Hyperfunkce
Pojem hyperfunkce , způsobený Mikioem Sato , zobecňuje pojem distribuce (ve smyslu Schwartze ). Hyperfunkce na reálné linii jsou definovány jako rozdíly „hraničních hodnot“ na skutečné ose holomorfních funkcí ; umožňují najít netriviální řešení lineárních diferenciálních rovnic, jejichž jediné řešení je v prostoru distribucí nula. Prostor hyperfunkcí je proto „větší“ než distribuce; zatímco distribuce je „lokálně konečného řádu“, hyperfunkce může být „lokálně nekonečného řádu“, protože je „lokálně“ analytickou funkcí (tj. spojitou lineární formou v prostoru analytických funkcí ). Další výhodou je to, že svazek z hyperfunkce je „ochablý“ (to znamená, že omezení morfismus z otevřený na menší otevřených surjective), což je vlastnost, která není sdílena svazku. Distribucí. A konečně, hyperfunkce jsou třídy cohomologie s koeficienty ve svazku analytických funkcí; taková kohomologická interpretace je teorii distribucí zcela cizí a vysvětluje, že hyperfunkce se hodí lépe než distribuce k algebraickému zpracování diferenciálních rovnic a parciálních diferenciálních rovnic („ algebraická analýza “). V návaznosti na práci Sato, teorie hyperfunkcí byla vyvinuta několika matematiky, včetně Komatsu, Martineau , Harvey a Schapira . Vznikla řada vzdělávacích prací, které rozvíjejí různé úhly pohledu. Tento článek ve svém širším obrysu s některými doplňky obnovuje představení práce, která mimo jiné vystavuje použití hyperfunkcí na teorii lineárních systémů (ve smyslu automatického ).
Hyperfunkce v otevřeném prostoru od pravé pravice
Definice hyperfunkce
Nechť je otevřený od skutečné linie. Komplex okolí z je definován jako otevřený U komplexní rovině, která je relativně uzavřen v , tj, jejichž průsečík se reálná osa je . Podmnožina komplexní roviny je otevřená.
Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}U-Ω{\ displaystyle U- \ Omega}
Označíme (resp. ) - algebru funkcí se složitými analytickými hodnotami v U (resp. ). Protože (se zjevnou notací) můžeme podíl vytvořit
Ó(U){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (U \ doprava)}Ó(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}Ω{\ displaystyle \ Omega}Ó(U)⊂Ó(U-Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ vlevo (U \ vpravo) \ podmnožina {\ mathcal {O}} \ vlevo (U- \ Omega \ vpravo)}
B(Ω)=Ó(U-Ω)/Ó(U){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right) / {\ mathcal {O}} \ left (U \ right )}Ukážeme díky teorému způsobenému Mittag-Lefflerem, který závisí pouze na a ne na komplexním sousedství U , které ospravedlňuje notaci. Můžeme tedy také psát
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}Ω{\ displaystyle \ Omega}
B(Ω)=lim⟶U∈U(Ω)Ó(U-Ω)/Ó(U){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = \ lim \ limits _ {\ underset {U \ in {\ mathfrak {U}} \ left (\ Omega \ right)} {\ longrightarrow }} {\ mathcal {O}} \ vlevo (U- \ Omega \ vpravo) / {\ mathcal {O}} \ vlevo (U \ vpravo)}kde je indukční systém komplexních čtvrtí seřazených inkluzí.
U(Ω){\ displaystyle {\ mathfrak {U}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}Ω{\ displaystyle \ Omega}
Definice -
Prostor hyperfunkcí v est .
Ω{\ displaystyle \ Omega}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}
Prostor je roven , tj. První skupině kohomologie U modulo a koeficientů ve svazku holomorfních funkcí (jedná se o relativní kohomologii (en) pro otevřené páry, kterou vytvořil Sato a samostatně, obecněji, Grothendieck ). Z toho vyplývá, že jde o paprsek.
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}HΩ1(U;Ó){\ displaystyle H _ {\ Omega} ^ {1} \ left (U; {\ mathcal {O}} \ right)}Ω{\ displaystyle \ Omega} Ó{\ displaystyle {\ mathcal {O}}} B:Ω↦B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}}: \ Omega \ mapsto {\ mathcal {B}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}
Buď . Vzhledem k tomu, kde je výše analytická funkce může být jednoznačně zapsat jako kde . Je zaznamenán jeho kanonický obraz v kvocientovém prostoru (tj. Hyperfunkce definovaná touto analytickou funkcí) . S využitím druhého výše uvedeného výrazu , jako indukčního limitu , píšeme pro všechnoφ∈Ó(U-Ω){\ displaystyle \ varphi \ v {\ mathcal {O}} \ vlevo (U- \ Omega \ vpravo)}U-Ω=U+∪U-{\ displaystyle U- \ Omega = U _ {+} \ pohár U _ {-}}U±={z∈U:±ℑ(z)>0}{\ displaystyle U _ {\ pm} = \ levý \ {z \ v U: \ pm \ Im \ levý (z \ pravý)> 0 \ pravý \}}φ{\ displaystyle \ varphi}φ+-φ-{\ displaystyle \ varphi _ {+} - \ varphi _ {-}}φ±∈Ó(U±){\ displaystyle \ varphi _ {\ pm} \ v {\ mathcal {O}} \ doleva (U _ {\ pm} \ doprava)}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}X∈Ω{\ displaystyle x \ in \ Omega}
[φ](X)=φ(X+i0)-φ(X-i0)=[φ(z)]z=X{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ left (x \ right) = \ varphi \ left (x + i0 \ right) - \ varphi \ left (x-i0 \ right) = \ left [\ varphi \ left (z \ doprava) \ doprava] _ {z = x}}.
Říkáme si funkci definice v . Máme (podle definice) if (a pouze pokud) . Tyto hodnoty na okraji části holomorfní funkce jsou
φ∈Ó(U-Ω){\ displaystyle \ varphi \ v {\ mathcal {O}} \ vlevo (U- \ Omega \ vpravo)}[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}[φ]=0{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] = 0}φ∈Ó(U){\ displaystyle \ varphi \ v {\ mathcal {O}} \ doleva (U \ doprava)}φ(z)∈Ó(U-Ω){\ displaystyle \ varphi \ left (z \ right) \ in {\ mathcal {O}} \ left (U- \ Omega \ right)}
φ(X+i0)=[εφ]{\ displaystyle \ varphi \ left (x + i0 \ right) = \ left [\ varepsilon \ varphi \ right]} a
φ(X-i0)=-[ε¯φ]{\ displaystyle \ varphi \ left (x-i0 \ right) = - \ left [{\ bar {\ varepsilon}} \ varphi \ right]}
kde a (všimněte si, že a oba patří ). Definujeme dva hodnotové operátory na okraji .
ε(z)={1 -li ℑ(z)>00 -li ℑ(z)<0{\ displaystyle \ varepsilon \ left (z \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {c} 1 {\ text {si}} \ Im \ left (z \ right)> 0 \\ 0 {\ text {si}} \ Im \ left (z \ right) <0 \ end {array}} \ right.}ε¯(z)={0 -li ℑ(z)>01 -li ℑ(z)<0{\ displaystyle {\ bar {\ varepsilon}} \ left (z \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {c} 0 {\ text {si}} \ Im \ left (z \ right)> 0 \\ 1 {\ text {si}} \ Im \ left (z \ right) <0 \ end {array}} \ right.}ε{\ displaystyle \ varepsilon}ε¯{\ displaystyle {\ bar {\ varepsilon}}}Ó(U-Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ vlevo (U- \ Omega \ vpravo)} b±:Ó(U-Ω)→B(Ω):φ↦φ(X±i0){\ displaystyle \ mathbf {b} _ {\ pm}: {\ mathcal {O}} \ levá (U- \ Omega \ pravá) \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ levá (\ Omega \ pravá): \ varphi \ mapsto \ varphi \ left (x \ pm i0 \ right)}
Operace s hyperfunkcemi
Násobení analytickou funkcí
Buď . Existuje komplex okolí U z tak, že f se rozkládá na U ; nebo takové rozšíření. Poté definujeme produkt
F∈Ó(Ω){\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}Ω{\ displaystyle \ Omega}F~{\ displaystyle {\ tilde {f}}}
F[φ]: =[F~φ]{\ displaystyle f \ left [\ varphi \ right]: = \ left [{\ tilde {f}} \ varphi \ right]},
což dává strukturu - modulu .
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}Ó(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}
Ponoření prostoru analytických funkcí do prostoru hyperfunkcí
Let a jeho rozšíření na komplexní sousedství . Zvažte hyperfunkci . Aplikace je dobře definovaná a injective o v , což umožňuje ponořit první prostor v druhém.
F∈Ó(Ω){\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}F~{\ displaystyle {\ tilde {f}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}[F~ε]=-[F~ε¯]{\ displaystyle \ left [{\ tilde {f}} \ varepsilon \ right] = - \ left [{\ tilde {f}} {\ bar {\ varepsilon}} \ right]}F↦[F~ε]{\ displaystyle f \ mapsto \ left [{\ tilde {f}} \ varepsilon \ right]}Ó(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}
Derivace
Derivát (kde ) je definován vztahem
∂[φ]{\ displaystyle \ částečné \ doleva [\ varphi \ doprava]}∂=d/dX{\ displaystyle \ částečné = d / dx}
∂[φ]=[dφdz]{\ displaystyle \ částečné \ left [\ varphi \ right] = \ left [{\ frac {d \ varphi} {dz}} \ right]}.
Obecněji to znamená diferenciální operátor s analytickými koeficienty. Definujeme pózovánímP=P(X,∂)=∑k=0nenai(X)∂i{\ displaystyle P = P \ vlevo (x, \ částečné \ pravé) = \ součet \ limity _ {k = 0} ^ {n} a_ {i} (x) \ částečné ^ {i}}z=X+iy{\ displaystyle z = x + iy}
P[φ]=[∑k=0nenai(z)diφdzi]{\ displaystyle P \ left [\ varphi \ right] = \ left [\ sum \ limits _ {k = 0} ^ {n} a_ {i} (z) {\ frac {d ^ {i} \ varphi} { dz ^ {i}}} \ vpravo]}.
To je stále ještě možné, pokud P je provozovatelem nekonečné pořadí, tj. Pokud se nahradí výše n u , za předpokladu, že řada konverguje v Frechet prostoru (obdařené topologii stejnoměrné konvergence na jakékoli kompaktní ). Takový operátor by samozřejmě neměl pro distribuci žádný význam.
+∞{\ displaystyle + \ infty}∑k=0+∞naidiφdzi{\ displaystyle \ sum \ limity _ {k = 0} ^ {+ \ infty} a_ {i} {\ frac {d ^ {i} \ varphi} {dz ^ {i}}}} Ó(U-Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ vlevo (U- \ Omega \ vpravo)}
Omezení a podpora hyperfunkce
Nechte jeden otevřený ze skutečné linie ,, a jeden otevřený ze skutečné linie zahrnutý v . Definujeme omezení ze se vztahem . Máme následující dva výsledky:
Ω{\ displaystyle \ Omega}[φ]∈B(Ω){\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ in {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}Ω′{\ displaystyle \ Omega ^ {\ prime}}Ω{\ displaystyle \ Omega}[φ]|Ω′{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ left \ vert _ {\ Omega ^ {\ prime}} \ right.}[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}Ω′{\ displaystyle \ Omega ^ {\ prime}}[φ]|Ω′=[φ|Ω′]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ left \ vert _ {\ Omega ^ {\ prime}} \ right. = \ left [\ varphi \ left \ vert _ {\ Omega ^ {\ prime}} \ right . \ že jo]}
Věta -
restrikční morfismus je surjektivní, jinými slovy svazek hyperfunkcí na reálné linii je ochablý.
ρΩΩ′:B(Ω)→B(Ω′){\ displaystyle \ rho _ {\ Omega} ^ {\ Omega ^ {\ prime}}: {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega ^ {\ prime} \ vpravo)}Ω↦B(Ω){\ displaystyle \ Omega \ mapsto {\ mathcal {B}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}
Věta a definice - existuje větší otevřený takový . Podmnožina relativně uzavřen , je jednoznačně určena a je nazýván podporu z (uvedeno ).
Ω′⊂Ω{\ displaystyle \ Omega ^ {\ prime} \ podmnožina \ Omega}[φ]|Ω′=0{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ left \ vert _ {\ Omega ^ {\ prime}} \ right. = 0}Ω-Ω′{\ displaystyle \ Omega - \ Omega ^ {\ prime}}Ω{\ displaystyle \ Omega}[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}supp[φ]{\ displaystyle supp \ left [\ varphi \ right]}
Příklady hyperfunkcí
Hyperfunkce Diracu a jeho derivátů
Nechť je otevřený interval skutečné linie obsahující 0 a zvažte hyperfunkci
Ω{\ displaystyle \ Omega}
δ=[-12πiz]=12πi(X+i0)-12πi(X-i0){\ displaystyle \ delta = \ left [{\ frac {-1} {2 \ pi iz}} \ right] = {\ frac {1} {2 \ pi i \ left (x + i0 \ right)}} - {\ frac {1} {2 \ pi i \ vlevo (x-i0 \ vpravo)}}}.
Nechť a U být jednoduše připojí komplex sousedství of , dostatečně malý na prodloužení U , které mají být přijaty, je pokračováním, že budeme opět na vědomí, aby nedošlo k komplikovat spisy. Dále budeme předpokládat, že U má hranu, která je kanonicky orientovaná a je kontinuálně diferencovatelnou krajkou (pak řekneme, že hrana je pravidelná ; rozšířením by v následujícím případě mohla být pravidelná hrana spojením pravidelných hran ve smyslu omezeno, které bylo právě definováno, pokud jsou tyto hrany dva po dvou disjunktních). Hyperfunkce působí následovně :
ψ∈Ó(Ω){\ displaystyle \ psi \ in {\ mathcal {O}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}Ω{\ displaystyle \ Omega}ψ{\ displaystyle \ psi}ψ{\ displaystyle \ psi}∂U{\ displaystyle \ částečné U}∂U{\ displaystyle \ částečné U}δ{\ displaystyle \ delta}ψ{\ displaystyle \ psi}
⟨δ,ψ⟩: =-∮∂U-12πizψ(z)dz{\ displaystyle \ left \ langle \ delta, \ psi \ pravý \ rangle: = - \ anint \ nolimits _ {\ částečné U} {\ frac {-1} {2 \ pi iz}} \ psi \ vlevo (z \ vpravo) dz}.
Z Cauchyho integrálního teorému vyplývá, že odpovídá „zobecněné funkci“ Dirac představující hmotu +1 v bodě 0.
⟨δ,ψ⟩=ψ(0){\ Displaystyle \ left \ langle \ delta, \ psi \ pravý \ rangle = \ psi \ levý (0 \ pravý)}
Derivát řádu n z je dána vztahem
δ{\ displaystyle \ delta}
δ(ne)=-12πi[dnedzne1z]=(-1)ne+1ne!2πi[1zne+1]=(-1)ne+1ne!2πi(1(X+i0)ne+1-1(X-i0)ne+1).{\ displaystyle \ delta ^ {\ left (n \ right)} = {\ frac {-1} {2 \ pi i}} \ left [{\ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}} } {\ frac {1} {z}} \ right] = \ left (-1 \ right) ^ {n + 1} {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ left [{\ frac { 1} {z ^ {n + 1}}} \ right] = \ left (-1 \ right) ^ {n + 1} {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ left ({\ frac {1} {\ left (x + i0 \ right) ^ {n + 1}}} - {\ frac {1} {\ left (x-i0 \ right) ^ {n + 1}}} \ right). }Dovolme být analytickou funkcí definovanou výše. Cauchyova věta zahrnuje , vzorec podobný tomu, který získané s derivátem řádu n o Dirac distribuce .
ψ{\ displaystyle \ psi}⟨δ(ne),ψ⟩=(-1)neψ(ne)(0){\ displaystyle \ left \ langle \ delta ^ {\ left (n \ right)}, \ psi \ right \ rangle = \ left (-1 \ right) ^ {n} \ psi ^ {\ left (n \ right) } \ doleva (0 \ doprava)}
Je třeba poznamenat, že je podporována hyperfunkce Dirac a všechny její deriváty .
{0}{\ displaystyle \ left \ {0 \ right \}}
Hyperfunkce Heaviside
Hyperfunkce Heaviside je definována
Υ(X)=[-12πiln(-z)]z=X{\ displaystyle \ Upsilon \ left (x \ right) = \ left [{\ frac {-1} {2 \ pi i}} \ ln \ left (-z \ right) \ right] _ {z = x}}kde je hlavní určení logaritmu , a okamžitě zkontrolujeme, zda se jeho derivace rovná Diracově hyperfunkci .
ln{\ displaystyle \ ln}δ{\ displaystyle \ delta}
Hyperfunkce nekonečného řádu
Z toho, co předchází, máme, pokud je tato hyperfunkce nulová . Na druhou stranu tedy
[12πizne+1]=(-1)ne+1ne!δ(ne){\ displaystyle \ left [{\ frac {1} {2 \ pi iz ^ {n + 1}}} \ right] = {\ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1}} {n !}} \ delta ^ {\ left (n \ right)}}ne≥0{\ displaystyle n \ geq 0}ne=-1{\ displaystyle n = -1}E1z=1+∑ne=0+∞1(ne+1)!1zne+1{\ displaystyle e ^ {\ frac {1} {z}} = 1+ \ součet \ limity _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {\ doleva (n + 1 \ doprava) !}} {\ frac {1} {z ^ {n + 1}}}}
[-12πiE1z]=∑ne=0+∞(-1)nene!(ne+1)!δ(ne){\ displaystyle \ left [- {\ frac {1} {2 \ pi i}} e ^ {\ frac {1} {z}} \ right] = \ sum \ limity _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n! \ left (n + 1 \ right)!}} \ delta ^ {\ left (n \ right)}}což je podpůrná hyperfunkce . Tato hyperfunkce je nekonečného řádu, nelze ji identifikovat s distribucí (což je vždy lokálně konečné pořadí), což je způsobeno skutečností, že 0 je podstatným singulárním bodem definující funkce.
{0}{\ displaystyle \ left \ {0 \ right \}}
Kompaktní podpora hyperfunkcí
Definice
Nechť Ω je otevřená čára skutečné čáry a K kompaktní podmnožina Ω. Nechť je prostor semen analytických funkcí definovaných v komplexním (otevřeném) sousedství K , jmenovitě indukční limit
Ó(K.){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (K \ doprava)}
Ó(K.)=lim⟶U⊃K.Ó(U).{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right) = \ lim \ limits _ {\ underset {U \ supset K} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {O}} \ left (U \ right ).}Je také prostor na hyperfunkce o podpoře w součástí K . Prostor spojitých lineárních forem je jaderný prostor Fréchet - Schwartz a totéž platí . Z toho plyne, ze veta kvůli Kothe , že oba prostory a jsou algebraicky a topologicky izomorfní, a proto může být identifikován.
BK.(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}Ó(K.)′{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (K \ doprava) ^ {\ prime}}Ó(K.){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (K \ doprava)} BK.(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}Ó(K.)′{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (K \ doprava) ^ {\ prime}}BK.(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}
Přesněji řečeno, nechť , a U být komplexní sousedství K , který je součástí a pravidelné hrany. Držák duality je definován
ψ∈Ó(K.){\ displaystyle \ psi \ in {\ mathcal {O}} \ vlevo (K \ vpravo)}T=[φ]∈BK.(Ω){\ displaystyle T = \ left [\ varphi \ right] \ in {\ mathcal {B}} _ {K} \ left (\ Omega \ right)}Ω{\ displaystyle \ Omega}
⟨T,ψ⟩=-∮∂Uψ(z)φ(z)dz{\ displaystyle \ left \ langle T, \ psi \ right \ rangle = - \ anint \ nolimits _ {\ částečné U} \ psi \ left (z \ right) \ varphi \ left (z \ right) dz}.
Prostor hyperfunkcí s kompaktní podporou má tedy „dobrou strukturu“ topologického vektorového prostoru, což neplatí pro prostor hyperfunkcí s jakoukoli podporou, kterou lze poskytnout pouze s hrubou topologií (viz níže ).
Konvoluce
Nechť , , a
Ti=[φi]∈BK.i(R){\ displaystyle T_ {i} = \ left [\ varphi _ {i} \ right] \ in {\ mathcal {B}} _ {K_ {i}} \ left (\ mathbb {R} \ right)}φi∈Ó(VS-K.i){\ displaystyle \ varphi _ {i} \ v {\ mathcal {O}} \ vlevo (\ mathbb {C} -K_ {i} \ vpravo)}i=1,2{\ displaystyle i = 1,2}
φ(z)=∮∂Uφ1(w)φ2(z-w)dw{\ Displaystyle \ varphi \ left (z \ right) = \ anint \ nolimits _ {\ částečné U} \ varphi _ {1} \ left (w \ right) \ varphi _ {2} \ left (zw \ right) dw }.
kde U je dostatečně malé komplexní sousedství . Takže a můžeme tedy definovat hyperfunkci
K.1{\ displaystyle K_ {1}}φ∈Ó(VS-(K.1+K.2)){\ displaystyle \ varphi \ v {\ mathcal {O}} \ doleva (\ mathbb {C} - \ doleva (K_ {1} + K_ {2} \ doprava) \ doprava)}
T1⋆T2=[φ]∈BK.1+K.2(R){\ displaystyle T_ {1} \ star T_ {2} = \ left [\ varphi \ right] \ in {\ mathcal {B}} _ {K_ {1} + K_ {2}} \ left (\ mathbb {R } \ že jo)}nazvaný produkt konvoluce dvou kompaktně podporovaných hyperfunkcí a . Tento konvoluční produkt lze stále definovat, pokud má pouze jeden kompaktní podporu.
T1{\ displaystyle T_ {1}}T2{\ displaystyle T_ {2}}T1{\ displaystyle T_ {1}}
Hyperfunkce definovaná distribucí s kompaktní podporou
Ω je otevřený na reálné ose, Ki kompaktní podmnožinu Q a T rozdělení nosné obsažené v K . Nechť na druhé straně je komplexní sousedství K s pravidelnou hranou a proU⊂Ω{\ displaystyle U \ podmnožina \ Omega}z∈U-Ω{\ displaystyle z \ v U- \ Omega}
φT(z)=12πi∮Ω1X-zdT(X){\ displaystyle \ varphi _ {T} \ left (z \ right) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anint \ nolimits _ {\ Omega} {\ frac {1} {xz}} dT \ left (x \ right)}(kde jsme pro zjednodušení psaní poznamenali T jako míru). Pak je hyperfunkce definovaná T distribucí . Podpora této hyperfunkce je totožná s podporou T a aplikace je injektivní, což umožňuje ponořit prostor distribucí s kompaktní podporou do prostoru hyperfunkcí s kompaktní podporou. Například jeden okamžitě zkontroluje, zda výše uvedená hyperfunkce Diraca skutečně je.
[φT]{\ displaystyle \ left [\ varphi _ {T} \ right]}T↦[φT]{\ displaystyle T \ mapsto \ left [\ varphi _ {T} \ right]}[φδ]{\ displaystyle \ left [\ varphi _ {\ delta} \ right]}
Ponoření distribučního prostoru do prostoru hyperfunkcí
Obecná zásada
Jakoukoli hyperfunkci v otevřené reálné linii lze zapsat jako součet lokálně konečné řady hyperfunkcí v kompaktní podpoře. Totéž platí pro distribuci. Díky předchozí konstrukci tedy můžeme ponořit prostor distribucí dovnitř , do prostoru hyperfunkcí dovnitř . Toto vložení udržuje podporu.
Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}D′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}Ω{\ displaystyle \ Omega}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}Ω{\ displaystyle \ Omega}
Příklad
Uvažujme o Diracově hřebenu Ш, kde je Diracova distribuce představující hmotu +1 v bodě n . Jedná se o temperovanou distribuci nekompaktní podpory. Je kanonicky spojena s „hyperfunkcí hřebenu Dirac“
=∑ne=-∞+∞δ(ne){\ displaystyle = \ součet \ limity _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ delta _ {\ left (n \ right)}}δ(ne){\ displaystyle \ delta _ {\ left (n \ right)}}
Ш .
=12πi∑ne=-∞+∞[1ne-z]{\ displaystyle = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ sum \ limity _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ left [{\ frac {1} {nz}} \ right ]}
Singulární podpora a spektrum; znásobení hyperfunkcí
Singulární podpora
Singulární podpora distribučního (resp. O hyperfunkce ) je množina bodů z , pro které neexistuje žádná otevřená sousedství tak, že omezení je na neurčito diferenciální funkci (resp. Skutečný analytická funkce). Singulární podpora distribuce nebo hyperfunkce je uzavřená podmnožina její podpory.
T∈D′(Ω){\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}T∈B(Ω){\ displaystyle T \ v {\ mathcal {B}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}sineG.suppT{\ displaystyle sing.suppT}Ω{\ displaystyle \ Omega}PROTI⊂Ω{\ displaystyle V \ podmnožina \ Omega}T|PROTI{\ displaystyle T \ left \ vert _ {V} \ right.}
Schwartz ukázal, že nemůžete znásobit žádné dvě distribuce. Můžeme ale znásobit dvě distribuce, jejichž singulární podpory jsou disjunktní. Totéž platí o hyperfunkcích, ale jejich množení je možné v obecnějších případech. Pro objasnění podmínky, která umožňuje znásobení hyperfunkcí, je nezbytný pojem singulárního spektra .
Singulární spektrum
Definice
Uvažujme disjunktní spojení , kde , a označme podle bodu, jehož projekce na je x . Nechť je tato projekce.
iS∗Ω: =Ω+∐Ω-{\ displaystyle iS ^ {\ ast} \ Omega: = \ Omega _ {+} \ coprod \ Omega _ {-}}Ω+=Ω-=Ω{\ displaystyle \ Omega _ {+} = \ Omega _ {-} = \ Omega}(X,±i∞){\ displaystyle \ left (x, \ pm i \ infty \ right)}Ω±{\ displaystyle \ Omega _ {\ pm}}Ω{\ displaystyle \ Omega}π:iS∗Ω→Ω:(X,±i∞)↦X{\ displaystyle \ pi: iS ^ {\ ast} \ Omega \ rightarrow \ Omega: \ left (x, \ pm i \ infty \ right) \ mapsto x}
Nechť kde , U je komplexní sousedství , a nechť . Hyperfunkce T se říká, že je mikroanalytická v bodě (resp. ) Z if (resp. ) Může být analyticky rozšířena v otevřeném sousedství . To se rovná tím, že existuje skutečné sousedství s , komplexní sousedství o a funkce tak, že (resp. ).
T=[φ]∈B(Ω){\ displaystyle T = \ left [\ varphi \ right] \ in {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}φ∈Ó(U-Ω){\ displaystyle \ varphi \ v {\ mathcal {O}} \ vlevo (U- \ Omega \ vpravo)}Ω{\ displaystyle \ Omega}X0∈Ω{\ displaystyle x_ {0} \ in \ Omega}(X0,i∞){\ displaystyle \ left (x_ {0}, i \ infty \ right)}(X0,-i∞){\ displaystyle \ left (x_ {0}, - i \ infty \ right)}iS∗Ω{\ displaystyle iS ^ {\ ast} \ Omega}φ+=φ|U+{\ displaystyle \ varphi _ {+} = \ varphi \ vlevo \ vert _ {U _ {+}} \ vpravo.}φ-=φ|U-{\ displaystyle \ varphi _ {-} = \ varphi \ vlevo \ vert _ {U _ {-}} \ vpravo.}X0{\ displaystyle x_ {0}}PROTI0{\ displaystyle V_ {0}}X0{\ displaystyle x_ {0}}U0{\ displaystyle U_ {0}}PROTI0{\ displaystyle V_ {0}}ψ∈Ó(U0-PROTI0){\ displaystyle \ psi \ in {\ mathcal {O}} \ vlevo (U_ {0} -V_ {0} \ vpravo)}T|PROTI0(X)=ψ(X-i0){\ displaystyle T \ left \ vert _ {V_ {0}} \ right. \ left (x \ right) = \ psi \ left (x-i0 \ right)}T|PROTI0(X)=ψ(X+i0){\ displaystyle T \ left \ vert _ {V_ {0}} \ right. \ left (x \ right) = \ psi \ left (x + i0 \ right)}
Nazýváme singulární spektra v T , a označíme množinu bodů z nichž T není micro-analytický. Z definic vyplývá, že .
S.S.T{\ displaystyle SST}iS∗Ω{\ displaystyle iS ^ {\ ast} \ Omega}π(S.S.T)=sineG.suppT{\ displaystyle \ pi \ left (SST \ right) = sing.suppT}
Příklady
- Zvažte Diracovu hyperfunkci . My , .δ{\ displaystyle \ delta}S.S.δ={(0,i∞),(0,-i∞)}{\ Displaystyle SS \ delta = \ left \ {\ left (0, i \ infty \ right), \ left (0, -i \ infty \ right) \ right \}}sineG.suppδ=suppδ={0}{\ displaystyle sing.supp \ delta = supp \ delta = \ left \ {0 \ right \}}
- Zvažte hyperfunkci . My , , .T=1X+i0{\ displaystyle T = {\ frac {1} {x + i0}}}S.S.T={(0,i∞)}{\ displaystyle SST = \ left \ {\ left (0, i \ infty \ right) \ right \}}sineG.suppT={0}{\ displaystyle sing.suppT = \ vlevo \ {0 \ vpravo \}}suppT=R{\ displaystyle suppT = \ mathbb {R}}
Násobení hyperfunkcí
Nebo antipolární aplikace .
na:(X,±i∞)↦(X,∓i∞)=(X,±i∞)na{\ Displaystyle a: \ left (x, \ pm i \ infty \ right) \ mapsto \ left (x, \ mp i \ infty \ right) = \ left (x, \ pm i \ infty \ right) ^ {a }}
Věta - Pokud existují dvě hyperfunkce , můžeme definovat součin .
T,U∈B(Ω){\ displaystyle T, U \ in {\ mathcal {B}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}S.S.T∩S.S.(U)na=∅{\ displaystyle SST \ cap SS \ left (U \ right) ^ {a} = \ varnothing}T.U∈B(Ω){\ displaystyle TU \ in {\ mathcal {B}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}
Příklady
- Můžeme definovat produkt .(1X+i0)(1X+i0)=(1X+i0)2{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {x + i0}} \ right) \ left ({\ frac {1} {x + i0}} \ right) = \ left ({\ frac {1} { x + i0}} \ vpravo) ^ {2}}
- Můžeme definovat produkt, pokud T je mikroanalytický ve dvou bodech a . Máme tedy .δT{\ displaystyle \ delta T}(0,i∞){\ displaystyle \ left (0, i \ infty \ right)}(0,-i∞){\ displaystyle \ left (0, -i \ infty \ right)}δT=δT(0){\ displaystyle \ delta T = \ delta T (0)}
- Obecněji můžeme produkt definovat, pokud je T mikro-analytický v bodech a . Pak mámeδ(ne)T{\ displaystyle \ delta ^ {\ left (n \ right)} T}(0,i∞){\ displaystyle \ left (0, i \ infty \ right)}(0,-i∞){\ displaystyle \ left (0, -i \ infty \ right)}
δ(ne)T=∑j=0ne(-1)j(nej)δ(ne-j)Tj(0){\ displaystyle \ delta ^ {\ left (n \ right)} T = \ součet \ limity _ {j = 0} ^ {n} \ left (-1 \ right) ^ {j} \ left ({\ begin { pole} {c} n \\ j \ end {pole}} \ vpravo) \ delta ^ {\ vlevo (nj \ vpravo)} T ^ {j} \ vlevo (0 \ vpravo)}.
Tento výraz má mít smysl, protože existuje reálné otevřené sousedství z 0 takové, že je analytická funkce.
PROTI0{\ displaystyle V_ {0}}T|PROTI0{\ displaystyle T \ left \ vert _ {V_ {0}} \ right.}
Hyperfunkce Laplace
Prostor Laplaceových hyperfunkcí s omezenou podporou vlevo je definován
B[na,+∞[exp=Óexp(VS-[na,+∞[)/Óexp(VS){\ displaystyle B _ {\ left [a, + \ infty \ right [} ^ {\ exp} = {\ mathcal {O}} ^ {\ exp} \ left (\ mathbb {C} - \ left [a, + \ infty \ right [\ right) / {\ mathcal {O}} ^ {\ exp} \ left (\ mathbb {C} \ right)}kde, když je otevřeno setkání komplexní roviny uzavřených kuželů tvaru , označuje holomorfní funkce exponenciálního typu v , tj. holomorfní funkce, které splňují vztah takový, že
U{\ displaystyle U}Σ={z∈VS:α≤arg(z-na)≤β}{\ displaystyle \ Sigma = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}: \ alpha \ leq \ arg \ left (za \ right) \ leq \ beta \ right \}}Óexp(U){\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ exp} \ vlevo (U \ vpravo)}U{\ displaystyle U}
|F(z)|≤vs.Eh|z|,z∈Σ{\ Displaystyle \ left \ vert f \ left (z \ right) \ right \ vert \ leq ce ^ {h \ left \ vert z \ right \ vert}, z \ in \ Sigma}pro každý uzavřený kužel .
Σ⊂U{\ displaystyle \ Sigma \ podmnožina U}
Můžeme definovat Laplaceovu transformaci Laplaceovy hyperfunkce s omezenou podporou a Laplaceova transformace je injektivní . Uvažujme pro jednoduchost o hyperfunkci T s kompaktní podporou (což znamená, že se jedná o Laplaceovu hyperfunkci); jeho Laplaceova transformace je pak celá funkce definovaná vztahem
T^{\ displaystyle {\ hat {T}}}T=[φ]{\ displaystyle T = \ left [\ varphi \ right]}T↦T^{\ displaystyle T \ mapsto {\ hat {T}}}
T^(s)=⟨T,ϵs⟩{\ displaystyle {\ hat {T}} \ vlevo (s \ vpravo) = \ vlevo \ langle T, \ epsilon _ {s} \ vpravo \ rangle}kde . Například a pózováním ,
ϵs:X↦E-sX{\ displaystyle \ epsilon _ {s}: x \ mapsto e ^ {- sx}}δ(ne)^(s)=sne{\ displaystyle {\ widehat {\ delta ^ {\ left (n \ right)}}} \ left (s \ right) = s ^ {n}}T=[-12πiE1z] {\ displaystyle T = \ left [{\ frac {-1} {2 \ pi i}} e ^ {\ frac {1} {z}} \ right] ~}
T^(s)=∑ne=0+∞(-s)nene!(ne+1)!{\ displaystyle {\ hat {T}} \ vlevo (s \ vpravo) = \ součet \ limity _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-s) ^ {n}} {n! \ left (n + 1 \ right)!}}}(viz další příklad v Laplaceových transformacích hyperfunkcí ).
Hyperfunkce a diferenciální rovnice
Klasifikace diferenciálních operátorů
Dovolit být operátorem diferenciálu s analytickými koeficienty v intervalu reálné linie, kde . (Zde a ve všech následujících bodech je x „fiktivní proměnnou“: ve všech přísnostech by měly být koeficienty psány a operátor by měl být psán P nebo , ale toto zneužívání psaní, v literatuře velmi rozšířené, se ukáže jako pohodlné.)
P(X,∂)=∑k=0nenai(X)∂i{\ displaystyle P \ left (x, \ částečné \ right) = \ součet \ limity _ {k = 0} ^ {n} a_ {i} (x) \ částečné ^ {i}}Ω{\ displaystyle \ Omega}nane≠0{\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}nai:X↦nai(X){\ displaystyle a_ {i}: x \ mapsto a_ {i} (x)}P(∂){\ displaystyle P \ left (\ částečné \ right)}
Body x, které jsou nulami, se nazývají singulární body operátoru . Předpokládejme, že x je singulární bod a všimněte si pořadí multiplicity této nuly. Vezměme si Newtonův mnohoúhelník v bodě x , konkrétně nejvyšší konvexní mnohostěn pod body , a všimněte si jeho největšího sklonu . (Mnoho autorů, kteří se vracejí k případu, kdy je počátkem singulárního bodu původ, bere místo nové derivace , což samozřejmě vede k modifikaci Newtonova polygonu.) O singulárním bodě x se říká, že je pravidelný-singulární if a nepravidelný- singulární pokud .
nane{\ displaystyle a_ {n}}P(X,∂){\ Displaystyle P \ left (x, \ částečné \ right)}ÓrdXnane{\ displaystyle ord_ {x} a_ {n}}ne+1{\ displaystyle n + 1}(j,ÓrdXnaj), 0≤j≤ne{\ displaystyle \ left (j, ord_ {x} a_ {j} \ right), \ 0 \ leq j \ leq n}σX{\ displaystyle \ sigma _ {x}}D=X∂{\ displaystyle D = x \ částečné}∂=d/dX{\ displaystyle \ částečné = d / dx}σX≤1{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ leq 1}σX>1{\ displaystyle \ sigma _ {x}> 1}
Věty Sato a Komatsu
Satóova věta -
Operátor je surjective in . (Abychom byli přesnější, vzhledem k hyperfunkci rovnice vždy připouští řešení v .)
P(X,∂){\ Displaystyle P \ left (x, \ částečné \ right)}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}T∈B(Ω){\ displaystyle T \ v {\ mathcal {B}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}P(X,∂)F=T{\ Displaystyle P \ left (x, \ částečné \ right) f = T}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}
Tato věta ukazuje, že pokud je kruh diferenciálních operátorů s analytickými koeficienty , je levý dělitelný modul. Zejména pokud je nekomutativní Dedekindův prsten , jako první Weylova algebra , je levý injekční modul . To má důležité důsledky v teorii lineárních systémů .
D(Ω){\ displaystyle {\ mathfrak {D}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}Ω{\ displaystyle \ Omega}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}D(Ω){\ displaystyle {\ mathfrak {D}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}D(Ω){\ displaystyle {\ mathfrak {D}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)} NA1(VS){\ displaystyle A_ {1} \ left (\ mathbb {C} \ right)}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}D(Ω){\ displaystyle {\ mathfrak {D}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}
Společnost Komatsu ukázala následující:
Komatsuova věta -
(1) .
slunceVSkerB(Ω)P(X,∂)=ne+∑X∈ΩÓrdXnane{\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} \ ker _ {{\ mathcal {B}} \ levá (\ Omega \ pravá)} P \ levá (x, \ částečná \ pravá) = n + \ součet \ limity _ {x \ in \ Omega} ord_ {x} a_ {n}}
(2) Následující podmínky jsou rovnocenné:
a) nemá singulární bod;
P(X,∂){\ Displaystyle P \ left (x, \ částečné \ right)}
(b) ;
kerB(Ω)P(X,∂)⊂Ó(Ω){\ displaystyle \ ker _ {{\ mathcal {B}} \ levý (\ Omega \ pravý)} P \ levý (x, \ částečný \ pravý) \ podmnožina {\ mathcal {O}} \ levý (\ Omega \ pravý )}
(c) naznačuje .
P(X,∂)F∈Ó(Ω){\ displaystyle P \ left (x, \ částečné \ right) f \ in {\ mathcal {O}} \ left (\ Omega \ right)}F∈Ó(Ω){\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}
(3) Následující podmínky jsou rovnocenné:
(d) Všechny singulární body jsou pravidelné singulární;
P(X,∂){\ Displaystyle P \ left (x, \ částečné \ right)}
(e) ;
kerB(Ω)P(X,∂)⊂D′(Ω){\ displaystyle \ ker _ {{\ mathcal {B}} \ levý (\ Omega \ pravý)} P \ levý (x, \ částečný \ pravý) \ podmnožina {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ levý (\ Omega \ vpravo)}
(f) naznačuje .
P(X,∂)F∈D′(Ω){\ displaystyle P \ left (x, \ částečné \ right) f \ in {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}F∈D′(Ω){\ displaystyle f \ in {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}
Příklady
- Zvažte diferenciální rovnici
(X2ddX-1)F=0{\ displaystyle \ left (x ^ {2} {\ frac {d} {dx}} - 1 \ vpravo) f = 0}.
Jediný singulární bod je 0 . Vynesením Newtonova polygonu získáme , proto je 0 nepravidelně singulární. Část 1 věty Komatsu to naznačuje . Klasickým řešením je neomezeně dlouhou dobu diferenciální funkci ( ) prodloužena kontinuity hodnotou 0 o . Dvě další lineárně nezávislá řešení jsou například hyperfunkce a : první je rozšíření řešení na (žádná distribuce není takovou příponou), druhé je podporováno počátkem (žádná distribuce podporovaná počátkem není řešení).
σ0=2{\ displaystyle \ sigma _ {0} = 2}slunceVSkerB(Ω)P(D)=3{\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} \ ker _ {{\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)} P \ left (D \ right) = 3}X↦E-1/X{\ displaystyle x \ mapsto e ^ {- 1 / x}}X∈]0,+∞[{\ displaystyle x \ in \ left] 0, + \ infty \ right [}]-∞,0]{\ displaystyle \ left] - \ infty, 0 \ right]}E-1/(X+i0){\ displaystyle e ^ {- 1 / \ vlevo (x + i0 \ vpravo)}}[E-1/z]{\ displaystyle \ left [e ^ {- 1 / z} \ right]}X↦E-1/X{\ displaystyle x \ mapsto e ^ {- 1 / x}}]-∞,0[{\ displaystyle \ left] - \ infty, 0 \ right [}
- Nechte diferenciální rovnici
(X3ddX+1)F=0{\ displaystyle \ left (x ^ {3} {\ frac {d} {dx}} + 1 \ right) f = 0}.
Jediným singulárním bodem je opět 0 . Máme tentokrát , takže 0 je nepravidelně-singulární. Jediným distribučním řešením této rovnice je . Věta Komatsu ukazuje, že existují čtyři lineárně nezávislá hyperfunkční řešení. Dva z nich lze snadno vypočítat: jsou a . Další dva, jejichž výraz je méně jednoduchý, jsou získány metodou variace konstant .
σ0=3{\ displaystyle \ sigma _ {0} = 3}T=0{\ displaystyle T = 0}E1(X+i0)2{\ displaystyle e ^ {\ frac {1} {\ vlevo (x + i0 \ vpravo) ^ {2}}}}E1(X-i0)2{\ displaystyle e ^ {\ frac {1} {\ vlevo (x-i0 \ vpravo) ^ {2}}}}
Zobecnění
Multivariační hyperfunkce
Kohomologické hledisko
Nechť open of a U je komplexní sousedství , tj. Open of, ve kterém je relativně uzavřeno. Sato definoval prostor hyperfunkcí v relaci
Ω{\ displaystyle \ Omega}Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}Ω{\ displaystyle \ Omega}VSne{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}
B(Ω)=HΩne(U,Ó){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = H _ {\ Omega} ^ {n} \ left (U, {\ mathcal {O}} \ right)},
n- ta kohomologická skupina U modulo a koeficientů ve svazku holomorfních funkcí; nezávisí na komplexním sousedství U (Komatsuova „teorém o excizi“) a kohomologické skupiny jsou pro nulu (Sato-Martineau-Harveyova věta). Dedukujeme pomocí výsledku způsobeného Malgrangeem , že ochablý paprsek je.
Ω{\ displaystyle \ Omega}Ó{\ displaystyle {\ mathcal {O}}}HΩne(U,Ó){\ displaystyle H _ {\ Omega} ^ {n} \ vlevo (U, {\ mathcal {O}} \ vpravo)}HΩp(U,Ó){\ displaystyle H _ {\ Omega} ^ {p} \ left (U, {\ mathcal {O}} \ right)}p≠ne{\ Displaystyle p \ neq n}B:Ω↦B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}}: \ Omega \ mapsto {\ mathcal {B}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}
Hyperfunkce jako součet hodnot na okraji holomorfních funkcí
Podle věty v důsledku Grauerta existuje komplexní sousedství V z nichž je Stein otevřený, a tam, kde je množina Stein otvorů , které obsahují (a konvexní otevřený je příkladem Stein otevřené). Je
Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω=∩PROTI∈S(Ω)PROTI{\ displaystyle \ Omega = \ cap _ {V \ in {\ mathfrak {S}} \ left (\ Omega \ right)} V}S(Ω){\ displaystyle {\ mathfrak {S}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}VSne{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}Ω{\ displaystyle \ Omega}
PROTI#Ω={z∈PROTI:ℑ(zj)≠0, j=1,...,ne}{\ displaystyle V \ # \ Omega = \ vlevo \ {z \ ve V: \ Im \ vlevo (z_ {j} \ vpravo) \ neq 0, \ j = 1, ..., n \ vpravo \}},
PROTI^j={z∈PROTI:ℑ(zk)≠0, k≠j}{\ displaystyle {\ hat {V}} _ {j} = \ vlevo \ {z \ ve V: \ Im \ vlevo (z_ {k} \ vpravo) \ neq 0, \ k \ neq j \ vpravo \}}.
Tak
B(Ω)≅Ó(PROTI#Ω)∑1≤j≤neÓ(PROTI^j){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) \ cong {\ frac {{\ mathcal {O}} \ left (V \ # \ Omega \ right)} {\ sum \ nolimits _ { 1 \ leq j \ leq n} {\ mathcal {O}} \ vlevo ({\ hat {V}} _ {j} \ vpravo)}}}.
Let a jeho kanonický obraz ; se nazývá funkce definice hyperfunkce . Můžeme poskytnout následující výklad této hyperfunkce:
φ∈Ó(PROTI#Ω){\ displaystyle \ varphi \ v {\ mathcal {O}} \ vlevo (V \ # \ Omega \ vpravo)}[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}φ{\ displaystyle \ varphi}[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}
[φ](X1,...,Xne)=∑σsGne(σ)φ(X1+iσ10,...,Xne+iσne0){\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ left (x_ {1}, ..., x_ {n} \ right) = \ sum \ limity _ {\ sigma} sgn \ left (\ sigma \ right) \ varphi \ left (x_ {1} + i \ sigma _ {1} 0, ..., x_ {n} + i \ sigma _ {n} 0 \ right)}kde , , .
σ=(σ1,...,σne){\ displaystyle \ sigma = \ left (\ sigma _ {1}, ..., \ sigma _ {n} \ vpravo)}σj=±1{\ displaystyle \ sigma _ {j} = \ pm 1}sGne(σ)=σ1...σne{\ displaystyle sgn \ left (\ sigma \ right) = \ sigma _ {1} ... \ sigma _ {n}}
Hyperfunkce je tedy součtem hraničních hodnot holomorfních funkcí (lze však ukázat, že k určení postačují hraniční hodnoty ).
[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}2ne{\ displaystyle 2 ^ {n}}ne+1{\ displaystyle n + 1}[φ]{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right]}
Hyperfunkce jako lokálně konečné součty analytických funkcionálů
Podporu hyperfunkce definujeme jako v případě jedné proměnné; Martineau a nezávisle Harvey prokázali (zobecňující již zmíněnou Kötheovu větu) izomorfismus , kde je prostor hyperfunkcí, jejichž podpora je obsažena v kompaktu, a je duálem prostoru semen analytických funkcí v sousedním komplexu K ( je jaderný (DFS) , zatímco je to jaderný prostor Fréchet - Schwartz ). Tato věta o dualitě nám umožňuje definovat hyperfunkci jako součet lokálně konečné řady analytických funkcionálů (Martineauova definice).
BK.(Ω)≅Ó(K.)′{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ left (\ Omega \ right) \ cong {\ mathcal {O}} \ left (K \ right) ^ {\ prime}}BK.(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}K.⊂Ω{\ displaystyle K \ podmnožina \ Omega}Ó(K.)′{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (K \ doprava) ^ {\ prime}}Ó(K.){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (K \ doprava)} Ó(K.)′{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (K \ doprava) ^ {\ prime}}
Příklad
Duality závorka mezi a má jednoduchý výraz, kde kde každý je otevřený s pravidelnou hranou. Pak máme pro jakoukoli funkci ,
Ó(K.){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (K \ doprava)}BK.(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}K.⊂∏1≤j≤neD¯i{\ displaystyle K \ podmnožina \ prod \ nolimity _ {1 \ leq j \ leq n} {\ bar {\ mathcal {D}}} _ {i}}Di{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {i}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}F∈Ó(D¯){\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} \ vlevo ({\ bar {\ mathcal {D}}} \ vpravo)}
⟨[φ],F⟩=(-1)ne∫∂D1×...×∂DneF(z)φ(z)dz1...dzne{\ displaystyle \ left \ langle \ left [\ varphi \ right], f \ right \ rangle = \ left (-1 \ right) ^ {n} \ int \ nolimits _ {\ partial {\ mathcal {D}} _ {1} \ times ... \ times \ partial {\ mathcal {D}} _ {n}} f \ left (z \ right) \ varphi \ left (z \ right) dz_ {1} ... dz_ { ne}}.
Například nechte multi-index ; zeptat , , a . Nakonec buď
(α1,...,αne){\ displaystyle \ left (\ alpha _ {1}, ..., \ alpha _ {n} \ right)}|α|=α1+...+αne{\ displaystyle \ left \ vert \ alpha \ right \ vert = \ alpha _ {1} + ... + \ alpha _ {n}}α!=α1!...αne!{\ displaystyle \ alpha! = \ alpha _ {1}! ... \ alpha _ {n}!}∂k=∂∂Xk{\ displaystyle \ částečné _ {k} = {\ frac {\ částečné} {\ částečné x_ {k}}}}∂α=∂|α|∂X1α1...∂Xneαne{\ displaystyle \ částečné ^ {\ alfa} = {\ frac {\ částečné ^ {\ levé \ vert \ alfa \ pravé \ vert}} {\ částečné x_ {1} ^ {\ alfa _ {1}} ... \ částečné x_ {n} ^ {\ alpha _ {_ {n}}}}}}
φ=(-1)ne+|α|(2πi)neα!z1α1+1...zneαne+1{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ levý (-1 \ pravý) ^ {n + \ levý \ vert \ alpha \ pravý \ vert}} {\ levý (2 \ pi i \ pravý) ^ {n}} } {\ frac {\ alpha!} {z_ {1} ^ {\ alpha _ {1} +1} ... z_ {n} ^ {\ alpha _ {_ {n}} + 1}}}}.
Dostáváme od Cauchyova věta , proto .
⟨[φ],F⟩=(-1)|α|∂αF((0){\ displaystyle \ left \ langle \ left [\ varphi \ right], f \ right \ rangle = \ left (-1 \ right) ^ {\ left \ vert \ alpha \ right \ vert} \ částečné ^ {\ alpha} f (\ vlevo (0 \ vpravo)}[φ]=∂αδ{\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] = \ částečné ^ {\ alpha} \ delta}
Hyperfunkce jako třídy ekvivalence analytických funkcí
Let je otevřená hranice , její adheze a její hranice (obě jsou kompaktní). Vzhledem k tomu, že svazek hyperfunkcí je ochablý, hyperfunkce se identifikují s hyperfunkcemi, jejichž podpora je zahrnuta a které se ruší . To vedlo Schapiru k definici (převzal Hörmander )
Ω{\ displaystyle \ Omega}Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}Ω¯{\ displaystyle {\ bar {\ Omega}}}∂Ω{\ displaystyle \ částečné \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω¯{\ displaystyle {\ bar {\ Omega}}}∂Ω{\ displaystyle \ částečné \ Omega}
B(Ω)=Ó(Ω¯)′/Ó(∂Ω)′.{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = {\ mathcal {O}} \ left ({\ bar {\ Omega}} \ right) ^ {\ prime} / {\ mathcal { O}} \ left (\ partial \ Omega \ right) ^ {\ prime}.}Protože je hustá , je topologie kvocientu indukovaná topologií sur hrubá topologie.
Ó(∂Ω)′{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ vlevo (\ částečné \ Omega \ vpravo) ^ {\ prime}}Ó(Ω¯)′{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ vlevo ({\ bar {\ Omega}} \ vpravo) ^ {\ prime}}Ó(Ω¯){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ vlevo ({\ bar {\ Omega}} \ vpravo)}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}
Hyperfunkce na skutečném analytickém potrubí
Tyto přístupy rozšířit na případ, kdy je paracompact skutečný analytické potrubí o rozměru n , tím, že zvažuje „complexification“ U o a pomocí v případě potřeby atlasu analytických map (dále jen „Kohomologické definice“ z Sato nevyžaduje používání takových atlas). V tomto obecném kontextu je ponořen prostor distribucí a toto vložení zachovává podporu.
Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}D′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}
Hyperfunkce a parciální derivační lineární operátory
Nechť lineární operátor s parciálními derivacemi
P=P(X,D)=∑|α|≤mnaα(X)Dα{\ Displaystyle P = P \ left (x, D \ right) = \ součet \ limity _ {\ left \ vert \ alpha \ right \ vert \ leq m} a _ {\ alpha} \ left (x \ right) D ^ {\ alpha}}kde jsme se ptali , , (viz článek diferenciální operátor ), a které jsou analytické koeficienty v otevřené of . Operátor P působí na hyperfunkci vztahem
D=(D1,...,Dne){\ displaystyle D = (D_ {1}, ..., D_ {n})}Dk=-i∂k{\ displaystyle D_ {k} = - i \ částečné _ {k}}Dα=(-i)|α|∂α{\ displaystyle D ^ {\ alpha} = \ left (-i \ right) ^ {\ left \ vert \ alpha \ right \ vert} \ částečné ^ {\ alpha}}naα{\ displaystyle a _ {\ alpha}}Ω{\ displaystyle \ Omega}Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}[φ]∈B(Ω){\ displaystyle \ left [\ varphi \ right] \ in {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)}
P[φ]=[P~φ]{\ displaystyle P \ left [\ varphi \ right] = \ left [{\ tilde {P}} \ varphi \ right]}kde je diferenciální operátor odvodit z P nahrazením x o Z a tím . Hlavní symbol z P je definována
P~{\ displaystyle {\ tilde {P}}}∂/∂Xi{\ displaystyle \ částečné / \ částečné x_ {i}}∂/∂zi{\ displaystyle \ částečné / \ částečné z_ {i}} Pm{\ displaystyle P_ {m}}
Pm(X,ξ)=∑|α|=mnaα(X)ξα{\ displaystyle P_ {m} \ left (x, \ xi \ right) = \ sum \ limity _ {\ left \ vert \ alpha \ right \ vert = m} a _ {\ alpha} \ left (x \ right) \ xi ^ {\ alpha}}a operátor P se říká, že eliptickým v případě, pro všechny a všechno . Výsledek níže je způsoben Harveyem:
Ω{\ displaystyle \ Omega}Pm(X,ξ)≠0{\ displaystyle P_ {m} \ left (x, \ xi \ right) \ neq 0}ξ≠0{\ displaystyle \ xi \ neq 0}X∈Ω{\ displaystyle x \ in \ Omega}
Věta - Předpokládejme konstantní koeficienty.
P(D){\ displaystyle P (D)}
(1) Máme rovnost
P(D)B(Ω)=B(Ω){\ displaystyle P (D) {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right) = {\ mathcal {B}} \ left (\ Omega \ right)},
jinými slovy je to dělitelný -modul.
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}VS[D]{\ displaystyle \ mathbb {C} [D]}
(2) Následující podmínky jsou rovnocenné:
(a) je eliptický;
P(D){\ displaystyle P (D)}(b) Pokud a poté ;
u∈B(Ω){\ displaystyle u \ in {\ mathcal {B}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}P(D)u∈Ó(Ω){\ displaystyle P (D) u \ in {\ mathcal {O}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}u∈Ó(Ω){\ displaystyle u \ in {\ mathcal {O}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}(c) Pokud a pak .
u∈B(Ω){\ displaystyle u \ in {\ mathcal {B}} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}P(D)u∈VS∞(Ω){\ displaystyle P (D) u \ v C ^ {\ infty} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}u∈VS∞(Ω){\ displaystyle u \ in C ^ {\ infty} \ left (\ Omega \ right)}
Schapira ukázala, že vlastnost (1) zůstává pravdivá, když P je eliptický operátor s analytickými koeficienty (v tomto případě je to také pravda, pokud ji nahradíme prostorem distribucí , nebo , nebo znovu ). Na druhé straně, to je false, pokud nahradíme tím, aniž by předpoklad eliptičnost na P a „P-convexity“ na otevřené .
B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}D′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}Ó(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}VS∞(Ω){\ displaystyle C ^ {\ infty} \ left (\ Omega \ right)}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}D′(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega \ right)}Ω{\ displaystyle \ Omega}
Když je konvexní otevřené z , Kaneto a Komatsu ukázaly, že -module splňuje dále jen „ základní princip Ehrenpreis “; v důsledku toho se jedná o - Modul vstřikovacího kogenerátoru . Tento výsledek ukazuje, že prostor hyperfunkcí je velmi vhodný pro studium lineárních diferenciálních systémů (s parciálními derivacemi) s konstantními koeficienty.
Ω{\ displaystyle \ Omega}Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}VS[D]{\ displaystyle \ mathbb {C} [D]}B(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ doleva (\ Omega \ doprava)}VS[D]{\ displaystyle \ mathbb {C} [D]}
Hyperfunkce s vektorovými hodnotami
Rozšíření teorie na případ hyperfunkcí s hodnotami v je triviální, ale můžeme také definovat a studovat hyperfunkce s hodnotami v komplexním Fréchetově prostoru.
VSm{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {m}}
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
Sato 1959-1960a
-
Sato 1959-1960b
-
Schwartz 1966
-
Martineau 1970
-
Komatsu 1973
-
Kashiwara, Kawai a Kimura 1986
-
Komatsu 1968
-
Komatsu 1971
-
Komatsu 1987
-
Martineau 1960-1961
-
Harvey 1966a
-
Harvey 1966b
-
Schapira 1970
-
Morimoto 1993
-
Hörmander 1983a
-
Cordaro a Treves 1994
-
Bourlès a Marinescu 2011
-
Hartshorne 1967
-
Dieudonné 1969
-
Kothe 1953
-
Stankovic 2001
-
Van der Put a Singer 2003
-
Maisonobe a Sabbah 1983
-
Malgrange 1957
-
Grauerta 1958
-
Hörmander 1990
-
Bourbaki 2006
-
Hörmander 1983b
-
Ion a Kawai 1975
Reference
- Nicolas Bourbaki , Prvky matematiky . Diferenciální a analytické varianty - brožura výsledků , Springer,2006, 200 s. ( ISBN 3-540-34396-2 , číst online )
- Henri Bourlès a Bogdan Marinescu , Lineární časově proměnné systémy: algebraicko-analytický přístup , Springer,2011, 638 s. ( ISBN 978-3-642-19726-0 a 3-642-19726-4 , číst online )
- (en) Paulo D. Cordaro a François Treves , Hyperfunctions on hypo-analytic manifolds , Princeton (NJ), Princeton Univ. Stiskněte ,1994, 377 s. ( ISBN 0-691-02993-8 , číst online )
- Jean Dieudonné , Analytické prvky, sv. 1 , Gauthier-Villars ,1969( ISBN 2-04-010410-0 )
- (en) Hans Grauert , „ O Leviho problému a zavedení real-analytických potrubí “ , Annals of Mathematics , sv. 68 odst.2,1958, str. 460-472 ( číst online )
- (en) Robin Hartshorne , Local Cohomology: A Seminar Given by A. Grothendieck, Harvard University, Fall, 1961 , Springer,1967( ISBN 978-3-540-03912-9 , číst online )
- (en) Reese Harvey , Hyperfunkce a lineární parciální diferenciální rovnice (disertační práce) , odd. of Mathematics, Stanford University, 1966a ( číst online )
- (en) Reese Harvey , „ Hyperfunkce a lineární parciální diferenciální rovnice “ , Proc. Nat. Acad. Sci. USA , 1966b, s. 1042-1046 ( číst online )
- (en) Lars Hörmander , Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů I: Teorie distribuce a Fourierova analýza , Springer, 1983a, 440 s. ( ISBN 978-3-540-00662-6 a 3-540-00662-1 , číst online )
- (en) Lars Hörmander , Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů II , Berlín / Heidelberg / Paříž atd., Springer, 1983b, 390 s. ( ISBN 978-3-540-12139-8 a 3-540-12139-0 , číst online )
- (en) Lars Hörmander , Úvod do komplexní analýzy v několika proměnných (3. vydání, revidováno) , Amsterdam / New York / Oxford, Severní Holandsko,1990, 254 s. ( ISBN 0-444-88446-7 , číst online )
- (en) Patrick DF Ion a Takahiro Kawai , „ Theory of Vector-Valued Hyperfunctions “ , Pub. RIMS, Kyoto Univ. , sv. 11,1975, str. 1–10 ( číst online )
- (en) Masaki Kashiwara , Takahiro Kawai a Tatsuo Kimura , Fundations of Algebraic Analysis , Princeton, Princeton University Press ,1986, 254 s. ( ISBN 0-691-08413-0 , číst online )
- (en) Hikosaburo Komatsu , „ Řešení hyperfunkcemi svazků řešení diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty “ , Math. Ann. , sv. 176,1968, str. 77–86 ( číst online )
- (en) Hikosaburo Komatsu , „ Na indexu běžných diferenciálních operátorů “ , J. Fac. Sci. Univ. Tokio, oddíl. IA, Math. , sv. 18,1971, str. 379-398
- (en) Hikosaburo Komatsu (editor), Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations: Proceedings of a Conference at Katata, 1971 , Springer Verlag,1973, 534 s. ( ISBN 3-540-06218-1 , číst online )
- (en) Hikosaburo Komatsu , „ Laplaceovy transformace hyperfunkcí - nový základ Heavisideova počtu - “ , J. Fac. Sci. Univ. Tokio, oddíl. IA, Math. , sv. 34,1987, str. 805-820
- (de) Gottfried Köthe , „ Dualität in der Funktionentheorie “ , J. Reine Angew. Math , sv. 191,1953, str. 30-49 ( číst online )
- Philippe Maisonobe a Claude Sabbah , koherentní D-moduly a holomomy , Hermann ,1983( ISBN 2-7056-6212-X )
- Bernard Malgrange , „ Snopy na skutečných analytických potrubích “, Bull. Soc. Matematika. de France , roč. 83,1957, str. 231-237 ( číst online )
- André Martineau , „ Les hyperfunctions de M. Sato “, Séminaire Bourbaki , 1960-1961, s. 1. 127–139 ( číst online )
- André Martineau , „ Funkční analytika “, Sborník, Congrès int. Matematika. , sv. 2,1970, str. 635-642 ( číst online )
- (en) Mitsuo Morimoto ( překlad z japonštiny), An Introduction to Sato's Hyperfunctions , Providence, American Mathematical Society,1993, 273 s. ( ISBN 0-8218-4571-3 , číst online )
- (en) Marius Van der Put a Michael F. Singer , Galoisova teorie lineárních diferenciálních rovnic , Berlín / Heidelberg / New York, Springer,2003, 438 s. ( ISBN 3-540-44228-6 , číst online )
- (en) Mikio Sato , „ Theory of Hyperfunctions, I “ , J. Fac. Sci. Tokio , sv. 1 (8), 1959-1960a, s. 1 139-193 ( číst online )
- (en) Mikio Sato , „ Theory of Hyperfunctions, II “ , J. Fac. Sci. Tokio , sv. 1 (8), 1959-1960b, s. 1 387-437 ( číst online )
- Pierre Schapira , Teorie hyperfunkcí , Springer-Verlag ,1970( ISBN 3-540-04915-0 )
- Lawrence Schwartz , Teorie distribucí ( 3 th ed.) , Paris, Hermann ,1966, 418 str. ( ISBN 2-7056-5551-4 )
- (en) Bogoljub Stankovic , „ Laplaceova transformace Laplaceových hyperfunkcí a jejích aplikací “ , Novi Sad J. Math , sv. 31 odst.1,2001, str. 9–17 ( číst online )
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">