Egyptská část

Rhind papyrus (c. C. 1650), který je uložen v Britském muzeu v Londýně , je nejdůležitější dokument informující nás matematického poznání starověku. Obsahuje osmdesát čtyři řešených úloh aritmetiky , geometrie a zeměměřičství . Než se však Egypťan dozvěděl o těchto problémech, musel mít k dispozici různé tabulky, které mu umožňovaly přímý rozklad nejednotkových zlomků na jednotkové zlomky. Jedna z těchto tabulek, takzvaná tabulka „dvojitých zlomků“ nebo „2 / n“, se nachází na první pozici na Rhindově papyru. Uvádí seznam zlomků, jejichž čitatel je dva a jejichž jmenovatel n se pohybuje od tří do sto jedna, n lichý a uvádí jejich ekvivalent v součtu jednotkových zlomků.

Některé příklady rozkladu na jednotkové zlomky z tabulky dvou:

Tyto odlišné výsledky byly získány starými Egypťany použitím techniky dělení .

Příklad 2/5:

(1 + 2/3) + 1/3 = 2, takže výsledek je 1/3 + 1/15.

Papyrusův problém číslo dvacet čtyři je: Číslo přidané k jeho sedmé dává devatenáct, jaké je to číslo?

V moderní symbolické formě je odpověď triviální: x + x / 7 = 8x / 7 = 19 nebo x = 133/8.

Ale před 4000 lety nebyl ve skutečnosti vyvinut zlomkový počet a algebraická symbolika. Problém ve skutečnosti není v samotném rozlišení rovnice, ale v nastavení rovnice a obtížnosti příchodu, při absenci praktického algebraického přístupu, s jednoduchým tvarem ax = b.

K tomu používali Egypťané takzvanou metodu falešného umístění. Nazýváme tedy metodu algebraického rozlišení spočívající v poskytnutí přibližného (falešného) řešení vedoucího vhodným algoritmem využívajícím pozorované odchylky k řešení uvažovaného problému.

V našem příkladu je první myšlenka zbavit se obtěžujícího jmenovatele výběrem sedmi jako přibližného řešení (falešná poloha): písař získá osm při výpočtu počtu zvýšeného o jeho sedmý. Potom implicitně používá následující algoritmus (kde x '= 7 a c = 8):

Pokud ax = b a ax '= c, pak ax / ax' = b / c nebo x = x '(b / c)

To je přesně to, co se navrhuje v papyru: devatenáct dělíme osmi, což dává 2 + 1/4 + 1/8 a vynásobíme celek 7 = 1 + 2 + 4, což dává (2 + 1/4 + 1 / 8) + (4 + 1/2 + 1/4) + (9 + 1/2), tj. 16 + 1/2 + 1/8.

Středověká matematika

Notace v podobě egyptských zlomků byla používána během řeckého období a dokonce i ve středověku ( Struik 1967 ), a to navzdory stížnostem již v Ptolemaiově Almagestu na trapnost této notace ve srovnání s alternativními notacemi, jako je babylonská notace v základu šedesát .

Liber Abaci (1202) z Fibonacci obsahuje několik oddílů na matematiky souvisejících s egyptských frakcí. Nejznámější z nich je chamtivý algoritmus pro egyptské zlomky  (pro) pro výpočet egyptských zlomků opakovanou volbou jednotkového zlomku s nejmenším jmenovatelem, který není větší než zbývající zlomek při vývoji.

Někdy je chamtivý Fibonacciho algoritmus přičítán Sylvestrovi .

V Liber Abaci , Fibonacci také psal o vzestupné formě jednoho řetězový zlomek ,

X=1+1+1+⋯na3na2na1,{\ displaystyle x = {\ frac {\ displaystyle 1 + {\ frac {\ displaystyle 1 + {\ frac {\ displaystyle 1+ \ cdots} {\ displaystyle a_ {3}}}} {\ displaystyle a_ {2}} }} {\ displaystyle a_ {1}}},}

který lze přepsat jako egyptský vývoj:

X=1na1+1na1na2+1na1na2na3+⋯{\ displaystyle x = {\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ {2}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ { 2} a_ {3}}} + \ cdots}

Vývoj této formy, ve které se celá čísla a i zvyšují, se nazývá sériová expanze Engelu . Každé racionální číslo má konečnou expanzi Engel, zatímco iracionální čísla mají nekonečnou expanzi Engel.

Moderní teorie čísel

Moderní teoretici čísel studovali mnoho různých problémů souvisejících s egyptskými zlomky, včetně limitu délky nebo maximálního jmenovatele v reprezentacích egyptských zlomků, hledání překryvů nebo expanzí určitých zvláštních forem nebo ve kterých jsou všechny jmenovatele nějakého zvláštního typu, zastavení různé metody expanzí v egyptských zlomcích a ukázaly, že expanze existují pro jakýkoli dostatečně hustý soubor dostatečně hladkých čísel . Do této oblasti výzkumu přispěli známí matematici jako James Sylvester , Solomon Golomb , Wacław Sierpiński , Paul Erdős , Ernst G. Straus , Ronald Graham nebo Gérald Tenenbaum .

Algoritmy

Rozšíření v egyptské frakci lze dosáhnout díky různým algoritmům , které poskytnou různé, ale přesto platné výsledky. nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

Elementární metoda

Můžeme získat expanzi zlomku díky následující identitě: nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

1b=1(b+1)+1b(b+1){\ displaystyle {\ frac {1} {b}} = {\ frac {1} {(b + 1)}} + {\ frac {1} {b (b + 1)}}}

Následující rekurzivní algoritmus pak umožňuje zjistit vývoj hledal:

(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}

a=1{\displaystyle a=1}

ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}

1b{\displaystyle {\frac {1}{b}}}

(a−1b+1){\displaystyle \left({\frac {a-1}{b+1}}\right)}

(a−1b(b+1)){\displaystyle \left({\frac {a-1}{b(b+1)}}\right)}

Navrhovaný algoritmus končí, protože posloupnost čitatelů je posloupností striktně se zmenšujících celých čísel a zmenšených o 1. Algoritmus proto končí konečným počtem kroků. r{\ displaystyle r}

Na konci každého kroku je remíza mezi součtem egyptských zlomků a dalším zlomkem. Když algoritmus skončí, máme tedy rovnost a součet egyptských zlomků. Algoritmus je proto správný . nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

Chceme vývoj  : 316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Krok	Výsledek
0	316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}
1	116+(217+216×17){\ displaystyle {\ frac {1} {16}} + \ vlevo ({\ frac {2} {17}} + {\ frac {2} {16 \ krát 17}} \ vpravo)}
2	116+117+1272+(118+117×18)+(1273+1272×273){\ displaystyle {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {272}} + \ vlevo ({\ frac {1} {18}} + {\ frac {1} {17 \ krát 18}} \ doprava) + \ doleva ({\ frac {1} {273}} ​​+ {\ frac {1} {272 \ krát 273}} ​​\ doprava )}
Výstup	116+117+118+1272+1273+1306+174256{\ displaystyle {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {18}} + {\ frac {1} {272}} + {\ frac {1} {273}} ​​+ {\ frac {1} {306}} + {\ frac {1} {74256}}}

Algoritmus Fibonacci-Sylvester (chamtivý algoritmus)

Chceme získat rozšíření , můžeme k tomu použít následující chamtivý algoritmus : nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}

a=1 OU a=0{\displaystyle a=1~{\mathtt {OU}}~a=0}

ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}

n{\displaystyle n}

1ab=ba{\displaystyle {\frac {1}{\frac {a}{b}}}={\frac {b}{a}}}

n=⌈ba⌉{\displaystyle n=\left\lceil {\frac {b}{a}}\right\rceil }

1n{\displaystyle {\frac {1}{n}}}

(ab−1n){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}-{\frac {1}{n}}\right)}

Pokud v každém kroku zvolíme jmenovatele: místo toho získáme rozšíření řady Sylvester . ⌊b/na⌋+1{\ Displaystyle \ lfloor b / a \ rfloor +1}⌈b/na⌉{\ displaystyle \ lceil b / a \ rceil}

Máme rovnost s (kde označuje funkci stropu ). nab-1ne=nane-bbne{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} - {\ frac {1} {n}} = {\ frac {an-b} {bn}}}ne=⌈bna⌉{\ displaystyle n = \ left \ lceil {\ frac {b} {a}} \ right \ rceil}⌈ ⌉{\ displaystyle \ lceil ~ \ rceil}

Ale máme a proto . To znamená zjednodušení . Krok algoritmu proto vrací součet zlomku s čitatelem 1 a zlomku, jehož čitatelem je kladné celé číslo přísně menší než . Algoritmus proto končí konečným počtem kroků. bna<⌈bna⌉<bna+1{\ displaystyle {\ frac {b} {a}} <\ levý \ lceil {\ frac {b} {a}} \ pravý \ rceil <{\ frac {b} {a}} + 1}bna×na-b<⌈bna⌉×na-b<(bna+1)×na-b{\ displaystyle {\ frac {b} {a}} \ times ab <\ left \ lceil {\ frac {b} {a}} \ right \ rceil \ times ab <\ left ({\ frac {b} {a }} + 1 \ vpravo) \ krát ab}0<nane-b<na{\ displaystyle 0 <an-b <a}na{\ displaystyle a}

Na konci každého kroku jsme se rovnali a součtem egyptských zlomků se zřetelnými jmenovateli a dalším zlomkem. Když algoritmus skončí, máme tedy rovnost a součet egyptských zlomků. Algoritmus je proto správný . To prokázal Sylvester v roce 1880. nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

Výhody a nevýhody

Algoritmus Fibonacci dává expanzi, která může obsahovat velké jmenovatele, takže dává:

5121=125+1757+1763309+1873960180913+11527612795642093418846225,{\ displaystyle {\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {25}} + {\ frac {1} {757}} + {\ frac {1} {763309}} + {\ frac {1} {873960180913}} + {\ frac {1} {1527612795642093418846225}},}

spíše než :

5121=133+1121+1363{\ displaystyle {\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {33}} + {\ frac {1} {121}} + {\ frac {1} {363}}}.

Na druhou stranu, Fibonacciho algoritmus umožňuje snadno porovnat dvě zlomky v lexikografickém pořadí jejich egyptských expanzí.

Příklad

Chceme vývoj  : 316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Krok	Výsledek
0	316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}(s ) ⌈163⌉=6{\ displaystyle \ left \ lceil {\ frac {16} {3}} \ right \ rceil = 6}
1	16+(316-16){\ displaystyle {\ frac {1} {6}} + \ vlevo ({\ frac {3} {16}} - {\ frac {1} {6}} \ vpravo)}
Výsledek	16+148{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {48}}}

Golombův algoritmus

Chceme napsat zlomek jako součet egyptských zlomků. Bez ztráty všeobecnosti to můžeme předpokládat a jsou coprime . Bachet-Bézout teorém umožňuje tvrdit, že existují dvě přirozená čísla prime mezi nimi i takové, že a . Taková čísla lze získat pomocí rozšířeného euklidovského algoritmu . Rozdělením každého člena na dostaneme . nab<1{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <1}na{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}r{\ displaystyle r}s{\ displaystyle s}r<s<b{\ displaystyle r <s <b}nas=1+br{\ displaystyle as = 1 + br}bs{\ displaystyle bs}nab=1bs+rs{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {1} {bs}} + {\ frac {r} {s}}}

Algoritmus Golomb je následující rekurzivní algoritmus :

procédure Golomb(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)} Si a=1{\displaystyle a=1} : Renvoyer ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}} Sinon : Déterminer r{\displaystyle r} et s{\displaystyle s} tels que r<s<b{\displaystyle r<s<b} et as=1+br{\displaystyle as=1+br} Renvoyer 1bs{\displaystyle {\frac {1}{bs}}} + Golomb(rs){\displaystyle \left({\frac {r}{s}}\right)} fin-procédure Ukončení

Golombův algoritmus končí, protože posloupnost čitatelů je přísně se snižující posloupnost celých čísel a redukovaná o 1. Algoritmus je proto dokončen v konečném počtu kroků. r{\ displaystyle r}

Oprava

Na konci každého kroku je remíza mezi součtem egyptských zlomků a dalším zlomkem. Když algoritmus skončí, máme tedy rovnost a součet egyptských zlomků. Algoritmus je proto správný . nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

Teoretický důsledek

U každé frakce dochází k expanzi v egyptských zlomcích, jejichž jmenovatelé jsou menší nebo rovni . Jedná se zejména o vývoj získaný pomocí Golombova algoritmu. nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}b(b-1){\ displaystyle b (b-1)}

Příklad

Chceme vývoj  : 316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Krok	Výsledek
0	316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}
1	1176+211{\ displaystyle {\ frac {1} {176}} + {\ frac {2} {11}}}(s ) 3×11=2×16+1{\ displaystyle 3 \ krát 11 = 2 \ krát 16 + 1}
2	1176+166+16{\ displaystyle {\ frac {1} {176}} + {\ frac {1} {66}} + {\ frac {1} {6}}}(s ) 2×6=11×1+1{\ displaystyle 2 \ krát 6 = 11 \ krát 1 + 1}
Výsledek	16+166+1176{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {66}} + {\ frac {1} {176}}}

Erdősův a Bleicherův algoritmus

Erdős a Bleicher navrhli zavést produkt prvních k prvočísel jako výpočetní prostředník, protože se jedná o praktická čísla . Frakce, jejíž egyptský vývoj je hledán, již není, ale . Algoritmus, který navrhují, je pak: πk{\ displaystyle \ pi _ {k}}nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}naπkbπk{\ displaystyle {\ frac {a \ pi _ {k}} {b \ pi _ {k}}}}

procédure Erdős-Bleicher(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)} Déterminer k{\displaystyle k} tel que πk−1<b≤πk{\displaystyle \pi _{k-1}<b\leq \pi _{k}} Choisir un entier r{\displaystyle r} tel que πk(1−1k)≤r≤πk(2−1k){\displaystyle \pi _{k}\left(1-{\frac {1}{k}}\right)\leq r\leq \pi _{k}\left(2-{\frac {1}{k}}\right)} Déterminer l'entier s{\displaystyle s} tel que aπk=bs+r{\displaystyle a\pi _{k}=bs+r} Choisir une représentation de s{\displaystyle s} et r{\displaystyle r} comme sommes de diviseurs de respectivement πk{\displaystyle \pi _{k}} et bπk{\displaystyle b\pi _{k}} Renvoyer la somme des fractions simplifiées obtenues Teoretický důsledek

Možné výstupy tohoto algoritmu umožňují zvýšit největšího jmenovatele vývoje ( viz níže ).

Příklad

Chceme vývoj  : 316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Krok	Výsledek
0	2×3<16≤2×3×5{\ displaystyle 2 \ krát 3 <16 \ leq 2 \ krát 3 \ krát 5} proto k=3{\ displaystyle k = 3}
1	Vybíráme například ar=42{\ displaystyle r = 42}s=3{\ displaystyle s = 3}
2	My máme 316=3×3016×30=9016×30=3×1616×30+4216×30{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {3 \ krát 30} {16 \ krát 30}} = {\ frac {90} {16 \ krát 30}} = {\ frac {3 \ krát 16} {16 \ krát 30}} + {\ frac {42} {16 \ krát 30}}}
3	Píšeme 3×1616×30+32+1016×30{\ displaystyle {\ frac {3 \ krát 16} {16 \ krát 30}} + {\ frac {32 + 10} {16 \ krát 30}}}
Výsledek	Po zjednodušení 316=110+115+148{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {15}} + {\ frac {1} {48}}}

Případ, kdy je jmenovatel mocninou dvou

Je-li jmenovatel je síla 2 , najdeme rozvíjí díky binární reprezentace z (kde všichni 0 nebo 1). Výsledný vývoj je tedy . b{\ displaystyle b}nab=na2ne{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {a} {2 ^ {n}}}}na=nane-12ne-1+nane-12ne-1+⋯+na0{\ displaystyle a = a_ {n-1} 2 ^ {n-1} + a_ {n-1} 2 ^ {n-1} + \ tečky + a_ {0}}na0,...,nane-1{\ displaystyle a_ {0}, \ dots, a_ {n-1}}na2ne=na02ne-1+na12ne-2+⋯+nane-12{\ displaystyle {\ frac {a} {2 ^ {n}}} = {\ frac {a_ {0}} {2 ^ {n-1}}} + {\ frac {a_ {1}} {2 ^ {n-2}}} + \ dots + {\ frac {a_ {n-1}} {2}}}

Příklad

Chceme vývoj . Takže máme . 316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}3=21+20{\ displaystyle 3 = 2 ^ {1} + 2 ^ {0}}316=116+216=116+18{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {16}} + {\ frac {2} {16}} = {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {8}}}

aplikace

V případě, že jmenovatelem není síla dvou, můžeme předchozí algoritmus upravit určením vývoje, kde je nejmenší síla ze dvou větší než : nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}2k×na2k×b{\ displaystyle {\ frac {2 ^ {k} \ krát a} {2 ^ {k} \ krát b}}}2k{\ displaystyle 2 ^ {k}}b{\ displaystyle b}

procédure(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)} Déterminer l'entier k{\displaystyle k} tel que 2k−1<b≤2k{\displaystyle 2^{k-1}<b\leq 2^{k}} Écrire ab=2k×a2k×b=bs2k×b+2k×a−bs2k×b{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {2^{k}\times a}{2^{k}\times b}}={\frac {bs}{2^{k}\times b}}+{\frac {2^{k}\times a-bs}{2^{k}\times b}}} et tel que 2k×a−bs<2k{\displaystyle 2^{k}\times a-bs<2^{k}} Déterminer la décomposition binaire de s{\displaystyle s} et 2k×a−bs{\displaystyle 2^{k}\times a-bs} Simplifier les fractions des deux sommes et retourner le résultat fin-procédure

Pokud tedy chceme získat egyptský vývoj , vynásobíme čitatele a jmenovatele  : 25{\ displaystyle {\ frac {2} {5}}}8=23{\ displaystyle 8 = 2 ^ {3}}

25=2×85×8=1640=5×240+640=14+4+240=14+110+120{\ displaystyle {\ frac {2} {5}} = {\ frac {2 \ krát 8} {5 \ krát 8}} = {\ frac {16} {40}} = {\ frac {5 \ krát 2 } {40}} + {\ frac {6} {40}} = {\ frac {1} {4}} + {\ frac {4 + 2} {40}} = {\ frac {1} {4} } + {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {20}}}

U této metody je největší jmenovatel dosaženého vývoje menší než a počet termínů je v řádu termínů. b2{\ displaystyle b ^ {2}}log⁡b{\ displaystyle \ log b}

Srovnávací

Ve zlomku dají předchozí algoritmy následující egyptské expanze: 316{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Algoritmus	Výsledek
Elementární metoda	316=116+117+118+1272+1273+1306+174256{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {18}} + {\ frac {1} {272}} + {\ frac {1} {273}} ​​+ {\ frac {1} {306}} + {\ frac {1} {74256}}}
Fibonacciho algoritmus	316=16+148{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {48}}}
Golombův algoritmus	316=16+166+1176{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {66}} + {\ frac {1} {176}}}
Erdős-Bleicherův algoritmus	316=110+115+148{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {15}} + {\ frac {1} {48}}}
Binární rozklad	316=18+116{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {16}}}

Vlastnosti

Minimální velikost vývoje

Je možné, aby kterýkoli zlomek pomocí identity dosáhl tak velkého egyptského rozvoje, kolik chce . 1b=1(b+1)+1b(b+1){\ displaystyle {\ frac {1} {b}} = {\ frac {1} {(b + 1)}} + {\ frac {1} {b (b + 1)}}}

Algoritmy Fibonacci a Golomb poskytují expanzi, jejíž počet termínů se nanejvýš rovná čitateli počáteční frakce. Můžeme však být přesnější. Ve skutečnosti existuje pro každou frakci reprezentace s nejvýše termíny. nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}Ó(log⁡b){\ displaystyle O ({\ sqrt {\ log b}})}

Předpokládá se , že pro každé celé číslo a pro všechno lze zlomek zapsat jako součet egyptských zlomků, pokud je dostatečně velký. Byly předloženy další konkrétnější dohady. t≥3{\ displaystyle t \ geq 3}k>t{\ displaystyle k> t}nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}t{\ displaystyle t}b{\ displaystyle b}

Erdős-Straus a Sierpiński dohady

V roce 1948 , Paul Erdős a Ernst G. Straus se domníval, že pro jakékoli celé číslo , lze zapsat jako součet tří egyptských frakcíne>1{\ displaystyle n> 1}4/ne{\ displaystyle 4 / n}

4ne=1na+1b+1vs.{\ displaystyle {\ frac {4} {n}} = {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}}}.

Podobně wacław sierpiński se domníval, v roce 1956 , že pro jakýkoliv celek existují tři z nich přirozené , a jako jsou: ne>1{\ displaystyle n> 1}na{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs.{\ displaystyle c}

5ne=1na+1b+1vs.{\ displaystyle {\ frac {5} {n}} = {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}}}.

Ani jeden z těchto dvou domněnek nebyl dosud prokázán, i když existuje mnoho poměrně silných výsledků týkajících se zejména domněnky Erdős-Straus .

Největší jmenovatel

Majoror

Studiem vývoje poskytovaného Erdős-Bleicherovým algoritmem ( viz výše ) Yokota a Gérald Tenenbaum prokázali, že u každé frakce existuje egyptská expanze, jejíž největší jmenovatel je menší než . nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}4b(log⁡b)2log⁡(log⁡b){\ displaystyle 4b (\ log b) ^ {2} \ log (\ log b)}

Tento výsledek lze vylepšit. Jakýkoli zlomek má zastoupení v egyptských zlomcích, ve kterých je maximální jmenovatel omezen:nab{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

Ó(blog⁡blog⁡log⁡b){\ displaystyle O \ left ({\ frac {b \ log b} {\ log \ log b}} \ right)} Nezletilý

Pro egyptskou frakci, jejíž jmenovatelem je prvočíslo , je největší jmenovatel jakéhokoli egyptského vývoje větší než , podle věty zobrazené v roce 1976 Paulem Erdősem a Bleicherem. nap{\ displaystyle {\ frac {a} {p}}}nap{\ displaystyle {\ frac {a} {p}}}plog2⁡(p){\ displaystyle p \ log _ {2} (p)}

Kombinatorické problémy

• Erdős-Graham domněnka v kombinatorické teorie čísel stanoví, že pro jakékoli konečné rozdělení množině celých čísel větší než (nebo rovno) na dvě, jedna z částí, mohou být použity pro vytvoření egyptské expanzi číslo jedna. To znamená, že pro každé r > 0 a každé r -barvení celých čísel větších než dvě existuje konečná monochromatická podmnožina S těchto celých čísel taková, že: ∑ne∈S1/ne=1{\ displaystyle \ sum _ {n \ v S} 1 / n = 1}.Domněnku  demonstroval v roce 2000 Ernest S. Croot III (en) .

Vývoj omezen na konkrétní jmenovatele

• Čísla, která mohou být reprezentována součty egyptských zlomků, ve kterých jsou všichni jmenovatelé n - tou mocninou. Racionální číslo q lze konkrétně představovat jako součet egyptských zlomků se čtvercovými jmenovateli právě tehdy, je-li q umístěno v jednom ze dvou polootevřených intervalů: [0,π26-1[∪[1,π26[{\ displaystyle \ left [0, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - 1 \ pravý [\ cup \ left [1, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ že jo [}.

jiný

• Problém Znám  (in) úzce souvisí s existencí egyptského vývoje formy: ∑1Xi+∏1Xi=1{\ displaystyle \ sum {\ frac {1} {x_ {i}}} + \ prod {\ frac {1} {x_ {i}}} = 1}.
• Jakékoli racionální číslo má velmi husté expanze, přičemž používá dostatečně konstantní podíl jmenovatelů až N pro dostatečně velké N.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „  Egyptská část  “ ( viz seznam autorů ) .

Poznámky

1. Algoritmus vyvinutý později v článku ( viz níže ).
2. V celé části předpokládáme .0<na<b{\ displaystyle 0 <a <b}
3. Identita poskytuje analogický algoritmus .1b=12b+13b+16b{\ displaystyle {\ frac {1} {b}} = {\ frac {1} {2b}} + {\ frac {1} {3b}} + {\ frac {1} {6b}}}
4. Mohli jsme také zvolit r = 26 a s = 4
5. Tento algoritmus nenabízí jedinečný vývoj, na rozdíl od ostatních navržených v článku.
6. ( viz výše ).
7. Na rozdíl od egyptského vývoje nejsou čísla a, b a c nutně úplně odlišná.

Reference

1. Michel 2014 , s.  91-106.
2. (in) P. Erdős a RL Graham , „  Staré a nové problémy a výsledky v kombinatorické teorii čísel  “ , Enseign. Matematika. , sv.  28,1980, str.  30-44 ( číst online ).
3. Pascal Boyer, Malý společník čísel a jejich aplikací , Paris, Calvage a Mounet,2019, 648  s. ( ISBN  978-2-916352-75-6 ) , I - Aritmetika ℤ, kap.  2.3. („Egyptian Fractions“), s.  24-28
4. http://publimath.irem.univ-mrs.fr/glossaire/AL070.htm
5. (in) Solomon W. Golomb , „  Algoritmus pro algebraickou reprezentaci problémů Ahmose Papyrus  “ , Amer. Matematika. Měsíčně , sv.  69,1962, str.  785-787.
6. ( Vose 1985 )
7. ( Tenenbaum a Yokota 1990 ).
8. ( Graham 1964 ).
9. ( Martin 1999 ).

Uvedená díla

• (en) T. Takenouchi , „  Na neurčitou rovnici  “ , Proc. Fyzikálně-matematická soc. Japonska , řada 3 E , sv.  3,1921, str.  78-92
• (en) RL Graham , „  O konečných součtech převrácených hodnot z n- tých mocností  “ , Pacific J. Math. , sv.  14, n o  1,1964, str.  85-92 ( číst online )
• (en) Truman Botts , „  Proces řetězové reakce v teorii čísel  “ , Mathematics Magazine ,1967, str.  55-65
• (en) Dirk J. Struik , Stručná historie matematiky , New York, Dover ,1967, 228  s. ( ISBN  0-486-60255-9 , číst online ) , s.  20-25
• (en) M. Vose , „  Egyptské frakce  “ , Bull. London Math. Soc. , sv.  17,1985, str.  21
• (en) G. Tenenbaum a H. Yokota , „  Délka a jmenovatelé egyptských zlomků  “ , J. Theory Number , sv.  35,1990, str.  150-156
• (en) Stan Wagon , Mathematica v akci , WH Freeman,1991, str.  271-277
• (en) L. Beeckmans , „  Algoritmus rozdělení egyptských zlomků  “ , J. Number Theor. , sv.  43,1993, str.  173-185
• (en) Greg Martin, „  Husté egyptské frakce  “ , Trans. Hořký. Matematika. Soc. , sv.  351,1999, str.  3641-3657
• Marianne Michel , Matematika starověkého Egypta. Číslování, metrologie, aritmetika, geometrie a další problémy , Brusel, Safran ,2014, 604  s. ( ISBN  978-2-87457-040-7 ).
• Pascal Boyer, Malý společník čísel a jejich aplikací , Paříž, Calvage a Mounet,2019, 648  s. ( ISBN  978-2-916352-75-6 )

Externí odkaz

(en) Ron Knott, „  Egyptian Fractions  “ ,2017

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">