobku. Nazýváme topos jakoukoli kategorii ekvivalentní kategorii svazků sad na webu. Pojem topos zobecňuje pojem topologického prostoru. Existuje však celá řada příkladů, které nemají žádný vztah k topologii: pokud G je skupina, pak kategorie množin, na nichž G pracuje, je topos; „přesný topos“, tj. kategorie paprsků v prostoru omezená na bod není nic jiného než kategorie sad. ${\ mathcal {F}}$ $\ mathcal C.$ ${\ mathcal {S}}$ $\ mathcal C.$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal {S}}$ $\ mathcal C.$ ${\ mathcal {S}}$ $\ mathcal C.$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ displaystyle U_ {i} \ do U}$ ${\ displaystyle U_ {i} \ podmnožina U}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}}$ $\ mathcal C.$ ${\ mathcal {S}}$

Nechť X je předmětem . Representable functor je, podle toho, co předchází, je prefeam, nazvaný „reprezentován X “. Kanonický kovariantní functor , kategorie v kategorii snopy sad na , je zcela věrný, a tudíž není možné identifikovat X s prefeam , stejně jako kategorie s typem prefeabs na . „Kanonická topologie“ je definována jako nejjemnější (Grothendieckova) topologie ( tj. Ta s nejrozsáhlejšími rodinami), pro kterou jsou reprezentativní funktory svazky; výběrem topologie (Grothendieck), která je méně jemná než kanonická topologie, můžeme proto identifikovat lokalitu s jejími toposy. ${\ mathcal {S}}$ ${\ displaystyle h_ {X} = \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {S}} \ left (-, X \ right)}$ ${\ displaystyle h: X \ mapsto h_ {X}, \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {S}} \ left (X, X '\ right) \ ni \ varphi \ mapsto h _ {\ varphi}: h_ {X} (Y) \ ni v \ mapsto \ varphi v \ v h_ {X '} (Y)}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ displaystyle h_ {X}}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ displaystyle h_ {X}}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}}$

Paprskové části rozprostřeného prostoru

Nechť X je topologický prostor. Říkáme základní rozprostřený prostor X dvojice ( E , p ), kde E je topologický prostor a p je lokální homeomorfismus od E do X ( tj. Jakýkoli bod X patří k otevřenému, který p platí homeomorfně na otevřeném). Pro jakékoliv podmnožiny S o X , nazýváme část kyseliny ( E , p ) výše S kontinuální mapě taková, že pro všechny . Za všech otevřených U , všechny sekce ( E , p ) výše U . Pak (za předpokladu restrikčních morfismů k otvorům map ) je svazek základních sad X , nazývaný svazek úseků rozprostřeného prostoru ( E , p ). Zobrazujeme následující výsledek: ${\ displaystyle s: S \ až E}$ $p (s (x)) = x$ ${\ displaystyle x \ v S}$ ${\ mathcal F} (U)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}: U \ mapsto {\ mathcal {F}} \ vlevo (U \ vpravo)}$ $V \ podmnožina U$ ${\ displaystyle U \ až E}$

Věta - Jakýkoli svazek základních sad X je izomorfní s svazkem částí rozprostřeného prostoru, jedinečný až na jeden izomorfismus.

Můžeme identifikovat svazek množin a rozprostřený prostor ( E , p ), což vysvětluje, proč mnozí autoři definují svazek jako topologický prostor splňující příslušné podmínky (toto je hledisko kvůli Michelovi Lazardovi (de) ; jeden z výše uvedených byl dále vyvinut Grothendieckem). ${\ mathcal {F}}$

Balíček přidružený k předběžnému balíčku

Nebo pre-paprsek. Paprsek spojený s předpaprskem se nazývá svazek opatřený morfismem předpaprsků, který má následující univerzální vlastnost: pro jakýkoli morfismus ve svazku existuje jedinečný morfismus takový . Přidružený balíček, pokud existuje, je jedinečný. V případě předřadníků s hodnotami v kategorii, kde existuje indukční limit (například kategorie množin, skupin, prstenů, algeber na prstenci, modulů na prstenci atd.), Existuje související snop. Morfismus indukuje izomorfismus vláken . ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal F} '$ ${\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ na {\ mathcal {F}} '}$ ${\ displaystyle g: {\ mathcal {F}} \ do {\ mathcal {G}}}$ ${\ displaystyle g ': {\ mathcal {F}}' \ do {\ mathcal {G}}}$ $g = g '\ circ f$ ${\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ na {\ mathcal {F}} '}$ ${\ displaystyle f_ {x}: {\ mathcal {F}} _ {x} \ až {\ mathcal {F}} _ {x} '}$

Hromádku je konstruována výslovně způsobem v případě, kdy je prefeam , definovaný na topologické prostoru X , má hodnoty v kategorii betonu, kde existuje indukční limit pro jakoukoliv otevřenou U z X , to znamená, že na sadu funkcí S' z u v nesouvislý svazu taková, že pro všechny a je otevřený sousedství v of x , a takové, že pro všechny . Pak je přidružen balíček . Ze zřejmých důvodů, to je také nazýván části svazku části . Pokud je svazek, morfismus je izomorfismus. ${\ mathcal F} '$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal F} '(U)$ ${\ displaystyle \ coprod \ nolimits _ {x \ v U} {\ mathcal {F}} _ {x}}$ ${\ displaystyle x \ v U, s '(x) \ v {\ mathcal {F}} _ {x}}$ $V \ podmnožina U$ ${\ displaystyle s \ in {\ mathcal {F}} (V)}$ $s_ {y} = s '(y)$ ${\ displaystyle y \ ve V}$ ${\ mathcal F} '$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ na {\ mathcal {F}} '}$

Indukovaný paprsek

Sekce nad libovolnou sadou

Nebo X metrizable topologický prostor S část X , a báze paprsku X . Soubor sekcí výše S je definován ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal F} (S)$ ${\ mathcal {F}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ vlevo (S \ vpravo) = \ lim \ limity _ {\ podnastaveno {U \ supset S} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {F}} \ vlevo (U \ vpravo )}

tj. část z výše S je část klíčků definovaný v otevřené sousedství S . ${\ mathcal {F}}$

Paprsek indukovaný na libovolné sadě

Definujeme indukované paprsek na S takto , označené : pro jakékoliv z jejích podskupin V z S , relativně otevřený vzhledem k S , sady svých úseků uvedených V se shoduje s . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ doleva \ vert S \ doprava.}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} \ vlevo \ vert S \ vpravo.) (V)}$ ${\ mathcal F} (V)$

Příklady

Nechť A je neprázdná množina, X topologický prostor a prefeam na X definovaný pro jakoukoli otevřenou U neprázdnou X a restrikční morfismy jsou všechny stejné jako identita . K , a to se nazývá presheaf konstanta presheaf vláken na X . Máme , a část je bod A jako připojené k otevřeným U , jinými slovy se jedná o konstantní mapa of U v A , nebo opět mapa formuláře , který jako mapu , je konstantní. Všimněte si, že pokud a jsou dva disjunktní otvory, a pokud a jsou dvě sekce definované jednotlivě na a , obecně není definována žádná konstantní funkce, na které se shoduje s na a na , s výjimkou případů, kdy A je singleton; vyřazením tohoto případu se uvažuje, že předsnop není považován za snop, jakmile v X existují dva nesouvislé otvory, to znamená, když X není neredukovatelný topologický prostor . Rozprostřený prostor je, když je A poskytována s diskrétní topologií. Tento prostor je identifikován paprskem spojeným s předpaprskem . Pro každý otevřený U z X , je soubor nekonečných map, jinými slovy, je množina lokálně konstantní map z U v A ( konstanty , pokud U je připojena ). Tento paprsek se nazývá jeden paprsek se základnou X a vláknem A (někteří autoři jej nazývají konstantní paprsek se základnou X a vláknem A , což je terminologie, která může být zavádějící, protože jeho úseky nejsou obecně konstantní funkcí; navíc definujeme lokálně konstantní paprsek , ale má to další význam). ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal F} (U) = A$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ varnothing) = \ left \ {a \ right \} \ podmnožina A}$ $\ rho _ {{VU}}$ ${\ displaystyle Id_ {A}}$ ${\ displaystyle x \ v X, {\ mathcal {F}} _ {x} = A}$ ${\ displaystyle \ coprod \ nolimits _ {x \ v X} {\ mathcal {F}} _ {x} = X \ krát A}$ ${\ displaystyle s \ in {\ mathcal {F}} (U)}$ ${\ displaystyle U \ až X \ krát A}$ ${\ displaystyle x \ mapsto (x, a)}$ ${\ displaystyle U \ až A}$ $V_ {1}$ $V_ {2}$ $s_ {1}$ $s_ {2}$ $V_ {1}$ $V_ {2}$ $s$ ${\ displaystyle V_ {1} \ pohár V_ {2}}$ $s_ {1}$ $V_ {1}$ $s_ {2}$ $V_ {2}$ $X \ krát A$ ${\ mathcal F} '$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal F} '(U) = \ Gamma (F', U)$ ${\ displaystyle U \ až A}$
Stejným způsobem lze definovat prefeam skutečných funkcí ohraničených topologickým prostorem X , ale tento prefeam není obecně paprskem, protože ohraničenost není místní vlastností. Sekce je omezená funkce z U , a paprsek úseky tím i svazek funkcí lokálně ohraničené na X . To se shoduje s if, a pouze tehdy, když z jakéhokoli překrytí X otevřenou rodinou můžeme extrahovat konečný nedostatečný nápoj, tj. Pokud X je kvazi-kompaktní prostor . ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle s \ in {\ mathcal {F}} (U)}$ ${\ mathcal F} '$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal {F}}$
Odvozitelné funkce tvoří svazek, stejně jako funkce nebo holomorfy, distribuce, hyperfunkce atd. To je způsobeno skutečností, že tentokrát je definice těchto objektů lokální a že „lepením“ můžeme přejít z místní do globální. $C ^ {\ infty}$
Nechť p je pevný bod samostatného topologického prostoru X a E množina. Můžeme definovat prefeam, který k otevřenému U přidruží E, pokud U obsahuje p a singleton jinak. Restrikční mapa U k V je identita nebo jediný aplikace E v ojedinělým příští členství p k U a V. . Zkontrolujeme, zda se jedná o paprsek zvaný „mrakodrap“. Vlákno v tomto svazku je singleton, pokud x se liší od p a E, pokud x = p . $E _ {{p}}$ $\ left \ {a \ right \}$ $\ left \ {a \ right \}$ $X$ $\ left \ {a \ right \}$
V kategorii , která je Grothendieckova topologie méně jemná než kanonická topologie, to znamená objekt této kategorie: pak je na webu svazek , jak jsme řekli výše. ${\ mathcal {S}}$ $X$ ${\ displaystyle h_ {X} = \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {S}} (-, X)}$ ${\ mathcal {S}}$

Přímý obraz a obrácený obraz

Dovolit být spojitá mapa mezi dvěma topologickými prostory. Buď je zapnut předzáložník . Jeho přímý obraz by je pre-paprsek, který na všechny otevřené ze společníků , aby žádosti omezení jsou zřejmé. Pokud je paprsek, tak je . $f: X \ až Y$ ${\ mathcal {F}}$ $X$ $F$ $f _ {*} ({\ mathcal F})$ $U$ $Y$ ${\ mathcal F} (f ^ {{- 1}} (U))$ ${\ mathcal {F}}$ $f _ {*} {\ mathcal F}$

Konstrukce obráceného obrazu je jemnější. Dovolit být zapnutý předzářič s hodnotami v kategorii, kde existuje indukční limit. S všechny otevřené z , spojujeme induktivní limit , pokud W prochází sadu otvorů Y obsahující . Když je paprsek, tato metoda neposkytuje paprsek obecně a je to podle definice paprsek přidružený k tomuto před paprsku. $f ^ {{- 1}} {\ mathcal G}$ ${\ mathcal {G}}$ $Y$ $U$ $X$ ${\ mathcal G} (W)$ $f (U)$ ${\ mathcal {G}}$ $f ^ {{- 1}} {\ mathcal G}$

Konstrukty přímého obrazu a reverzního obrazu jsou připojeny v následujícím směru: Let , be bundles on , resp. Takže máme kanonickou bijekci mezi a . ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal {G}}$ $X$ $Y$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}})}$ ${\ mathrm {Hom}} ({\ mathcal G}, f _ {*} {\ mathcal F})$

Injekční morfismy a surjektivní morfismy

Morfizmus paprsek na je injective pokud injective pro všechny otevřené části . Je surjektivní, pokud jsou morfismy vláken surjektivní. Injekční morfismy jsou přesně monomorfismy v kategorii snopů a surjektivní morfismy jsou přesně epimorfismy v této kategorii. ${\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ na {\ mathcal {G}}}$ $X$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (U) \ až {\ mathcal {G}} (U)}$ $U$ $X$ ${\ displaystyle f_ {x}: {\ mathcal {F}} _ {x} \ až {\ mathcal {G}} _ {x}}$ $X$

Jádro, obrázek, kvocient

Dovolme být morfismem snopů abelianských skupin (resp. Of- Modulů nalevo, kde je svazek prstenů se základnou X ) na topologickém prostoru . $f: {{\ mathcal F}} \ do {{\ mathcal G}}$ ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal A}$ $X$

Kernel of je svazek definována . ${{\ rm {Ker}}} f$ $F$ $U \ do {{\ rm {Ker}}} f (U)$
Obraz z je nosník spojen s pre-nosníku . ${{\ rm {Im}}} f$ $F$ $U \ do {{\ rm {Im}}} f (U)$
Cokernel z je svazek spojené s prefeam ${{\ rm {Coker}}} f$ $F$ $U \ to {{\ rm {Coker}}} f (U) = G (U) / ({{\ rm {Im}}} f (U)).$

Kategorie snopů abelianských skupin (resp. Of- Modules nalevo) na X je abelianská kategorie a máme přesnou sekvenci ${\ mathcal A}$

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow {\ rm {Ker}} f \ longrightarrow {\ mathcal {F}} {\ overset {f} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {G}} \ longrightarrow {\ rm {Coker}} f \ longrightarrow 0}

Zejména v případě, je zahrnutí dílčího svazku , pak jeho cokernel je kvocient svazek z par . Tento kvocient označíme . Obecně se liší od toho, že „funktor sekce“ není přesný (je přesný vlevo, ale obecně ne vpravo). Na druhou stranu máme rovnost vláken, protože „vláknový funktor“ $F$ ${{\ mathcal F}} \ subseteq {{\ mathcal G}}$ ${{\ mathcal G}}$ ${{\ mathcal F}}$ ${{\ mathcal G}} / {{\ mathcal F}}$ $({{\ mathcal G}} / {{\ mathcal F}}) (U) = \ Gamma (U, {{\ mathcal G} / F})$ ${{\ mathcal G}} (U) / {{\ mathcal F}} (U) = \ Gamma (U, {{\ mathcal G}}) / \ Gamma (U, {{\ mathcal F}})$ $\ Gamma (U, -)$ ${{\ mathcal G}} _ {x} / {{\ mathcal F}} _ {x} = ({{\ mathcal G}} / {{\ mathcal F}}) _ {x}$

{\ displaystyle \ Gamma _ {x} = \ lim \ limity _ {_ {\ přesahující {\ longrightarrow} {U \ ni x}}} \ Gamma \ vlevo (U, - \ vpravo)}

je přesný, proto správnost následujícího

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow \ left ({\ rm {Ker}} f \ right) _ {x} \ longrightarrow {\ mathcal {F}} _ {x} {\ overset {f_ {x}} {\ longrightarrow} } {\ mathcal {G}} _ {x} \ longrightarrow \ left ({\ rm {Coker}} f \ right) _ {x} \ longrightarrow 0}

Balíček zárodků homomorfismu

Nechť paprsek kroužky na prostoru topological X a , dva -modules vlevo na X . Pre-paprsek ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal {L}}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal A}$

{\ displaystyle U \ mapsto {\ rm {Hom}} _ {{\ mathcal {A}} \ left \ vert U \ right.} \ left (\ left. {\ mathcal {L}} \ right \ vert U, \ left. {\ mathcal {M}} \ right \ vert U \ right)}

je svazek abelian skupiny označeny , a nazývá svazek zárodků homomorfismů z v . Na všechno máme ${\ displaystyle {\ mathfrak {Hom}} _ {\ mathcal {A}} \ left ({\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}} \ right)}$ ${\ mathcal {L}}$ ${\ mathcal {M}}$ $x \ v X$

{\ displaystyle {\ mathfrak {Hom}} _ {\ mathcal {A}} \ left ({\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}} \ right) _ {x} = \ lim \ limits _ { _ {\ overset {\ longrightarrow} {U \ ni x}}} {\ mathfrak {Hom}} _ {\ mathcal {A}} \ left ({\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}} \ right) \ left (U \ right) = \ lim \ limits _ {_ {\ overset {\ longrightarrow} {U \ ni x}}} {\ rm {Hom}} _ {{\ mathcal {A}} \ left \ vert U \ right.} \ left (\ left. {\ mathcal {L}} \ right \ vert U, \ left. {\ mathcal {M}} \ right \ vert U \ right).}

Buď . Semeno je reprezentováno řekněme ,, kde U je otevřené sousedství x . Vzhledem k tomu , indukuje morfizmus vláken . Proto existuje kanonická aplikace ${\ displaystyle f_ {x} \ in {\ mathfrak {Hom}} _ {\ mathcal {A}} \ left ({\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}} \ right) _ {x}}$ $f_ {x}$ ${\ displaystyle f_ {U}: {\ mathcal {L}} \ doleva (U \ doprava) \ do {\ mathcal {M}} \ doleva (U \ doprava)}$ ${\ displaystyle f \ left ({\ mathcal {L}} _ {x} \ right) \ podmnožina {\ mathcal {M}} _ {x}}$ $F$ ${\ displaystyle \ left.f \ right \ vert _ {x}: {\ mathcal {L}} _ {x} \ do {\ mathcal {M}} _ {x}}$

{\ displaystyle {\ mathfrak {Hom}} \ left ({\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}} \ right) _ {x} \ to {\ rm {Hom}} _ {{\ mathcal { A}} _ {x}} \ left ({\ mathcal {L}} _ {x}, {\ mathcal {M}} _ {x} \ right)}

což není obecně injektivní ani surjektivní (je bijektivní, pokud jde o „koherentní paprsek“). ${\ mathcal {L}}$

Produkt tenzoru paprsku

Dovolit být svazek kroužků na prostoru topological X , -Module na pravé straně a -Module na levé straně. Nazýváme tensor produkt z a hromádku poznamenal abelian skupin vytvořených prefeam . Vlákno tohoto svazku v tomto bodě je abelianská skupina ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal {L}}$ ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal {L}}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ otimes _ {\ mathcal {A}} {\ mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle U \ mapsto {\ mathcal {L}} \ vlevo (U \ vpravo) \ otimes _ {{\ mathcal {A}} \ vlevo (U \ vpravo)} {\ mathcal {M}} \ vlevo (U \ že jo)}$ $x \ v X$

{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {L}} \ otimes _ {\ mathcal {A}} {\ mathcal {M}} \ right) _ {x} = {\ mathcal {L}} _ {x} \ další _ {{\ mathcal {A}} _ {x}} {\ mathcal {M}} _ {x}}

Typ nosníků

Níže uvádíme tři typy paprsků: ochablé paprsky a měkké paprsky, které zavedl Godement, a pojem (dříve Henri Cartan ) jemného paprsku.

Ochablé paprsky

Definice a obecné vlastnosti

Dovolit být svazek na topologickém prostoru X , s hodnotami v konkrétní kategorii. Tento svazek je ochablá , jestliže pro každou otevřenou U z X , omezení morfismus surjective. ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X) \ mapsto {\ mathcal {F}} (U)}$
Skutečnost, že paprsek je ochablý, je místní vlastností. V důsledku toho je ochablý, a to pouze tehdy , když je aplikace otevřená , surjektivní. ${\ mathcal {F}}$ $U, V, V \ podmnožina U$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (U) \ mapsto {\ mathcal {F}} (V)}$
U libovolného otevřeného U je „funktor sekce“ přesný pro kategorii ochablých snopů abelianských skupin (nebo -modulů vlevo na svazku prstenů ). $\ Gamma (U, -)$ ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal A}$

Příklady

Jakékoli skutečné funkce v topologickém prostoru tvoří ochablý svazek.
Jak snadno vidíme, jakýkoli jednoduchý svazek na neredukovatelném topologickém prostoru je ochablý („Grothendieckova věta“).
Totéž platí pro svazek reálných funkcí ohraničený na kvazi-kompaktním topologickém prostoru.
Nechť X je paracompaktní skutečné analytické potrubí dimenze n . Balíček hyperfunkčních zárodků na X je ochablý.

Měkké paprsky

Definice a obecné vlastnosti

Nechť X je parakompaktní topologický prostor a svazek na X , s hodnotami v konkrétní kategorii. Tento paprsek je měkký, pokud se kterýkoli úsek nad uzavřeným táhne na celé X. ${\ mathcal {F}}$
Pro svazek je bytí měkké místní vlastností: pokud má jakýkoli bod X otevřenou čtvrť U takovou, že jakákoli část nad uzavřenou podmnožinou X , obsaženou v U , se rozšiřuje na U , pak je měkký svazek. ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal {F}}$
Nechť X je metrizovatelný topologický prostor (tedy paracompact); pro všechny místně uzavřenou podmnožina S o X ( tj. jakékoliv z jejích podskupin S z X , který má otevřený sousedství U , ve kterém je poměrně uzavřený), je „bod functor“ je přesná na kategorii kladek měkké Abelovské skupiny (nebo -Modules vlevo na svazku prstenů ). $\ Gamma (S, -)$ ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal A}$
Nechť X je parakompaktní topologický prostor a svazek na X , s hodnotami v konkrétní kategorii. Pokud je ochablý, je měkký. ${\ mathcal {F}}$ ${\ mathcal {F}}$

Příklady

Nechť X je paracompaktní diferenciální potrubí dimenze n . Základní Abelovské skupiny paprsků X vkládá měkká: paprsek spojitých funkcí zárodků na X , svazek zárodků z nekonečně diferencovatelné funkce na X , paprsek distribuce bakterií na X . Na druhou stranu tyto paprsky nejsou ochablé. $C ^ {{0}}$ $C ^ {{\ infty}}$ ${\ mathcal D} ^ {{\ prime}}$

Tenké svazky

Definice a obecné vlastnosti

Nechť X je topologický paracompact prostor a báze Abelovské skupiny paprsku X . Tento svazek se říká, že je v pořádku, pokud je svazek prstenů měkký. ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {Hom}} _ {\ mathbb {Z}} \ vlevo ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {F}} \ vpravo)}$
Nosník je ukončen tehdy a pouze tehdy, když vzhledem k tomu, dva uzavřené disjunktní podmnožiny A a B z X , existuje homomorphism identitu vyvolání v blízkosti A a 0 v blízkosti B . ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ do {\ mathcal {F}}}$
Pokud a jsou snopy abelianských skupin a pokud je v pořádku, pak je snop abelianských skupin v pořádku (tato vlastnost vysvětluje význam jemných snopů). ${\ mathcal {L}}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ otimes _ {\ mathcal {\ mathbb {Z}}} {\ mathcal {M}}}$

Příklady

Balíček choroboplodných zárodků aplikací X in je v pořádku, stejně jako vše -Module. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {0} (X, \ mathbb {Z})}$ $\ mathbb {Z}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {0} (X, \ mathbb {Z})}$
Pokud X je konečný rozměrný paracompaktní diferenciální potrubí, jsou následující svazky komutativních prstenců v pořádku: svazek zárodků reálných funkcí diferencovatelných na X , stejně jako svazky a (viz výše ). Proto je stejný paprsek moduly na tyto nosníky kroužky, například paprsek zárodků rozdělení nebo externí diferenciální formy na X . ${\ displaystyle \ Omega ^ {0}}$ $C ^ {0}$ $C ^ {{\ infty}}$ ${\ mathcal D} ^ {{\ prime}}$
Na druhou stranu jediný svazek vláken a svazek zárodků holomorfních funkcí na paracompaktním analytickém potrubí konečné dimenze nejsou v pořádku. $\ mathbb {C}$ ${\ mathcal O}$

Poznámky a odkazy

Poznámky

Kashiwara a Schapira 1990 .
Cartan 1950-1951a .
Serre 1955 .
Grothendieck 1957a .
Grothendieck 1957b .
Godement 1958 .
Artin 2006 .
Kashiwara a Schapira 2006 .
Artin, Grothendieck a Verdier 1972 .
Grothendieck a Dieudonné 1971 .
Régine a Adrien Douady , teorie Algebra a Galois [ detail vydání ].
Cartan 1950-1951b .
Morimoto 1993 .
Gunning 1990 .

Reference

Michael Artin , Grothendieck Topologies: Notes on a Seminar by M. Artin, Spring 1962 , Harvard University , Department of Mathematics,2006( číst online )
Michael Artin , Alexandre Grothendieck a Jean-Louis Verdier , SGA 4 (Theory of topos and étale cohomology of diagrams) , Springer,1972( ISBN 3-540-05896-6 , číst online )
Henri Cartan , „ Faisceaux sur un space topologique, I “, seminář Henri Cartan , 1950-1951a ( číst online )
Henri Cartan , „ Faisceaux sur un espace topologique, II “, seminář Henri Cartan , 1950-1951b ( číst online )
Roger Godement , algebraická topologie a teorie svazků , Paříž, Hermann,1958, 283 s. ( ISBN 2-7056-1252-1 , číst online )
Alexandre Grothendieck , „ K některým bodům homologické algebry I “, TMJ , sv. 9, 1957a, str. 119-184 ( číst online )
Alexandre Grothendieck , „ K některým bodům homologické algebry II “, TMJ , sv. 9, 1957b, s. 185-221 ( číst online )
Alexandre Grothendieck a Jean Dieudonné , Elements of Algebraic Geometry I , Berlin / New York, Springer,1971, 466 s. ( ISBN 3-540-05113-9 , číst online )
(en) Robert C. Gunning (en) , Úvod do holomorfních funkcí několika proměnných. Svazek III: Homologická teorie , Wadsworth & Brooks / Cole Publishing Company,1990, 194 s. ( ISBN 0-534-13310-X , číst online )
(en) Masaki Kashiwara a Pierre Schapira , Snopy na rozdělovačích potrubí: s krátkou historií „Počátky teorie paprsků“ od Christiana Houzela , Berlína / Heidelbergu / Paříže atd., Springer,1990, 512 s. ( ISBN 3-540-51861-4 , číst online )
(en) Masaki Kashiwara a Pierre Schapira, kategorie a snopy , Springer,2006, 498 s. ( ISBN 3-540-27949-0 , číst online )
(en) Mitsuo Morimoto , An Introduction to Sato's Hyperfunctions , AMS ,1993, 273 s. ( ISBN 978-0-8218-8767-7 , číst online )
Jean-Pierre Serre , „ Coherent algebraické faisceaux “, Annals of matematiky , 2 nd série, vol. 61, n O 21955, str. 197-278 ( číst online )

Související článek

Pre-paprsek (teorie kategorie)