Hemikontinuita

V matematice , obě duální topologické pojmy z horního hemicontinuity a dolní hemicontinuity umožňují rozšířit pojem kontinuity části funkcí na multifunctions . Ve funkční analýze jiný typ hemicontinuity je definován pro operátory jednoho Banachova prostoru v jeho topologické dvojí , a zejména pro provozovatele a Hilbertova prostoru v sobě.

Definice

Nechť A a B dva topologické prostory , Γ vícehodnotový funkce - nebo „fit“ - z A do B , to znamená, je realizace z A do množiny podmnožin B a má bodovou A .

Říká se korespondence Γ

hemicontinues superiorly in a ifpro všechny otevřené V, obsahujícím y ( ), existuje sousedství U o tak, že V obsahuje y ( x ) pro všechna x z U ;
hemicontinuous inferiorly in a ifpro všechny otevřené V, který splňuje y ( ), existuje sousedství U o tak, že V splňuje y ( x ) pro všechna x z U ;
Kontinuální má, pokud je v hémicontinue, má jak nahoře, tak i dole;
se zavřenými hodnotami (resp. kompaktní, resp. kvazikompaktní), pokud jsou všechny Γ ( a ) uzavřené (resp. kompaktní , resp. kvazikompaktní ).

Graf gama je množina

{\ displaystyle {\ rm {Gr}} (\ Gamma): = \ {(a, b) \ v A \ krát B \ mid b \ v \ Gamma (a) \}.}

Samozřejmě, Γ je prý hémicontinue superiorly a inferiorly hémicontinue nebo pokračuje při východu v každém bodě A .

Příklady

Jakákoli konstantní korespondence je spojitá (takže je snadné vytvořit spojitou korespondenci kompaktu sama o sobě as neuzavřenými hodnotami).
Korespondence ℝ v ℝ definovaná Γ ( x ) = {0} je-li x ≤ 0 a Γ ( x ) = [0, 1] je-li x > 0 (varianta, která je uvedena naproti), je nižší polokontinuální, ale ne vyšší , protože má uzavřené hodnoty, ale jeho graf není uzavřený ( viz § „Věta o uzavřeném grafu“ níže ). Příměji: není to polokontinuální nad bodem 0, protože otevřený] –1, 1 [obsahuje Γ (0), ale neobsahuje Γ ( x ), pokud x > 0.
To je definováno pomocí Γ ( x ) = {0} pokud x <0 a Γ ( x ) = [0, 1] pokud x ≥ 0 (jehož varianta je uvedena níže ) je horní polovina spojitá, ale ne dolní polovina -kontinuální v bodě 0, protože otevřený] 0, 1 [splňuje Γ (0), ale nesplňuje Γ ( x ), pokud x <0.
Pokud jsou všechna Γ ( a ) singletony , jinými slovy pokud Γ ( a ) = { f ( a )} pro nějakou mapu f z A do B :
- Γ je nadřazeně polokontinuální právě tehdy, je-li horší a tato kontinuita korespondence Γ je ekvivalentní kontinuitě mapy f .
- graf korespondence Γ je stejný jako graf mapy f (je tedy snadné vytvořit korespondenci ℝ v ℝ, s kompaktními hodnotami a uzavřeného grafu, které nejsou polokontinuální ani nahoře ani dole).

Vlastnosti

Charakterizace

Γ je nadstandardně polokontinuální právě tehdypro libovolné otevřené V z B je množina bodů x taková, že V ( x ) je zahrnuta do V, je otevřená Anebopro všechny uzavřené F na B je množina bodů X tak, že Γ ( x ) splňuje F je uzavřený .
Γ je horší polokontinuální právě tehdypro libovolné otevřené V z B je množina bodů x taková, že Γ ( x ) splňuje V, je otevřená Anebopro všechny uzavřené F na B je množina bodů X tak, že Γ ( x ) je součástí F je uzavřený A .

Zejména :

množina x, pro kterou Γ ( x ) není neprázdná, je uzavřena v prvním případě a otevřena ve druhém;
je-li graf Γ otevřený, pak Γ je nižší polokontinuální (protože pro libovolný bod y z B je množina x taková, že y ∈ Γ ( x ) je otevřená). Konverzace je nepravdivá, ale pokud Γ je nižší polokontinuální a pokud d je spojitá odchylka od B, pak pro všechna r > 0 je otevřený graf následující korespondence: x ↦ { y ∈ B | d ( y , Γ ( x )) < r } (s, podle konvence, d ( y , ∅) = $+ \infty$ ).

Operace

Za určitých předpokladů nebo omezení je semikontinuita zachována obvyklými operacemi.

Horní nebo dolní polokontinuita je zachována složením , zejména omezením .
Γ je polokontinuální pod bodem a tehdy a jen tehdy, je -li jeho uzavření Γ : x ↦ Γ ( x ) .
Když B je normální , je-li Γ polokontinuální nad bodem a , pak je také Γ .
Když B je lokálně konvexní prostor :
- je-li Γ pod bodem a polokontinuální, pak je jeho konvexní obálka co (Γ): x ↦ co (Γ ( x )) také;
- jestliže Γ je polokontinuální nad bodem a a pokud je uzavřená konvexní obálka co (Γ ( a )) kompaktní, pak co (Γ) a co (Γ) jsou také polokontinuální nad bodem a .
Dolní hemikontinuita je zachována libovolnými odbory a horní hemikontinuita je zachována konečnými odbory.
Horní hemikontinuita je zachována konečnými křižovatkami , ale ne dolní hemikontinuita. Nižší polokontinuita je však zachována protínáním s libovolnou otevřenou shodou grafů.
Vlastnost být nadstandardně polokontinuální a s kvazi-kompaktními (nebo kompaktními) hodnotami je zachována u všech produktů a nižší polokontinuita je zachována u hotových produktů.

Věta o uzavřeném grafu

Kompaktnost nebo uzavírací vlastnosti grafu jsou úzce spojeny s horní polokontinuitou.

Můžeme nejprve zobecnit klasickou větu na spojitý obraz kompaktu :

Pokud Γ: A → B je nadstandardně polokontinuální a s kvazi-kompaktními hodnotami a pokud A je kvazi-kompaktní, pak je graf Γ kvazi-kompaktní (spojení Γ ( a ) také).

Jakákoli korespondence, pro kterou je graf uzavřen, má zjevně uzavřené hodnoty. Horní polokontinuita zajišťuje reciproční - analogii vlastnosti spojitých funkcí s hodnotami v samostatném prostoru - a naopak uzavření grafu zajišťuje horní polokontinuitu za předpokladu kompaktnosti:

Nechť Γ: A → B je korespondence.

Pokud Γ je hémicontinue superiorly a uzavřené hodnoty, a pokud B je pravidelný , pak graf Γ je uzavřen v A x B .
Pokud je graf Γ uzavřen a je- li B kvazi-kompaktní, pak Γ je vyšší polokontinuální.

Demonstrace

Předpokládejme, že Γ je nadstandardně polokontinuální a má kvazi-kompaktní hodnoty a že A je kvazi-kompaktní.
- Setkání K gama ( a ), je téměř kompaktní buď ( U i ) i ∈ I otevřený krytina z K . Každý kvazi-kompaktní Γ ( ) je zakryta konečných podskupiny ( U i ) i ∈ I , ze kterých se bude znamenají O v odboru. Kvazi-kompaktní se vztahuje otevřené O má tedy konečná podčeleď ( O ‚y ) má ∈ F . Setkání J o I má při procházení F je pak dokončen, a ( U i ) i ∈ J kryty K .
- Samotný graf Γ je kvazikompaktní: je to spojení Δ ( a ), kde Δ je korespondence A v A × B definovaná Δ ( a ) = { a } × Γ ( a ).
Předpokládejme, že Γ je nadstandardně polokontinuální a má uzavřené hodnoty a že B je pravidelné a ukážeme, že doplněk Gr (Γ) je otevřený, to znamená sousedství všech jeho bodů. Nechť ( a , b ) ∉ Gr (Γ); v B existují dva nesouvislé otvory, V obsahující uzavřené closed ( a ) a W obsahující bod b . Otevřené V obsahuje Γ ( a ) proto obsahuje Γ ( x ) pro všechna x určitého otevřeného U obsahujícího a . Otevřený U × W , který obsahuje ( a , b ), je potom disjunktní od Gr (Γ).
Předpokládejme, že Gr (Γ) je uzavřený a že B je kvazi kompaktní. Pak Γ je hémicontinue Dokonale, protože pro každou uzavřenou F do B , množiny G o x tak, že Γ ( x ) splňuje F je uzavřen v A . Ve skutečnosti je projekce A × B na A uzavřenou mapou a G je obrazem této projekce uzavřené ( A × F ) ∩Gr (Γ).

Můžeme odvodit:

Věta - Pokud B je kompaktní, graf Γ: A → B je uzavřený právě tehdy, když Γ je nadstandardně polokontinuální a se uzavřenými hodnotami.

Sekvenční charakterizace

Výše uvedené definice a vlastnosti jsou čistě topologické, ale většina autorů se omezily na případ metrických prostorů (typicky: díly z euklidovských prostorů ).

V této části předpokládáme, že A a B jsou měřitelné .

Graf je poté uzavřen tehdy a jen tehdy, je-li uzavřen postupně , tj. Pokud pro všechny konvergentní sekvence a n → a v A a b n → b v B takové, že b n ∈ Γ ( a n ), máme b ∈ Γ ( a ).

Stejný princip poskytuje charakterizaci hemikontinuity z hlediska sekvencí:

Korespondence Γ: A → B je

nadstandardně polokontinuální a s kompaktními hodnotami tehdy a jen tehdy, když pro všechny sekvence a n → a v A a b n ∈ Γ ( a n ) má sekvence ( b n ) hodnotu adherence v Γ ( a );
inferiorly semicontinuous if and only if, for any sequence a n → a in A and all b ∈ Γ ( a ) there there is a subsection ( a n k ) of ( a n ) and b k ∈ Γ ( a n k ) such že b k → b .

Demonstrace

:
- ⇒: Předpokládejme, že Γ je nadstandardně polokontinuální a má kompaktní hodnoty a že a n → a a b n ∈ Γ ( a n ). Bez újmy na obecnosti , jedinými prvky A jsou n a . Podle vlastnosti předchozího odstavce je graf Γ potom kompaktní, proto v tomto grafu má posloupnost ( a n , b n ) hodnotu adheze ( c , b ) a c = a tedy b ∈ Γ ( a ).
- ⇐: Předpokládejme, že je ověřen stav sekvencí.
  - hemicontinuity nechť f uzavřený B a G množina bodů x tak, že Γ ( x ) splňuje F . Ukázat, že G je uzavřena, zkontrolujte, zda je pro každou sekvenci ( n ) s hodnotami v G , který konverguje v A , limit je až G . K tomu, vybrat pro každou přirozené číslo n a b n ∈ y ( n ) ∩ F . Jakákoliv hodnota adhezního ( b n ), potom pro F a tam se předpokládá, že v y ( ), tak v ∈ G .
  - kompaktní hodnoty: pro jakýkoli bod A z A , Γ ( ) je countably kompaktní a tedy kompaktní .
:
- ⇒: Předpokládejme, že Γ je nižší polokontinuální a a n → a , a opravíme b ∈ Γ ( a ). Pro libovolné celé číslo k > 0 se koule B ( b , 1 / k ) setká s Γ ( x ) pro libovolné x dostatečně blízko k a , proto se setká s Γ ( a n ) pro jakékoli n větší než určité n k . Volbou navíc ( n k ) striktně rostoucího, tedy konstruujeme subsekvenci ( a n k ) z ( a n ) a b k ∈ Γ ( a n k ) ∩ B ( b , 1 / k ).
- ⇐ podle contraposed , předpokládejme, že Γ není semikontinuální pod bodem A a stavíme sekvenci z n → , které nesplňují podmínku. Nechť V otevření, který splňuje y ( ) do B , ale tak, že jakýkoli koule B ( , 1 / n ) obsahuje s n , jejíž obraz nesplňuje V . Poté, pro každou subsekvencí ( n K ) z ( n ) a všechny b k ∈ y ( n k ), sekvence ( b k ) má hodnoty v komplementu sousedství V části B , tak počet ne konverguje ne b .

Topologie na všech částech

Pokud je B metrizovatelné, Γ: A → B s neprázdnými kompaktními hodnotami je spojitá jako korespondence právě tehdy, když je spojitá jako hodnotné mapování v sadě neprázdných kompaktů B , vybavených vzdáleností od Hausdorff .

Existují také topologie na množině částí B, které charakterizují horní a dolní polokontinuitu.

Funkční analýza

Nechť je Banachův prostor a jeho topologický dual . Pro a nastavíme: $PROTI$ ${\ displaystyle V ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle x \ ve V}$ ${\ displaystyle x ^ {\ prime} \ ve V ^ {\ prime}}$

{\ displaystyle \ langle x ^ {\ prime}, x \ rangle: = x ^ {\ prime} (x)}

Operátor (ne nutně lineární) z in se říká, že je polokontinuální, pokud jsou jeho omezení na segmenty spojitá v slabém * , tj. Pokud pro všechny , mapa $NA$ $PROTI$ ${\ displaystyle V ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle V ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle (x, y, z) \ ve V ^ {3}}$

{\ displaystyle [0,1] \ to \ mathbb {R}: t \ mapsto \ langle A (x + ty), z \ rangle}

je spojitý.

Provozovatel Hilbertova prostoru sám o sobě

Obzvláště operátor Hilbertova prostoru sám o sobě (kanonicky identifikovaný s ) je polokontinuální právě tehdy, když pro všechny , mapa $NA$ $H$ $H '$ ${\ displaystyle (x, y, z) \ v H ^ {3}}$

{\ displaystyle [0,1] \ to \ mathbb {R}: t \ mapsto \ langle A (x + ty), z \ rangle}

je spojitý, kde 〈·, ·〉 označuje tečkový součin . $H$

Poznámky a odkazy

Nebo pro jakékoli sousedství V z Γ ( a ) .
Nebo otevřené U obsahující a .
(en) Charalambos D. Aliprantis a Kim C. Border, Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce , Springer ,2007, 3 e ed. ( 1 st ed. 1994), 703 str. ( ISBN 978-3-540-32696-0 , číst online ) , kap. 17 („Korespondence“).
counterexample zajišťují dvě kontinuální map od A do bodu B , takže v množině bodů, kde splývají není otevřen.
(in) George Xian-Zhi Yuan , The Study of Minimax Nerovnosti a aplikace v ekonomii a Variační nerovnosti , AMS , al. „Monografie Americké matematické společnosti“ ( n o 625)1998( číst online ) , s. 26, Věta 1.7.
(in) Anton Badev a Matthew Hoelle, „ Korespondence “ , s. 1 5 .
(in) Efe A. Ok , Elements of Order Theory ( číst online ) , „Dodatek: Primer v topologických prostorech“ , s. 1. 22, prop. 1.7.7.
Nebo dokonce jen T 3 .
Zobrazeno v (in) Efe A. Ok , Real Analysis with Applications Economics , PUP ,2007, 802 s. ( ISBN 978-0-691-11768-3 , číst online ) , kap. E („Kontinuita II“) , s. 287-305 v konkrétním případě metrických prostorů.
Pokud někdy nahradit pojem sady se tím, že ze všeobecného sady , jako Aliprantis a hranice 2007 .
Stačilo by předpokládat, že mají spočítatelné základny sousedství a oddělené .
(in) Angel de la Fuente , Matematické metody a modely pro ekonomy , UPC ,2000, 835 s. ( ISBN 978-0-521-58529-3 , číst online ) , s. 108-114.
(in) Erwin Klein a Anthony C. Thompson , Theory of Correspondences: Including Applications to Mathematical Economics , John Wiley & Sons ,1984.
V případě, že V je reflexivní Banachův prostor (identifikovatelný podle jeho dvojného čísla), slabá a slabá * topologie jsou stejné.
Brezis 1966 .

Podívejte se také

Související články

externí odkazy

(en) Guillermo Ordoñez, „ Notes on Upper Hemi-kontinuity “ , o Penn Arts & Sciences ,2006.
(en) Tigran A. Melkonyan, „ Úvod do funkcí, sekvencí, metrických a topologických prostorů, kontinuity, polokontinuity a polokontinuity “ na Nevadské univerzitě v Renu ,2007.
(en) Chris Shannon, „ Economics 204 / Lecture 7 “ , na UC Berkeley , archiv ekonomického laboratorního softwaru ,srpna 2011.

Bibliografie

(en) Jean-Pierre Aubin a Arrigo Cellina, Diferenciální inkluze, mapy s hodnotami a teorie životaschopnosti , Grundl. der Math. Wiss. , let. 264, Springer, 1984.
(en) Jean-Pierre Aubin a Hélène Frankowska , analýza hodnot , Basel, Birkhäuser,1990( číst online ).
Claude Berge , Espaces topologiques, functions multivoques , 1959 - (en) Topologické prostory: Včetně zpracování vícehodnotových funkcí, vektorové prostory a konvexita , kap. VI v Knihách Google .
Haïm R. Brezis , „ Monotónní operátoři “, Choquet Seminar - Initiation to Analysis , t. 5, n O 2 (1965-1966),1966, Článek n o 10 ( číst on-line ).
(en) Klaus Deimling, Multaluued Differential Equations , Walter de Gruyter , 1992 [ číst online ]
(en) Andreu Mas-Colell , Michael D. Whinston a Jerry R. Green, Microeconomic Theory , OUP , 1995, str. 949-951 .
(en) Ernest Michael (en) , „Continuous selections“ , v Klaus P. Hart, Jun-iti Nagata a Jerry E. Vaughan, Encyclopedia of General Topology , Elsevier,2004( ISBN 978-0-08053086-4 , číst online ) , s. 107-109.
(en) Hôǹg Thái Nguyêñ , M. Juniewicz a J. Ziemińska , „ CM - Selektory pro páry opačně polokontinuálních multifunkcí a některé aplikace pro silně nelineární inkluze “ , Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen , sv. 19, n o 22000, str. 381-393 ( číst online ).