Euler-Maclaurin vzorec
V matematice je Euler-Maclaurinův vzorec (někdy nazývaný Eulerův součtový vzorec ) vztahem mezi diskrétními součty a integrály . To bylo objeveno samostatně, kolem roku 1735 , švýcarským matematikem Leonhardem Eulerem (pro urychlení výpočtu pomalu se sbíhajících limitů řady) a Skotem Colinem Maclaurinem (pro výpočet přibližných hodnot integrálů).
Úvod: srovnání mezi řadami a integrály
Nechť f je nekonečně diferencovatelná funkce na [1, + ∞ [ a n nenulového přirozené číslo.
Chceme získat asymptotickou expanzi součtu porovnáním s integrálem .
∑i=1neF(i)=F(1)+F(2)+⋯+F(ne){\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (i) = f (1) + f (2) + \ cdots + f (n)}∫1neF(X) dX{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {n} f (x) ~ {\ rm {d}} x}
Euler-Maclaurin vzorec uvádí výraz rozdílu jako funkce hodnot funkce a jeho derivátů na koncích 1 a n a ze zbytku:
F(1)+F(2)+⋯+F(ne)-∫1neF(X) dX{\ displaystyle f (1) + f (2) + \ cdots + f (n) - \ int _ {1} ^ {n} f (x) ~ {\ rm {d}} x}
∑i=1neF(i)-∫1neF(X) dX=F(1)+F(ne)2+16F′(ne)-F′(1)2!-130F‴(ne)-F‴(1)4!+⋯+b2kF(2k-1)(ne)-F(2k-1)(1)(2k)!+Rk,ne.{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (i) - \ int _ {1} ^ {n} f (x) ~ {\ rm {d}} x = {\ frac {f ( 1) + f (n)} {2}} + {\ frac {1} {6}} {\ frac {f '(n) -f' (1)} {2!}} - {\ frac {1 } {30}} {\ frac {f '' '(n) -f' '' (1)} {4!}} + \ Cdots + b_ {2k} {\ frac {f ^ {(2k-1) } (n) -f ^ {(2k-1)} (1)} {(2k)!}} + R_ {k, n}.}
Čísla, která se objevují ve vzorci, jsou Bernoulliho čísla .
b2=16,b4=-130,b6=142,b8=-130,...b2k{\ displaystyle b_ {2} = {\ frac {1} {6}}, \ quad b_ {4} = - {\ frac {1} {30}}, \ quad b_ {6} = {\ frac {1 } {42}}, \ quad b_ {8} = - {\ frac {1} {30}}, \ quad \ ldots b_ {2k}}
Získaná řada obecně není konvergentní, ale známe několik výrazů zbytku R k , n vzorce, které umožňují zvýšit takto vytvořenou chybu.
Státy
Euler-Maclaurin vzorec
Nechť p a q jsou dvě relativní celá čísla ( p < q ), f komplexní spojitá funkce definovaná na [ p , q ]. Následující příkaz vyjadřuje součet s integrálem , hodnotami f (stejně jako jeho deriváty) na koncích f ( p ) a f ( q ) a zbytku.
F(p)+F(p+1)+⋯+F(q)=∑i=pqF(i){\ displaystyle {f (p)} + f (p + 1) + \ cdots + {f (q)} = \ součet _ {i = p} ^ {q} f \ doleva (i \ doprava)}∫pqF(X) dX{\ displaystyle \ int _ {p} ^ {q} f (x) ~ {\ rm {d}} x}
Pokud je f spojitě diferencovatelnou komplexní funkcí jednou na segmentu [ p , q ], je Euler-Maclaurinův vzorec následující:
∑i=pqF(i)=F(p)+F(q)2+∫pqF(X) dX+R0{\ displaystyle \ sum _ {i = p} ^ {q} f \ left (i \ right) = {\ frac {f (p) + f (q)} {2}} + \ int _ {p} ^ {q} f (x) ~ {\ rm {d}} x + R_ {0}} s
R0=∫pqF′(X)(X-⌊X⌋-12) dX{\ displaystyle R_ {0} = \ int _ {p} ^ {q} f '(x) \ vlevo (x- \ lfloor x \ rfloor - {\ frac {1} {2}} \ vpravo) ~ {\ rm {d}} x}
kde je celá část z x , také poznamenat, E ( x ), a je dílčí část x .
⌊X⌋{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}X-⌊X⌋{\ displaystyle x- \ lfloor x \ rfloor}
Pro funkci f spojitě diferencovatelnou 2 k krát na segmentu [ p , q ] (s k ≥ 1) je Euler-Maclaurinův vzorec následující:
∑i=pqF(i)=F(p)+F(q)2+∫pqF(X) dX+∑j=1kb2j(2j)!(F(2j-1)(q)-F(2j-1)(p))+Rk.{\ displaystyle \ sum _ {i = p} ^ {q} f \ left (i \ right) = {\ frac {f \ left (p \ right) + f \ left (q \ right)} {2}} + \ int _ {p} ^ {q} f (x) ~ {\ rm {d}} x + \ sum _ {j = 1} ^ {k} {\ frac {b_ {2j}} {(2j) !}} \ left (f ^ {(2d-1)} (q) -f ^ {(2d-1)} (p) \ right) + R_ {k}.}
Čísla b 2 j označují Bernoulliho čísla a zbytek R k je vyjádřen pomocí Bernoulliho polynomu B 2 k :
Rk=-1(2k)!∫pqF(2k)(X)B2k(X-⌊X⌋) dX{\ displaystyle R_ {k} = - {1 \ over (2k)!} \ int _ {p} ^ {q} f ^ {(2k)} (x) B_ {2k} (x- \ lfloor x \ rfloor ) ~ {\ rm {d}} x}.
Zápis B 2 k označuje 2 k - tý Bernoulliho polynom a je jeho periodizovanou verzí s periodou 1, která se rovná B 2 k ( x ), pokud 0 < x <1.
B2k(X-⌊X⌋){\ displaystyle B_ {2k} (x- \ lfloor x \ rfloor)}
B2(X)=X2-X+16B4(X)=X4-2X3+X2-130B6(X)=X6-3X5+52X4-12X2+142{\ displaystyle B_ {2} (x) = x ^ {2} -x + {\ frac {1} {6}} \ qquad B_ {4} (x) = x ^ {4} -2x ^ {3} + x ^ {2} - {\ frac {1} {30}} \ qquad B_ {6} (x) = x ^ {6} -3x ^ {5} + {\ frac {5} {2}} x ^ {4} - {\ frac {1} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {42}}}.
Bernoulliho čísla ověřují rovnost .
b2k=B2k(0)=B2k(1){\ displaystyle b_ {2k} = B_ {2k} (0) = B_ {2k} (1)}
Ostatní výrazy zbytku jsou uvedeny později, pokud je funkce f 2 k + 1 krát diferencovatelná nebo 2 k + 2 krát diferencovatelná.
Souhrnné vzorce Euler-Maclaurin
Pokud sečteme od p do q - 1 čísla f ( i ) , máme:
∑i=pq-1F(i)=∫pqF(X) dX+F(p)-F(q)2+∑j=1kb2j(2j)!(F(2j-1)(q)-F(2j-1)(p))+Rk{\ displaystyle \ sum _ {i = p} ^ {q-1} f (i) = \ int _ {p} ^ {q} f (x) ~ {\ rm {d}} x + {\ frac { f (p) -f (q)} {2}} + \ sum _ {j = 1} ^ {k} {\ frac {b_ {2j}} {(2j)!}} \ vlevo (f ^ {( 2j -1)} (q) -f ^ {(2j-1)} (p) \ vpravo) + R_ {k}}.
Pokud vezmeme v úvahu Bernoulliho čísla lichého indexu: b 1 = -1/2a b 2 j +1 = 0, pokud j > 1, můžeme uvést Euler-Maclaurinův vzorec následovně:
pro komplexní funkci f, která je r krát spojitě diferencovatelná (s r > 0):
∑i=pq-1F(i)=∫pqF(X) dX+∑j=1rbjj!(F(j-1)(q)-F(j-1)(p))+Rr′{\ displaystyle \ sum _ {i = p} ^ {q-1} f \ left (i \ right) = \ int _ {p} ^ {q} f (x) ~ {\ rm {d}} x + \ sum _ {j = 1} ^ {r} {\ frac {b_ {j}} {j!}} \ left (f ^ {(j-1)} (q) -f ^ {(j-1) } (p) \ right) + R '_ {r}}
Máme- li k > 0.
Rr′=R[r2],R0=R1′aRk=R2k′=R2k+1′{\ displaystyle R '_ {r} = R _ {[{\ frac {r} {2}}]}, \ qquad R_ {0} = R' _ {1} \ qquad {\ text {and}} \ qquad R_ {k} = R '_ {2k} = R' _ {2k + 1}}
S předchozími notacemi je výraz zbytku R ' r pro komplexní funkci r krát spojitě diferencovatelný (s r > 0) následující:
Rr′=(-1)r-1r!∫pqF(r)(X)Br(X-⌊X⌋) dX{\ displaystyle R '_ {r} = {\ frac {(-1) ^ {r-1}} {r!}} \ int _ {p} ^ {q} f ^ {(r)} (x) B_ {r} (x- \ lfloor x \ rfloor) ~ {\ rm {d}} x}.
Notace B r označuje r th Bernoulliho polynomu a je periodizovaný verze o tom, s periodou 1, které se rovnají B r ( x ) pokud je 0 < x <1.
Br(X-⌊X⌋){\ displaystyle B_ {r} (x- \ lfloor x \ rfloor)}
B0(X)=1B1(X)=X-12B2(X)=X2-X+16B3(X)=X3-32X2+12XB4(X)=X4-2X3+X2-130{\ displaystyle B_ {0} (x) = 1 \ qquad B_ {1} (x) = x - {\ frac {1} {2}} \ qquad B_ {2} (x) = x ^ {2} - x + {\ frac {1} {6}} \ qquad B_ {3} (x) = x ^ {3} - {\ frac {3} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {2}} x \ qquad B_ {4} (x) = x ^ {4} -2x ^ {3} + x ^ {2} - {\ frac {1} {30}}}.
(Polynomy a Bernoulliho čísla souvisejí s rovností b r = B r (0) = B r (1), pokud r > 1.).
Další ekvivalentní formulace, kde sečteme od p + 1 do q , je dána Tenenbaumem: pro komplexní funkci f, která je r + 1 krát spojitě diferencovatelná (s r ≥ 0):
∑p<ne⩽qF(ne)=∫pqF(X) dX+∑j=0r(-1)j+1bj+1(j+1)!(F(j)(q)-F(j)(p))+Rr+1′{\ displaystyle \ sum _ {p <n \ leqslant q} f \ left (n \ right) = \ int _ {p} ^ {q} f (x) ~ {\ rm {d}} x + \ sum _ {j = 0} ^ {r} {\ frac {(-1) ^ {j + 1} b_ {j + 1}} {(j + 1)!}} \ left (f ^ {(j)} ( q) -f ^ {(j)} (p) \ right) + R '_ {r + 1}}.
Koeficient (–1) j +1 zasahuje pouze do vzorce pro j = 0. Jeho úlohou je nahradit Bernoulliho číslo indexu 1, b 1 = -1/2, podle b ' 1 = +1/2.
Výrazy od ostatních
Pokud je f 2 k krát spojitě diferencovatelné na segmentu [ p , q ] (s k ≥ 1), zbytek R k se vyjádří takto:
Rk=-1(2k)!∫pqF(2k)(X)B2k(X-⌊X⌋) dX.{\ displaystyle R_ {k} = - {1 \ over (2k)!} \ int _ {p} ^ {q} f ^ {(2k)} (x) B_ {2k} (x- \ lfloor x \ rfloor ) ~ {\ rm {d}} x.}
Pokud je f 2 k + 1 krát spojitě diferencovatelné na segmentu [ p , q ] (s k ≥ 0), zbytek R k se vyjádří takto:
Rk=1(2k+1)!∫pqF(2k+1)(X)B2k+1(X-⌊X⌋) dX.{\ displaystyle R_ {k} = {1 \ nad (2k + 1)!} \ int _ {p} ^ {q} f ^ {(2k + 1)} (x) {B_ {2k + 1} (x - \ lfloor x \ rfloor)} ~ {\ rm {d}} x.}
Pokud je f skutečná funkce 2 k + 2krát spojitě diferencovatelná na segmentu [ p , q ] (s k ≥ 0), zbytek lze zapsat následujícími způsoby:
Rk=-1(2k+2)!∫pqF(2k+2)(X)(B2k+2(X-⌊X⌋)-b2k+2) dX=q-p(2k+2)!b2k+2F(2k+2)(ξ), s ξ∈]p,q[.{\ displaystyle {\ begin {aligned} R_ {k} & = - {1 \ over (2k + 2)!} \ int _ {p} ^ {q} f ^ {(2k + 2)} (x) ( B_ {2k + 2} (x- \ lfloor x \ rfloor) -b_ {2k + 2}) ~ {\ rm {d}} x \\ & = {qp \ over (2k + 2)!} B_ {2k +2} f ^ {(2k + 2)} (\ xi), \ qquad {\ text {with}} \ quad \ xi \ in \ left] p, q \ right [. \ End {aligned}}}
Pokud vezmeme v úvahu Bernoulliho čísla bez jejich znaménka (máme ), je napsán poslední vzorec:
b2k=(-1)k-1|b2k|{\ displaystyle b_ {2k} = (- 1) ^ {k-1} | b_ {2k} |}
Rk=(-1)kq-p(2k+2)!|b2k+2|F(2k+2)(ξ), s ξ∈]p,q[.{\ displaystyle R_ {k} = (- 1) ^ {k} {qp \ over (2k + 2)!} | b_ {2k + 2} | f ^ {(2k + 2)} (\ xi), \ qquad {\ text {with}} \ quad \ xi \ in \ left] p, q \ right [.}
Poznámka: zbytek R k je nula pro libovolný polynom stupně nejvýše 2 k + 1.
Ostatní doplňky
Pokud je f komplexní funkce 2k krát spojitě diferencovatelná na segmentu [ p , q ] (s k ≥ 1), můžeme zvýšit zbytek (nebo „chybový člen“) Euler-Maclaurinova vzorce pomocí horní hranice Bernoulliho polynomy sudého indexu ::
supt∈[0;1]|B2k(t)|=|b2k|{\ displaystyle \ sup _ {t \ v [0 \ ,; \, 1]} | B_ {2k} (t) | = | b_ {2k} |}
|Rk|⩽|b2k|(2k)!∫pq|F(2k)(X)|dX{\ displaystyle | R_ {k} | \ leqslant {\ frac {| b_ {2k} |} {(2k)!}} \ int _ {p} ^ {q} \ left | f ^ {(2k)} ( x) \ vpravo | \ mathrm {d} x}.
Například, my máme: .
b2=16{\ displaystyle b_ {2} = {\ frac {1} {6}}}|R1|⩽112∫pq|F„(X)|dX{\ displaystyle | R_ {1} | \ leqslant {\ frac {1} {12}} \ int _ {p} ^ {q} \ left | f '' (x) \ right | \ mathrm {d} x}
Nerovnost, například následující, lze přepsat pomocí vzorce kvůli Eulerovi (pro k ≥ 1) . Dedukujeme to
(máme ekvivalent :) .
|b2k|(2k)!=2(2π)2k∑i=1∞1i2k=2(2π)2kζ(2k){\ displaystyle {\ frac {| b_ {2k} |} {(2k)!}} = {\ frac {2} {(2 \ pi) ^ {2k}}} \ sum _ {i = 1} ^ { \ infty} {\ frac {1} {i ^ {2k}}} = {\ frac {2} {(2 \ pi) ^ {2k}}} \ zeta (2k)}|b2k|(2k)!⩽2ζ(2)(2π)2k{\ displaystyle {\ frac {| b_ {2k} |} {(2k)!}} \ leqslant {\ frac {2 \ zeta (2)} {(2 \ pi) ^ {2k}}}}|b2k|(2k)!∼2(2π)2k{\ displaystyle {\ frac {| b_ {2k} |} {(2k)!}} \ sim {\ frac {2} {(2 \ pi) ^ {2k}}}}
|Rk|⩽2ζ(2)(2π)2k∫pq|F(2k)(t)|dt{\ displaystyle | R_ {k} | \ leqslant {\ frac {2 \ zeta (2)} {(2 \ pi) ^ {2k}}} \ int _ {p} ^ {q} \ vlevo | f ^ { (2k)} (t) \ vpravo | \ mathrm {d} t}.
Pokud je f komplexní funkce 2 k + 1 krát spojitě diferencovatelná na segmentu [ p , q ] (s k ≥ 0), pomocí horní hranice Bernoulliho polynomů lichého indexu: pokud :
|B2k+1(t)|⩽(k+12)|b2k|{\ displaystyle | B_ {2k + 1} (t) | \ leqslant (k + {\ frac {1} {2}}) | b_ {2k} |}t∈[0;1]{\ displaystyle t \ v [0 \ ,; \, 1]}
|Rk|⩽(k+12)|b2k|(2k+1)!∫pq|F(2k+1)(X)|dX=|b2k|2(2k)!∫pq|F(2k+1)(X)|dX=|ζ(2k)|(2π)2k∫pq|F(2k+1)(X)|dX{\ displaystyle | R_ {k} | \ leqslant {\ frac {(k + {\ frac {1} {2}}) | b_ {2k} |} {(2k + 1)!}} \ int _ {p } ^ {q} \ left | f ^ {(2k + 1)} (x) \ right | \ mathrm {d} x = {\ frac {| b_ {2k} |} {2 (2k)!}} \ int _ {p} ^ {q} \ left | f ^ {(2k + 1)} (x) \ right | \ mathrm {d} x = {\ frac {| \ zeta (2k) |} {(2 \ pi) ^ {2k}}} \ int _ {p} ^ {q} \ vlevo | f ^ {(2k + 1)} (x) \ vpravo | \ mathrm {d} x}.
můžeme zvýšit zbytek (nebo „chybný termín“) vzorce Euler-Maclaurin:
|Rk|⩽2(2π)2k∫pq|F(2k+1)(t)|dt{\ displaystyle | R_ {k} | \ leqslant {\ frac {2} {(2 \ pi) ^ {2k}}} \ int _ {p} ^ {q} \ vlevo | f ^ {(2k + 1) } (t) \ vpravo | \ mathrm {d} t}.
Pro Bernoulliho polynom B 3 ( t ) máme maximum, které umožňuje získat nárůst:
supt∈[0;1]|B3(t)|=336{\ displaystyle \ sup _ {t \ v [0 \ ,; \, 1]} | B_ {3} (t) | = {\ frac {\ sqrt {3}} {36}}}
|R1|⩽3216∫pq|F(3)(t)|dt{\ displaystyle | R_ {1} | \ leqslant {\ frac {\ sqrt {3}} {216}} \ int _ {p} ^ {q} \ vlevo | f ^ {(3)} (t) \ vpravo | \ mathrm {d} t}.
Znamení zbytku
Pokud je f reálná funkce 2 k + 2krát spojitě diferencovatelná na segmentu [ p , q ] (s k ≥ 0), jehož derivace řádu 2 k + 2 má konstantní znaménko, zbytek R k má stejné znaménko, že „první zanedbaný výraz“:
Rk≈b2k+2(2k+2)!(F(2k+1)(q)-F(2k+1)(p))≈(-1)k(F(2k+1)(q)-F(2k+1)(p)){\ displaystyle R_ {k} \ cca {\ frac {b_ {2k + 2}} {(2k + 2)!}} \ left (f ^ {(2k + 1)} (q) -f ^ {(2k +1)} (p) \ right) \ cca (-1) ^ {k} \ left (f ^ {(2k + 1)} (q) -f ^ {(2k + 1)} (p) \ right )}.
Kromě toho máme následující zvýšení:
|Rk|⩽2(1-2-(2k+2))|b2k+2|(2k+2)!|F(2k+1)(q)-F(2k+1)(p)|{\ displaystyle | R_ {k} | \ leqslant 2 \ left (1-2 ^ {- (2k + 2)} \ right) {\ frac {| b_ {2k + 2} |} {(2k + 2)! }} \ left | f ^ {(2k + 1)} (q) -f ^ {(2k + 1)} (p) \ right |}.
a
|Rk+1|⩽|b2k+2|(2k+2)!|F(2k+1)(q)-F(2k+1)(p)|{\ displaystyle | R_ {k + 1} | \ leqslant {\ frac {| b_ {2k + 2} |} {(2k + 2)!}} \ left | f ^ {(2k + 1)} (q) -f ^ {(2k + 1)} (p) \ vpravo |}.
(zbytek po R k + 1 nepřekračuje (v absolutní hodnotě) „poslední člen ponechán“).
Pokud je f reálná funkce 2 k + 4krát spojitě diferencovatelná na segmentu [ p , q ] (s k ≥ 0), jehož derivace řádu 2 k + 2 a 2 k + 4 jsou konstantní znaménko a podobně znaménko, pak zbytky R k a R k + 1 mají opačná znaménka a zbytek R k se zvýší (v absolutní hodnotě) o první zanedbaný člen:
|Rk|⩽|b2k+2|(2k+2)!|F(2k+1)(q)-F(2k+1)(p)|{\ displaystyle | R_ {k} | \ leqslant {\ frac {| b_ {2k + 2} |} {(2k + 2)!}} \ left | f ^ {(2k + 1)} (q) -f ^ {(2k + 1)} (p) \ vpravo |}.
Demonstrace
Předvedeme vzorec
Rk=-1(2k)!∫pqF(2k)(X)B2k(X-⌊X⌋) dX.{\ displaystyle R_ {k} = - {1 \ over (2k)!} \ int _ {p} ^ {q} f ^ {(2k)} (x) B_ {2k} (x- \ lfloor x \ rfloor ) ~ {\ rm {d}} x.}
přes interval [ n , n + 1], s n ∈ ℤ, pak odvodíme předchozí vzorec součtem přes n ∈ ℤ ( p ≤ n ≤ q - 1).
Demonstrace
Nechť g je spojitě diferencovatelná funkce na [ n , n + 1]. Pomocí Bernoulliho vlastnosti polynomů: zjistíme integrací po částech:
∀m∈NEBm+1′=(m+1)Bm{\ displaystyle \ forall m \ in \ mathbb {N} \ quad B_ {m + 1} '= \ left (m + 1 \ right) B_ {m}}
∫nene+1G(t)Bm(t-ne) dt=[G(t)Bm+1(t-ne)m+1]nene+1-∫nene+1G′(t)Bm+1(t-ne)m+1 dt.{\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} g (t) B_ {m} (tn) ~ {\ rm {d}} t = \ left [g (t) {\ frac {B_ {m +1} (tn)} {m + 1}} \ vpravo] _ {n} ^ {n + 1} - \ int _ {n} ^ {n + 1} g '(t) {\ frac {B_ { m + 1} (tn)} {m + 1}} ~ {\ rm {d}} t.}Nyní, když víme, že pro m ≥ 1 máme , odvodíme:
Bm+1(1)=Bm+1(0)=bm+1{\ displaystyle B_ {m + 1} (1) = B_ {m + 1} (0) = b_ {m + 1}}
pro m ≥ 1:
∫nene+1G(t)Bm(t-ne) dt=bm+1m+1(G(ne+1)-G(ne))-1m+1∫nene+1G′(t)Bm+1(t-ne) dt.{\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} g (t) B_ {m} (tn) ~ {\ rm {d}} t = {\ frac {b_ {m + 1}} {m + 1}} \ left (g (n + 1) -g (n) \ right) - {\ frac {1} {m + 1}} \ int _ {n} ^ {n + 1} g '(t) B_ {m + 1} (tn) ~ {\ rm {d}} t.}
S vědomím, že (pro m = 0) máme
B0(t)=1 a B1(1)=12 a B1(0)=-12,{\ displaystyle B_ {0} (t) = 1 {\ text {and}} B_ {1} (1) = {\ frac {1} {2}} {\ text {and}} B_ {1} (0 ) = - {\ frac {1} {2}},}odvodíme, zda je g spojitě dvakrát diferencovatelné:
∫nene+1G(t) dt=∫nene+1G(t)B0(t-ne) dt=12(G(ne+1)+G(ne))-∫nene+1G′(t)B1(t-ne) dt=G(ne+1)+G(ne)2-b22(G′(ne+1)-G′(ne))+12∫nene+1G„(t)B2(t-ne) dt.{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ int _ {n} ^ {n + 1} g (t) ~ {\ rm {d}} t & = \ int _ {n} ^ {n + 1} g ( t) B_ {0} (tn) ~ {\ rm {d}} t \\ & = {\ frac {1} {2}} \ left (g (n + 1) + g (n) \ right) - \ int _ {n} ^ {n + 1} g '(t) B_ {1} (tn) ~ {\ rm {d}} t \\ & = {\ frac {g (n + 1) + g ( n)} {2}} - {\ frac {b_ {2}} {2}} \ left (g '(n + 1) -g' (n) \ right) + {\ frac {1} {2} } \ int _ {n} ^ {n + 1} g '' (t) {B_ {2} (tn)} ~ {\ rm {d}} t. \ end {zarovnáno}}}
Nechť f je spojitě diferencovatelná funkce 2k krát ( k > 0). Indukcí na k ukážeme:
∫nene+1F(t) dt=F(ne)+F(ne+1)2+∑i=22k(-1)i-1bii!(F(i-1)(ne+1)-F(i-1)(ne))+1(2k)!∫nene+1F(2k)(t)B2k(t-ne) dt.{\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} f (t) ~ {\ rm {d}} t = {\ frac {f (n) + f (n + 1)} {2}} + \ sum _ {i = 2} ^ {2k} {\ frac {\ left (-1 \ right) ^ {i-1} b_ {i}} {i!}} \ left (f ^ {(i-1 )} (n + 1) -f ^ {(i-1)} (n) \ vpravo) + {\ frac {1} {(2k)!}} \ int _ {n} ^ {n + 1} f ^ {(2k)} (t) B_ {2k} (tn) ~ {\ rm {d}} t.}Nakonec s vlastností : dedukujeme (s i = 2 j ):
∀j≥1,b2j+1=0{\ displaystyle \ forall j \ geq 1, b_ {2j + 1} = 0}
∫nene+1F(t) dt=F(ne)+F(ne+1)2-∑j=1kb2j(2j)!(F(2j-1)(ne+1)-F(2j-1)(ne))+1(2k)!∫nene+1F(2k)(t)B2k(t-ne) dt{\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} f (t) ~ {\ rm {d}} t = {\ frac {f (n) + f (n + 1)} {2}} - \ sum _ {j = 1} ^ {k} {\ frac {b_ {2j}} {(2j)!}} \ left (f ^ {(2j-1)} (n + 1) -f ^ {( 2j-1)} (n) \ vpravo) + {\ frac {1} {(2k)!}} \ Int _ {n} ^ {n + 1} f ^ {(2k)} (t) B_ {2k } (tn) ~ {\ rm {d}} t}proto s n = ⌊ t ⌋
F(ne)+F(ne+1)2=∫nene+1F(t) dt+∑j=1kb2j(2j)!(F(2j-1)(ne+1)-F(2j-1)(ne))-1(2k)!∫nene+1F(2k)(t)B2k(t-⌊t⌋) dt.{\ displaystyle {\ frac {f (n) + f (n + 1)} {2}} = \ int _ {n} ^ {n + 1} f (t) ~ {\ rm {d}} t + \ sum _ {j = 1} ^ {k} {\ frac {b_ {2j}} {(2j)!}} \ left (f ^ {(2j-1)} (n + 1) -f ^ {( 2j -1)} (n) \ vpravo) - {\ frac {1} {(2k)!}} \ Int _ {n} ^ {n + 1} f ^ {(2k)} (t) B_ {2k } \ left (t- \ lfloor t \ rfloor \ right) ~ {\ rm {d}} t.}Odkud součtem na součtu na n ∈ ℤ ( p ≤ n ≤ q - 1):
∑ne=pq-1F(ne)+F(ne+1)2=∫pqF(t) dt+∑j=1kb2j(2j)!(F(2j-1)(q)-F(2j-1)(p))-1(2k)!∫pqF(2k)(t)B2k(t-⌊t⌋) dt.{\ displaystyle \ sum _ {n = p} ^ {q-1} {\ frac {f (n) + f (n + 1)} {2}} = \ int _ {p} ^ {q} f ( t) ~ {\ rm {d}} t + \ sum _ {j = 1} ^ {k} {\ frac {b_ {2j}} {(2j)!}} \ left (f ^ {(2j-1 )} (q) -f ^ {(2j-1)} (p) \ vpravo) - {\ frac {1} {(2k)!}} \ int _ {p} ^ {q} f ^ {(2k )} (t) B_ {2k} \ left (t- \ lfloor t \ rfloor \ right) ~ {\ rm {d}} t.}
Aplikace na digitální integraci
Digitální integrace
Sčítací vzorec lze použít k přiblížení integrálů diskrétním procesem, například v lichoběžníkové metodě nebo Rombergově způsobu , nebo naopak k transformaci diskrétního součtu (konečného nebo ne) a uplatnění technik nekonečně malého počtu .
Euler-Maclaurinův vzorec lze také použít pro přesný odhad chyby provedené při numerickém výpočtu integrálu ; zejména na ní jsou založeny metody extrapolace. Metoda Clenshaw-Curtis kvadraturní je v podstatě změna proměnných redukčních libovolný integrální integraci periodických funkcí, pro které je součet vzorec je velmi přesný (v tomto případě, to znamená formu diskrétní kosinová transformace ).
Integrační vzorce Euler-Maclaurin
Integrace mezi dvěma celými čísly
V lichoběžníkové metody , integrál je aproximována pomocí lineární interpolace na každém intervalu [ n , n + 1] .
∫nene+1F(X) dX{\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) ~ {\ rm {d}} x}∫nene+1F(X) dX≈F(ne)+F(ne+1)2{\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) ~ {\ rm {d}} x \ cca {\ frac {f (n) + f (n + 1)} {2}} }
Sečtením všech intervalů délky 1 aproximujeme integrál součtem
∫pqF(X) dX{\ displaystyle \ int _ {p} ^ {q} f (x) ~ {\ rm {d}} x}
F(p)2+F(p+1)+F(p+2)+...+F(q-1)+F(q)2=F(p)+F(q)2+∑i=p+1q-1F(i){\ displaystyle {\ frac {f (p)} {2}} + f (p + 1) + f (p + 2) + \ ldots + f (q-1) + {\ frac {f (q)} {2}} = {\ frac {f \ left (p \ right) + f \ left (q \ right)} {2}} + \ sum _ {i = p + 1} ^ {q-1} f \ vlevo (i \ vpravo)}
Euler-Maclaurin vzorec lze psát:
∫pqF(X) dX=F(p)+F(q)2+∑i=p+1q-1F(i)-∑j=1kb2j(2j)!(F(2j-1)(q)-F(2j-1)(p))-Rk{\ displaystyle \ int _ {p} ^ {q} f (x) ~ {\ rm {d}} x = {\ frac {f \ levý (p \ pravý) + f \ levý (q \ pravý)} { 2}} + \ sum _ {i = p + 1} ^ {q-1} f \ left (i \ right) - \ sum _ {j = 1} ^ {k} {\ frac {b_ {2j}} {(2j)!}} \ Left (f ^ {(2j-1)} (q) -f ^ {(2j-1)} (p) \ right) -R_ {k}}
Integrace v jakémkoli intervalu
Jednoduchá změna proměnné umožňuje získat analogický vzorec pro funkci definovanou v segmentu s neintegrálními hranicemi. Zbytek je označen „průměrným bodem“ pro funkci diferencovatelnou 2 k + 2krát.
ξ∈ ]na,b[{\ displaystyle \; \ xi \ v ~] a, b [}
Pózováním máme:
h=b-naNE{\ displaystyle h = {\ frac {ba} {N}}}
∫nabF(X) dX=hF(na)+F(b)2+h∑m=1NE-1F(na+mh)-∑j=1kb2j(2j)!h2j(F(2j-1)(b)-F(2j-1)(na))-(b-na)b2k+2(2k+2)!F(2k+2)(ξ)h2k+2{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) ~ {\ rm {d}} x = h {\ frac {f \ left (a \ right) + f \ left (b \ right)} {2}} + h \ sum _ {m = 1} ^ {N-1} f \ left (a + mh \ right) - \ sum _ {j = 1} ^ {k} {\ frac {b_ {2j }} {(2j)!}} H ^ {2j} \ left (f ^ {(2j-1)} (b) -f ^ {(2j-1)} (a) \ right) - (ba) { \ frac {b_ {2k + 2}} {(2k + 2)!}} f ^ {(2k + 2)} (\ xi) h ^ {2k + 2}}.
„Chybný výraz“ lze také napsat .
-Rk=-(b-na)b2k+2(2k+2)!F(2k+2)(ξ)h2k+2=-b2k+2(b-na)2k+3(2k+2)!NE2k+2F(2k+2)(ξ){\ displaystyle -R_ {k} = - (ba) {\ frac {b_ {2k + 2}} {(2k + 2)!}} f ^ {(2k + 2)} (\ xi) h ^ {2k +2} = - {\ frac {b_ {2k + 2} (ba) ^ {2k + 3}} {(2k + 2)! N ^ {2k + 2}}} f ^ {(2k + 2)} (\ xi)}
Pokud N = 1, máme vzorec, kde zasahují pouze konce a a b :
∫nabF(X) dX=(b-na)F(na)+F(b)2-∑j=1k(b-na)2j(2j)!b2j(F(2j-1)(b)-F(2j-1)(na))-(b-na)2k+3b2k+2(2k+2)!F(2k+2)(ξ){\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) ~ {\ rm {d}} x = (ba) {\ frac {f (a) + f (b)} {2}} - \ součet _ {j = 1} ^ {k} {\ frac {(ba) ^ {2j}} {(2j)!}} b_ {2j} \ vlevo (f ^ {(2j-1)} (b) - f ^ {(2j-1)} (a) \ vpravo) - (ba) ^ {2k + 3} {\ frac {b_ {2k + 2}} {(2k + 2)!}} f ^ {(2k +2)} (\ xi)}
Ostatní výrazy pro k = 0 a pro k = 1
Výrazy R 0 a chyba lichoběžníkové metody
První Bernoulliho polynomy jsou:
B0(y)=1,B1(y)=y-12,B2(y)=y2-y+16{\ displaystyle B_ {0} (y) = 1, \ quad B_ {1} (y) = y - {\ frac {1} {2}}, \ quad B_ {2} (y) = y ^ {2 } -y + {\ frac {1} {6}}}.
R0=F(p)+F(q)2+∑ne=p+1q-1F(ne)-∫pqF(X) dX{\ displaystyle R_ {0} = {\ frac {f \ levý (p \ pravý) + f \ levý (q \ pravý)} {2}} + \ součet _ {n = p + 1} ^ {q-1 } f \ left (n \ right) - \ int _ {p} ^ {q} f (x) ~ {\ rm {d}} x}.
(- R 0 ) je chyba způsobená aproximací integrálu lichoběžníkovou metodou v každém intervalu [ n , n + 1].
∫nene+1F(X) dX≈F(ne)+F(ne+1)2{\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) ~ {\ rm {d}} x \ cca {\ frac {f (n) + f (n + 1)} {2}} }
Pokud je f spojitě jednou diferencovatelné (nastavíme ):
y=X-⌊X⌋{\ displaystyle y = x- \ lfloor x \ rfloor}
R0=∫pqF′(X)B1(y) dX=∫pqF′(X)(y-12) dX{\ displaystyle R_ {0} = \ int _ {p} ^ {q} f '(x) {B_ {1} (y)} ~ {\ rm {d}} x = \ int _ {p} ^ { q} f '(x) \ left (y - {\ tfrac {1} {2}} \ right) ~ {\ rm {d}} x}Pokud je f skutečná funkce spojitě diferencovatelná dvakrát:
R0=-12!∫pqF„(X)(B2(y)-16) dX=-12∫pqF„(X)(y2-y) dX=q-p12F„(ξ)(s ξ∈]p,q[).{\ displaystyle {\ begin {aligned} R_ {0} = - {\ frac {1} {2!}} \ int _ {p} ^ {q} f '' (x) \ left (B_ {2} ( y) - {\ tfrac {1} {6}} \ vpravo) ~ {\ rm {d}} x & = - {\ frac {1} {2}} \ int _ {p} ^ {q} f ' '(x) (y ^ {2} -y) ~ {\ rm {d}} x \\ & = {\ frac {qp} {12}} f' '(\ xi) \ qquad ({\ text { with}} \; \ xi \ in \ left] p, q \ right [). \ end {aligned}}}
Kvadraturní vzorec a chybový člen pro k = 1
Bernoulliho polynomy, které se vyskytují, jsou:
B2(y)=y2-y+16,B3(y)=y3-32y2+12y=y(y-1)(y-12),B4(y)=y4-2y3+y2-130=(y2-y)2-130{\ displaystyle B_ {2} (y) = y ^ {2} -y + {\ frac {1} {6}}, \ quad B_ {3} (y) = y ^ {3} - {\ frac { 3} {2}} y ^ {2} + {\ frac {1} {2}} y = y (y-1) \ left (y - {\ tfrac {1} {2}} \ right), \ quad B_ {4} (y) = y ^ {4} -2r ^ {3} + y ^ {2} - {\ frac {1} {30}} = (y ^ {2} -y) ^ {2 } - {\ frac {1} {30}}}.
R1=F(p)+F(q)2+∑ne=p+1q-1F(ne)-∫pqF(X) dX-112(F′(q)-F′(p)){\ displaystyle R_ {1} = {\ frac {f \ levý (p \ pravý) + f \ levý (q \ pravý)} {2}} + \ součet _ {n = p + 1} ^ {q-1 } f \ left (n \ right) - \ int _ {p} ^ {q} f (x) ~ {\ rm {d}} x - {\ frac {1} {12}} (f '(q) -f '(p))}.
(- R 1 ) je chybový člen odpovídající kvadraturnímu vzorci, přesný pro polynomy stupně menšího nebo rovného třem:
∫pqF(X) dX≈F(p)+F(q)2+∑ne=p+1q-1F(ne)+F′(p)-F′(q)12{\ displaystyle \ int _ {p} ^ {q} f (x) ~ {\ rm {d}} x \ přibližně {\ frac {f \ levý (p \ pravý) + f \ levý (q \ pravý)} {2}} + \ sum _ {n = p + 1} ^ {q-1} f \ left (n \ right) + {\ frac {f '(p) -f' (q)} {12}} }
(v článku Numerický výpočet integrálu jde o zobecněný Newton-Coatesův vzorec NC-2-2).
Pokud je f spojitě dvakrát diferencovatelné (nastavením ):
y=X-⌊X⌋{\ displaystyle y = x- \ lfloor x \ rfloor}
R1=-12!∫pqF„(X)B2(y) dX=-12∫pqF„(X)(y2-y+16) dX.{\ displaystyle R_ {1} = - {\ frac {1} {2!}} \ int _ {p} ^ {q} f '' (x) {B_ {2} (y)} ~ {\ rm { d}} x = - {\ frac {1} {2}} \ int _ {p} ^ {q} f '' (x) \ left (y ^ {2} -y + {\ tfrac {1} { 6}} \ vpravo) ~ {\ rm {d}} x.}Pokud je f spojitě třikrát diferencovatelné:
R1=13!∫pqF‴(X)B3(y) dX=16∫pqF‴(X)(y3-32y2+12y) dX.{\ displaystyle R_ {1} = {\ frac {1} {3!}} \ int _ {p} ^ {q} f '' '(x) {B_ {3} (y)} ~ {\ rm { d}} x = {\ frac {1} {6}} \ int _ {p} ^ {q} f '' '(x) \ left (y ^ {3} - {\ tfrac {3} {2} } y ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} y \ right) ~ {\ rm {d}} x.}Pokud je f skutečná funkce spojitě diferencovatelná čtyřikrát:
R1=-14!∫pqF(4)(X)(B4(y)+130) dX=-124∫pqF(4)(X)(y2-y)2 dX=-q-p720F(4)(ξ)(s ξ∈]p,q[).{\ displaystyle R_ {1} = - {\ frac {1} {4!}} \ int _ {p} ^ {q} f ^ {(4)} (x) \ vlevo (B_ {4} (y) + {\ tfrac {1} {30}} \ right) ~ {\ rm {d}} x = - {\ frac {1} {24}} \ int _ {p} ^ {q} f ^ {(4 )} (x) (y ^ {2} -y) ^ {2} ~ {\ rm {d}} x = - {\ frac {qp} {720}} f ^ {(4)} (\ xi) \ qquad ({\ text {with}} \; \ xi \ in \ left] p, q \ right [).}Další aplikace
Basilejský problém
Basel problém požadované určení částky1+14+19+116+125+⋯=∑ne=1∞1ne2.{\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {25}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}.}
Euler vypočítal tuto částku na 20 desetinných míst pomocí pouze několika výrazů vzorce Euler-Maclaurin. Tento výpočet ho pravděpodobně přesvědčil, že to má cenuπ 2/6, výsledek, který publikoval v roce 1735 (ale s nesprávnými argumenty; trvalo mu dalších šest let, než našel pečlivou demonstraci ).
Polynomiální součty
Pokud f je polynom ze studia d a použijeme-li sumační vzorec s p = 0, q = n a k, zvoleny tak, že d ≤ 2 k 1 , přičemž zbytek R k zmizí.
Například pokud f ( x ) = x 3 , můžeme získat k = 1
∑i=0nei3=∫0neX3dX+03+ne32+163ne2-02!=ne44+ne32+ne24=ne4+2ne3+ne24=(ne(ne+1)2)2{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = \ int _ {0} ^ {n} x ^ {3} \ mathrm {d} x + {\ frac {0 ^ { 3} + n ^ {3}} {2}} + {\ frac {1} {6}} {\ frac {3n ^ {2} -0} {2!}} = {\ Frac {n ^ {4 }} {4}} + {\ frac {n ^ {3}} {2}} + {\ frac {n ^ {2}} {4}} = {\ frac {n ^ {4} + 2n ^ { 3} + n ^ {2}} {4}} = \ left ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2}}.
Asymptotické expanze funkcí definovaných řadou
K určení asymptotických expanzí součtů a řad je nepochybně nejužitečnější formou součtového vzorce (pro celá čísla a a b ):
∑ne=nabF(ne)∼∫nabF(X) dX+F(na)+F(b)2+∑j=1∞B2j(2j)!(F(2j-1)(b)-F(2j-1)(na)){\ displaystyle \ sum _ {n = a} ^ {b} f (n) \ sim \ int _ {a} ^ {b} f (x) ~ {\ rm {d}} x + {\ frac {f (a) + f (b)} {2}} + \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \, {\ frac {B_ {2j}} {(2j)!}} \ vlevo (f ^ {(2j-1)} (b) -f ^ {(2j-1)} (a) \ vpravo)}
Tento vývoj často zůstává platný, i když vezmeme limity, když a → –∞ nebo b → + ∞ , nebo obojí. V mnoha případech lze pravý integrál vypočítat přesně pomocí elementárních funkcí, zatímco součet nikoli.
Předchozí psaní musí být interpretováno jako formální řada , protože tato řada se nejčastěji liší ; vzorec nelze obecně použít přímo v této formě. Euler si však již všiml, že jeden získal pozoruhodnou numerickou přesnost zkrácením vzorce na nejmenší člen řady, který byl upřesněn a vysvětlen prací Émile Borela .
Například :
∑k=0∞1(z+k)2⏟=ψ1(z)∼∫0∞1(z+X)2 dX⏟=1/z+12z2+∑j=1∞B2jz2j+1.{\ displaystyle \ underbrace {\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(z + k) ^ {2}}}} _ {= \ psi _ {1} (z) } \ sim \ underbrace {\ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(z + x) ^ {2}}} ~ {\ rm {d}} x} _ {= 1 / z} + {\ frac {1} {2z ^ {2}}} + \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2j}} {z ^ {2j + 1}}} . \,}
Zde je na levé straně se rovná , to znamená, že se funkce polygamma řádu 1 (také nazývaný trigamma funkce) definovanou od funkce Gamma : .
ψ1(z){\ displaystyle \ psi _ {1} (z)}ψ1(z)=d2dz2lnΓ(z)=∑k=0∞1(z+k)2{\ displaystyle \ psi _ {1} (z) = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} z ^ {2}}} \ ln \ gama (z) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(z + k) ^ {2}}}}
Vzorec vede Euler Maclaurin je k asymptotické rozšíření o , který umožňuje přesný odhad chyby v vzorce Stirling pro funkci Gamma:
ψ1(z){\ displaystyle \ psi _ {1} (z)}
lnΓ(z)=zlnz-z-12lnz+12ln(2π)+∑ne=1NEB2ne2ne(2ne-1)z2ne-1+RNE(z){\ displaystyle \ ln \ gama (z) = z \ ln zz - {\ frac {1} {2}} \ ln {z} + {\ frac {1} {2}} \ ln (2 \ pi) + \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {B_ {2n}} {2n (2n-1) z ^ {2n-1}}} + R_ {N} (z)}.
Γ(z)=2πz(zE)z(1+Ó(1z)).{\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {z}}} \, {\ left ({\ frac {z} {e}} \ right)} ^ {z} \ left (1 + O \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \ right).}
Poznámky
-
Cohena 2007 , str. 23. Vzorec se zbytkem je uveden v případě, více obecně, kde konce intervalu jsou reálná čísla A a + N , který se liší od přirozeného celé číslo N . Tento vzorec je zvláštním případem vzorce uvedeného na straně 22, kde jsou Bernoulliho čísla b j nahrazena hodnotami Bernoulliho polynomů na koncích a a b .Br(X-⌊X⌋){\ displaystyle B_ {r} (x- \ lfloor x \ rfloor)}
-
Dieudonné 1980 , s. 303. Podle Dieudonného stačí, že f připouští po částech spojitou derivaci (2 k + 1) -th.
-
Dieudonné 1980 , str. 301. Dieudonné označuje B k koeficienty .|b2k|{\ displaystyle | b_ {2k} |}
-
Cohen 2007 , s. 19 vydává tento nárůst Bernoulliho polynomů lichého indexu: .supt∈[0;1]|B2k+1(t)|⩽2π|b2k+2|2k+2{\ displaystyle \ sup _ {t \ v [0 \ ,; \, 1]} | B_ {2k + 1} (t) | \ leqslant {\ frac {2 \ pi | b_ {2k + 2} |} { 2k + 2}}}
-
Výsledkem je platný pro k = 0 tím, že hodnoty analytické pokračování funkce : .ζ{\ displaystyle \ zeta}ζ(0)=-12{\ displaystyle \ zeta (0) = - {\ frac {1} {2}}}
-
Bourbaki, FVR , str. VI.20, zvyšuje .|Rk|⩽4E2π(2π)2k+1∫pq|F(2k+1)(t)|dt{\ displaystyle | R_ {k} | \ leqslant {\ frac {4 \ mathrm {e} ^ {2 \ pi}} {(2 \ pi) ^ {2k + 1}}} \ int _ {p} ^ { q} \ left | f ^ {(2k + 1)} (t) \ right | \, \ mathrm {d} t}
-
Podle Bourbakiho, FVR , str. VI.26, stačí, aby f bylo 2 k + 1 krát diferencovatelné a že derivace řádu 2 k + 1 je monotónní.
-
Deheuvels 1980 , s. 189. Všimněte si, že v notaci Deheuvels jsou Bernoulliho čísla uvažována bez jejich znaménka ( ).B2k=|b2k|{\ displaystyle B_ {2k} = | b_ {2k} |}
Reference
-
„ Euler-MacLaurin Formula [sic] “ , na bibmath.net/dico .
-
Tenenbaum 2008 , s. 23.
-
Rombaldi 2005 , s. 527; Hardy 1949 , str. 325.
-
Deheuvels 1980 , s. 185-187 a str. 195.
-
Dieudonné 1980 , s. 304.
-
Cohen 2007 , s. 25.
-
Tenenbaum 2008 , s. 26.
-
Rombaldi 2005 , s. 330.
-
Deheuvels 1980 , str. 188.
-
Hardy 1949 , str. 318.
-
Hardy 1949 , str. 319.
-
Rombaldi 2005 , s. 328.
-
(in) David J. Pengelley , „Dances entre Continuous and Discrete Euler's Summation Formula “ v Robert Bradley and Ed Sandifer, Proceedings, Euler 2K + 2 Conference (Rumford, Maine, 2002) , Euler Society2003( číst online ).
-
Viz tuto přednášku F. Phama
Bibliografie
: dokument použitý jako zdroj pro tento článek.
-
N. Bourbaki , Prvky matematiky , Funkce reálné proměnné , kap. VI
-
(en) Henri Cohen , teorie čísel , sv. II: Analytické a moderní nástroje , Springer-Verlag ,2007
-
Paul Deheuvels , L'Intégrale , PUF , kol. "Matematika",1980
-
Jean-Pierre Demailly , Numerická analýza a diferenciální rovnice , University Press v Grenoblu
-
Jean Dieudonné , Calculus , Paris, Hermann ,1980
-
(en) GH Hardy , Divergent Series , OUP ,1949
-
Jean-Étienne Rombaldi, Interpolace a aproximace , Vuibert ,2005
-
Gérald Tenenbaum , Úvod do analytické a pravděpodobnostní teorie čísel , Belin ,2008