Binární systém (z latinského binārĭus , „double“) je počet systém pomocí základny 2 . Číslice pozičního binárního čísla se běžně nazývají bit (z anglické binární číslice nebo „binární číslice“) . Bit může nabývat dvou hodnot, označených konvencí 0 a 1 .
Binární systém je užitečný pro reprezentaci provozu digitální elektroniky používané v počítačích . Proto je používán nízkoúrovňovými programovacími jazyky .
Nejběžnějším binárním systémem je matematická základna dvě , která umožňuje reprezentaci čísel pomocí místního číslování pouze se dvěma číslicemi: 0 a 1.
V tomto typu kódování je každé číslo jedinečně reprezentováno uspořádanou posloupností číslic . A každá pozice m představuje mocninu ( m - 1) základny . Pokud se zpočátku omezíme na kladná celá čísla , v základu deset jsou tyto síly: jedna (1), deset (reprezentováno 10), sto (desetkrát deset, reprezentováno 100), tisíc (desetkrát sto, reprezentováno 1000), deset tisíc atd. V základu dva jsou tyto pravomoci: jedna (1), dvě (také reprezentována 10), čtyři (dvakrát dva, reprezentované 100), osm (dvakrát čtyři, reprezentované 1000), šestnáct (dvakrát osm, zastoupeny 10 000) atd.
Vidíme, že význam reprezentací 10, 100, 1000 atd. záleží na použité základně: 10 se vždy rovná základně, to znamená deset v základu deset, ale dva v základu dva.
V základu deset se používá deset číslic, od nuly do devíti; v základu n používáme n číslic, od nuly do n - 1; proto v základu dva používáme dvě číslice „0“ a „1“.
Lze analyzovat číslo, které je vyjádřeno v základně B čtyřmi číslicemi 1101:
, který dává:
1101 v základně B = 10: | |||||
1101 v základně B = 8: | |||||
1101 v základně B = 2: |
První čísla a číslice základny 10 jsou zapsány:
desetinný | binární | Poznámka |
---|---|---|
0 | 0 | nula |
1 | 1 | un = základní výkon nula (platí pro všechny základny, tedy dvě a deset) |
2 | 10 | two = two to the power of one (a zero behind the 1) |
3 | 11 | |
4 | 100 | čtyři = dva k síle dvou (dvě nuly za 1) |
5 | 101 | |
6 | 110 | |
7 | 111 | |
8 | 1000 | osm = dva na sílu tří (tři nuly za 1) |
9 | 1001 |
Každému bitu dáme mocninu dvou, jako je tato sekvence 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. K získání čísla 7 přidáme první tři bity; abychom dostali 6, přidáme pouze bit o hmotnosti 4 a bit o hmotnosti 2.
Techniky čtyř základních operací (sčítání, odčítání, násobení a dělení) zůstávají přesně stejné jako v desítkové notaci; jsou jen drasticky zjednodušeny, protože existují pouze dvě číslice 0 a 1. Například pro násobení, ať už je základ jakýkoli, násobení 10 (tj. základem samotným) se provádí přidáním nuly doprava.
Jediné změny, které na jedné straně mění formu posloupnosti číslic, která vyjadřuje výsledek (počítá pouze nuly a jednu), na druhé straně význam této posloupnosti (10 znamená „dva“ a ne „deset“, 100 znamená „čtyři“, nikoli „sto“ atd.).
Sčítání a odčítáníPřecházíme z jednoho binárního čísla na další přidáním 1, jako v desítkové soustavě, aniž bychom zapomněli na blokování a pomocí běžné tabulky (ale redukované na nejjednodušší výraz):
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 avec 1 retenue 0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 avec 1 retenue 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0Je vidět, že součet dvou bitů A a B dává A XOR B s přenosem rovným A AND B.
Tak :
11 + 1 ____ 100Detail :
1 + 1 = 10 => on pose 0 et on retient 1 1 + 1(retenue) = 10 => on pose 0 et on retient 1 0 + 1(retenue) = 1 => on pose 1 devant 00Vynásobení dvěma se provede posunutím každé číslice o jeden krok doleva a vložením nuly na konec.
Například dvakrát jedenáct:
Celé dělení dvěma se provádí posunutím každé číslice o jeden krok doprava, přičemž správná číslice je zbytek odstraněna.
Například jedenáct děleno dvěma:
Binární aritmetiku (jednodušeji binární výpočet) používají nejběžnější elektronické systémy (kalkulačky, počítače atd.), Protože dvě číslice 0 a 1 se tam odrážejí napětím nebo průchodem proudu. Například 0 může být reprezentováno nízkým stavem (nulové napětí nebo proud) a 1 vysokým stavem (napětí, které existuje, proud, který teče).
K dokončení reprezentace celých čísel je nutné umět psát záporná celá čísla . Existují dvě reprezentace, jeden doplněk a dva doplněk.
Doplněk k aToto kódování spočívá v převrácení hodnoty každého bitu.
Například získat −7:
Vadou tohoto systému je, že nula má dvě reprezentace: 0000 a 1111 („+0“ a „−0“). Není používán současnými počítači, ale byl používán staršími počítači, jako je Control Data 6600 . Dvě reprezentace nuly komplikují testovací obvody.
Doplněk pro dvaDvojkový doplněk spočívá v provedení něčího doplňku a přidání 1.
Například k získání −7:
Výhodou tohoto kódování je, že nevyžaduje speciální rozlišení kladných a záporných čísel, a zejména se vyhne problému dvojitého znázornění nuly.
Zde je přídavek −7 a +9 provedený jako 4bitový doplněk dvou:
-7 1001 +9 1001 __ ____ 2 (1) 0010 (on « ignore » la retenue)S n bity tento systém umožňuje reprezentovat čísla mezi −2 n −1 a 2 n −1 - 1.
Základny 8 (osmičkové) a 16 (hexadecimální) jsou výkonové základny základny 2. Tyto dvě základny se běžně používají při zpracování dat az praktických důvodů; tyto základny jsou silně spojeny se základnou 2 a čísla zapsaná v těchto základnách jsou více „manipulovatelná“ (kvůli kratšímu psaní) lidským intelektem. Zápis čísel do těchto základen lze snadno dosáhnout seskupením číslic od zápisu čísla do základny 2.
Tento princip bychom mohli snadno rozšířit na všechny základny, které jsou mocninami 2.
Na binárníPostačuje převést hodnotu každé z číslic v binární podobě pomocí počtu číslic odpovídajících síle základny: 16 = 2 4 , 8 = 2 3 , tedy 4 číslice pro hexadecimální a 3 pro osmičkové:
|
|
Šedý kód, nazývaný také odražený binární, umožňuje změnit pouze jeden bit v době, kdy je číslo zvýšeno nebo sníženo o jednu. Název kódu pochází od amerického inženýra Franka Graye , který na tento kód podal patent v roce 1947.
Chcete-li přímo vypočítat šedý kód celého čísla z kódu jeho předchůdce, můžeme postupovat následovně:
Aby bylo možné sladit binární logiku počítače s lidskou logikou, lze ji převést na binární, nikoli na samotná čísla, přičemž každá z číslic, která je skládají, v desítkové poziční notaci. Každá z těchto číslic je poté kódována na 4 bity:
1994 = 0001 1001 1001 0100 1×1000 + 9×100 + 9×10 + 4×1S n bity (n násobkem 4) je možné reprezentovat čísla mezi 0 a 10 n / 4 -1. To znamená přibližně mezi 0 a 1,778 n -1. DCB je redundantní kód, některé kombinace se skutečně nepoužívají (například 1111).
Toto znázornění se konstrukcí vyhne všem problémům s akumulací zaokrouhlování, které by se vyskytly při manipulaci s velkým počtem přesahujícím velikost obvodů v celočíselné aritmetice, a zavazuje se uchýlit se k plováku. Je však možné manipulovat s čísly s libovolnou přesností pomocí efektivnějšího kódování než DCB.
Existují varianty kódování DCB:
V teorii informace je entropie zdroje informací vyjádřena v bitech . Samotná teorie je lhostejná k reprezentaci veličin, které používá.
Klasická logika je bivalentní logika: a problém je buď pravdivý nebo nepravdivý. Je proto možné reprezentovat pravdivost tvrzení binárním číslem. Například můžeme modelovat operace binární aritmetiky pomocí booleovské algebry .
Booleova algebra představuje velmi konkrétní případ použití pravděpodobností zahrnujících pouze jediné pravdivostní hodnoty 0 a 1. Viz Cox-Jaynesova věta .
Binární soubor se používá při zpracování dat, protože umožňuje modelovat provoz spínacích komponent, jako je TTL nebo CMOS . Přítomnost prahového napětí napříč tranzistory, zanedbávající přesnou hodnotu tohoto napětí, bude představovat 0 nebo 1. Například číslo 0 bude použito k označení nepřítomnosti napětí do 0,5 V a číslo 1 k označení jeho přítomnost více než 0,5 V . Toto rozpětí tolerance umožňuje posunout rychlosti mikroprocesorů na hodnoty dosahující několika gigahertzů .
V počítačové vědě umožňuje binární reprezentace jasně manipulovat s bity : každá binární číslice odpovídá bitu. Jelikož však binární reprezentace vyžaduje použití mnoha číslic (i pro poměrně malá čísla), vede to k významným problémům s čitelností, a tudíž k rizikům chyb transkripce pro programátory. Preferovány jsou proto jiné reprezentace : hexadecimální notace, která umožňuje manipulovat s informacemi v 4bitových paketech, je vhodná pro téměř všechny současné mikroprocesory pracující se slovy 8, 16, 32 nebo 64 bitů; vzácnější, skórující osmičkový , oblíbený čas prvních minipočítačů DEC na 12 nebo 36 bitů, což může představovat informace v balení po 3 bitech.