V matematice , a zejména v algebře , je ideál pozoruhodná podmnožina prstenu : je to podskupina aditivní skupiny prstenu a která je navíc stabilní násobením prvky prstenu. V některých ohledech jsou proto ideály podobné vektorovým podprostorům - což jsou aditivní podskupiny stabilní vnějším množením ; v ostatních ohledech se chovají jako rozlišující podskupiny - jsou to aditivní podskupiny, ze kterých lze sestavit kvocientovou kruhovou strukturu .
Se objevil na konci XIX th století v algebraické teorie čísel zobecnit algebraických celá čísla na prvočísla v rozkladu z celku , ideály byly rychle hrál klíčovou roli v algebře a algebraické geometrii , a to zejména v důsledku tovární Emmy Noether izolování důležitosti podmínek řetězce . Beyond algebra jsou zapojeni centrálně ve vývoji na XX th století několik kapitol funkcionální analýzy , včetně studiu Banachových algeber a harmonická analýza komutativního .
V komutativní algebře jsou všudypřítomné dva typy ideálů: maximální ideály a nepochybně ještě více ideály hlavní . V kruhu relativních celých čísel jsou maximální ideály i prvočíselné (nenulové) ideály p Z , kde p je prvočíslo ; v abstraktnějších komutativních kruzích tyto rodiny ideálů zobecňují pojem prvočísla.
V teorii nekomutativních prstenů si musíme dávat pozor na to, že vedle sebe existují dva odlišné pojmy ideálu: levý (nebo pravý ) ideál , který je podmodulem , a bilaterální ideál , kterým můžeme kvocientovat. I když struktura nejobecnějších nekomutativních prstenů může být extrémně složitá, máme větší kontrolu nad těmi, kteří ověřují podmínky konečnosti objevené Emmy Noether a Emil Artin , konkrétně řetězové podmínky na jejich levém nebo pravém ideálu.
Existují dva pojmy ideálního soužití, které se shodují v případě komutativního kruhu, ale hrají velmi odlišné role bez předpokladu komutativity násobení.
Část I prstence A se nazývá ideál nalevo (respektive napravo ) od A, když:
Užívání jazyka modulů lze stručně definovat jako levý ideál (resp. Vpravo) jako sub-modul pro konstrukci A -module doleva (resp. Vpravo) na A .
Pak říkáme bilaterální ideál z A (nebo prostě ideální , pokud neexistuje nebezpečí záměny) jakákoli část A , která je zároveň ideální kombinace po levé straně a ideální na pravé straně. Když je kruh komutativní, všechny tyto pojmy splývají, ale hrají velmi odlišné role v nekomutativní algebře. Ve skutečnosti, i když občas zasahují do nekomutativní teorie (tedy do definice jednoduchých prstenů ), je v této souvislosti s bilaterálními ideály obtížně manipulovat, a proto jsou méně všudypřítomné než ideály vlevo nebo vpravo. Je třeba poznamenat, že oboustranné ideály jsou podstruktury pro konstrukce A - - bimodule na A .
Opakováním toho, co bylo právě řečeno, že se zaměřuje pouze na bilaterální ideály, můžeme jejich definici výslovně přepsat:
Část I z kruhu A, se nazývá bilaterální ideál z A (nebo ideální , pokud není třeba se obávat záměny, a to zejména v komutativní algebry), když:
Specifický zájem o dvoustranné ideály vyplývá ze skutečnosti, že je možné uvést další popis, který je spojuje s konceptem kvocientu . Vzhledem k tomu, oboustranné ideální I v kruhu A je kvocient skupina / I může být s kruhovou strukturou, pro které je kanonická výstupek je kruh homomorphism , z jádra I . Naopak každé jádro je oboustranný ideál. Tyto informace můžeme shrnout do následujícího prohlášení:
Set-v I prstencové A je ideální (oboustranné) tehdy a jen tehdy, pokud je morfizmus o kruhy, které je výchozí kroužek a jehož jádro je I .
Některé vlastnosti dvoustranných ideálů lze číst skrz strukturu kvocientového kruhu: v komutativním kruhu je oboustranný ideál maximální právě tehdy, je-li kvocientem prsten pole .
Ideál (levý, pravý nebo bilaterální) obsahuje alespoň jeden invertibilní prvek právě tehdy, pokud se rovná celému kruhu.
Buď A a B dva kroužky a cp morfizmus z kruhů A v B . Tak :
Inverzní obraz levého ideálu (resp. Pravým resp. Oboustranný) z B za φ je levý ideál (resp. Pravým resp. Oboustranný) z A . Můžeme tedy vysvětlit, proč je jádro oboustranný ideál: je to proto, že se jedná o vzájemný obraz nulového oboustranného ideálu.
Pokud jde o přímý obraz ideálu A , můžeme jen konstatovat, že se jedná o ideál (stejné povahy) dílčího kruhu φ (A) . Pokud φ není surjektivní, nic ho nezavazuje k ideálu B : považujte syna za kanonické zahrnutí A = ℤ do B = ℚ. Pak φ ( I ) je pouze ideál ℚ, pokud jsem nulový ideál.
Když je φ surjektivní, situace je obzvláště jednoduchá:
Nechť cp morfismus surjektivní kruhy A do B . Mapa je bijekcí mezi množinou ideálů nalevo (resp. Napravo, resp. Dvoustranně) A obsahující Ker ( φ ) a sadou ideálů nalevo (resp. Napravo, resp. Dvoustranně) z B . Jeho vzájemná bijekce je .
Křižovatka dvou ideálů nalevo (resp. Napravo, resp. Bilaterálně), nebo obecněji z rodiny ideálů, je ideál stejného typu.
Jestliže P je součástí prstence A , říkáme levý ideál (resp. Doprava, resp. Bilaterální) generované P průsečík všech ideálů na levé straně (resp. Vpravo, resp. Bilaterální) a A , který obsahuje P . Jedná se o nejmenší ideální obsahující P .
Lze jej popsat následovně, přičemž součty jsou chápány jako indexované konečnou množinou:
Důležitým případem je, když P má pouze jeden prvek x . Mluvíme pak o hlavním ideálu (levém, pravém nebo bilaterálním) generovaném x .
Pokud I a J jsou dva levé ideály (resp. Vpravo, resp. Oboustranný) z kruhu A se nazývá součet z I a J všechny x + y , kde x běží I a tam cestuje J .
To je zase ideál stejného typu. Při interpretaci ideálů jako submodulů je jejich součet jako ideálů stejný ideální jako jejich součet jako submodulů . Množství může být také definována jako ideál stejného typu vytvořeného spojením I ∪ J .
U křižovatky a součtem, sadu ideálů vlevo (resp. Doprava, resp. Bilaterální) z kroužku A je mříž .
Obecněji řečeno, pro každou rodinu ideálů nalevo (resp. Napravo, resp. Dvoustranně) je součet rodiny označen jako součet součtů, který obsahuje pouze konečný počet termínů a kde se liší . Tato sada je také ideál stejného typu a je také ideálem tohoto typu generovaného sjednocením .
Název hlavního ideálu pro ideál (vlevo, vpravo nebo bilaterálně), který lze vygenerovat jediným prvkem, jsme již zmínili výše .
Obecněji definujeme ideál konečného typu jako ideál (levý, pravý nebo bilaterální), který lze vygenerovat konečnou částí.
V této části máme na mysli „stacionární posloupnost“ ideálů konstantní posloupnost ideálů vycházející z určité hodnosti (tj. Pro kterou existuje n takových ).
Nazýváme noetherovský prsten nalevo (resp. Napravo) prsten, ve kterém je jakákoli posloupnost ideálů nalevo (resp. Napravo) zvyšujících se pro zařazení stacionární. Rovněž se říká, že splňuje „ podmínku vzestupného řetězce “ na ideálech uvažovaného typu. Tato vlastnost souvisí s pojmem ideálu konečného typu následujícím výrokem, s celkem jednoduchým důkazem:
Prsten je nalevo Noetherian (resp. Napravo) tehdy a jen tehdy, jsou-li všechny jeho ideály nalevo (resp. Napravo) konečného typu.
Říkáme artiniánský prsten nalevo (resp. Napravo) prsten, ve kterém je jakákoli posloupnost ideálů nalevo (resp. Napravo) snižující se pro zařazení stacionární. Rovněž se říká, že splňuje „sestupnou podmínku řetězce“ na ideálech uvažovaného typu.
Věta Hopkins a Levitzki (v) , k velmi podstatnému břemene, má následující důsledek:
Jakýkoli prsten Artinian nalevo je nalevo Noetherian.
Pojmy podrobně popsané v této části připouštějí zobecnění v nekomutativní algebře. V tomto úvodním článku jsou prezentovány v jediném kontextu komutativního kruhu , kontextu, kde jsou obzvláště relevantní.
Pokud I a J jsou dva ideály komutativního kroužku, nazývané ideální produkt z I a J ideálním poznamenal IJ generovány všechny výrobky xy , kde x běží I a tam cestuje J . Proto se rovná množině konečných součtů, kde E je konečná množina, a .
Příklad: v kruhu Z je součin ideálů 2 Z a 3 Z ideálních 6 Z - tedy rovných jejich průsečíku; na druhé straně, produkt 2 Z ideálu sám o sobě je 4 Z ideál .
Vždy máme, ale zařazení může být přísné, jak ukazuje předchozí příklad.
Pokud I a J jsou dva ideály komutativní prsten A , nazýváme kvocient ideál z I podle J na označil sadu definovanou:
Je to ideál A .
Pokud je ideální komutativního kruhu , nazýváme zbytek z významného souboru tvořeného prvky z , pro které existuje přirozené číslo takové, že . Je to ideál .
Pojmy prvočíslo ideálu a maxima ideálu, zejména první, hrají v obecné teorii prstenů roli podobnou roli prvočísel v aritmetice celých čísel. V kruhu Z z relativních celých čísel , je maximální ideál jsou přesně p Z , kde p je prvočíslo; Přidá se k tomu jediný ne-maximální primární ideál, ideální {0}.
Ideální P komutativního kruhu A, se nazývá primární ideál , když P je přísný část A , a pro všechny x , y z A , pokud se produkt xy je v P , pak x patří k P nebo y patří P . Tato podmínka je ekvivalentní požadavku integrálního kroužku kvocientu A / P.
Ideální M komutativního kruhu A se nazývá maximální ideál, když existují přesně dva ideály obsahující M , jmenovitě A a M samotné. Tato podmínka je ekvivalentní požadavku, aby kruhový kvocient A / M byl komutativní pole .
Teorie primární faktorizace celých čísel je reprodukována ve velké třídě komutativních prstenců, faktoriálních prstencích . Jakkoli může být tato třída velká, nefaktoriální prstence jsou samozřejmostí a bylo zjištěno, že nejužitečnější jsou technické zevšeobecňování primární faktorizace. I ve faktoriálním rámci se navíc rozklad nehlavních ideálů týká i nehlavních ideálů, na které nemá vliv faktorizace prvků, a proto vrhá další světlo.
Rozklad ideálu na primární ideály, neredukovatelné ideályV „aditivní teorii“ ideálů je převládající operací průnik: rozkladem ideálu bude jeho zápis jako průniku ideálů základního typu. To nesouvisí s rozkladem celého čísla na primární celočíselné faktory .
Prvním krokem v tomto směru může být rozložen v dokonalé průsečíku nerozložitelné ideálů, které definují neredukovatelnou ideální jako řádný ideálu I nemůžeme členění jako průsečík dvou různých ideálů I . Každý prvotřídní ideál je neredukovatelný a v noetherovském kruhu je každý ideál konečným průnikem neredukovatelných ideálů.
Pak Definujeme primární ideální I jako správné ideálu komutativním kruhu A, která splňuje následující vlastnosti: pro všechny A a B z tak, ab ∈ I , je-li ∉ I pak existuje přirozené číslo n takové, že b n ∈ Já . Pokud jde o kvocienty kvocientů, I je tedy primární právě tehdy, když jakýkoli dělitel nuly v A / I kruhu je nilpotentní.
V noetherianském kruhu je primární každý neredukovatelný ideál.
Dedukujeme z toho, co předchází teorém Lasker-Noether :
V noetherianském kruhu může být jakýkoli ideál představován jako konečný průnik primárních ideálů.
Neexistuje žádná jedinečnost reprezentace, i když požadujeme, aby byla minimální, ale máme výroky, které zajišťují, že dvě odlišná reprezentace nejsou příliš daleko od sebe.
Multiplikativní teorie ideálů, Dedekindovy prstenyKdyž budeme požadovat více prstenu, můžeme jít dále a rozložit ideál tím, že napíšeme blíže k faktorizaci celých čísel na primární faktory; pak budeme muset hledat psaní jako produkt ideálů a už ne jako průnik: v Z lze ideální p 2 Z psát jako produkt p Z sám, ale nemohl být reprezentován jako průnik ideálů úplně jiný než on sám.
Nejprve omezení dimenze prstenu, který studujeme, zaručuje, že protínající se reprezentace primárních ideálů je také reprezentací jako produkt:
Nechť A je noetherovský integrální kruh dimenze 1 (tj. Kde jakýkoli nenulový primární ideál je maximální). Jakýkoli ideál A lze reprezentovat jako produkt primárních ideálů.
Zadruhé, pokud je prsten také zcela uzavřený , jeho primárními ideály jsou přesně pravomoci hlavních ideálů. To vede k zavedení Dedekindových prstenů , které jsou integrálními noetherovskými kruhy dimenze 1 plně uzavřenými, a vede k následujícímu výsledku, kde máme také jedinečnost rozkladu:
Nechť A je prsten Dedekind. Jakýkoli ideál A lze reprezentovat jedinečným způsobem (až do řádu faktorů) jako produkt prvotřídních ideálů.
PříkladyV těchto příkladech označujeme ( a ) hlavní ideál generovaný a , a ( a , b ) ideál generovaný a a b .
Bylo popsáno, na začátku kanálového úseku, že kvocient z kruhu A pomocí oboustranného ideálu I indukuje bijection mezi ideály A , které obsahují I a ideály A / I . Tato bijekce respektuje primární charakter ideálů.
Buď jsem ideál komutativní prsten A . Kanonické projekce soupravy bijection všechna prvočísla ideály A obsahující I a sadu primárních ideálů A / I .
Ideály obsažené v I mohou být izolovány od ostatních procesem lokalizace . Pak máme následující prohlášení:
Nechť I prime ideál komutativní prsten A . Lokalizační sady bijection všech primárních ideálů A obsažený v I. a sadu primárních ideálů kruhu umístěného I .
Dimenze KrullStruktura nařízená zahrnutím souboru prvotřídních ideálů je u zdroje jedné z možných definic dimenze prstenu, konzistentní s geometrickou intuicí pro prsteny, které se vyskytují v algebraické geometrii . Rozměr KRULL z komutativním kruhu A je definována jako největší n , pro které existuje striktně rostoucí řetězec primárních ideálů A formuláře:
Topologie spektra a maximální spektrumMnožina primárních ideálů komutativním kruhu A, se nazývá první spektrum v A . Je možné jej vybavit topologií nazvanou Zariski, která zobecňuje Zariskiho topologii algebraické množiny . Po této definované topologie, topologická prostor spektrometrie ( ) může být vybaven paprskem prstenců, lokalizované . Objekt je pak na základě definice diagramů , které zobecňují algebraické variace .
Pokud je primární spektrum, protože jeho konstrukce je funktoriální , zvláště vhodné pro algebraickou geometrii , je ve funkční analýze často požadováno maximální spektrum , soubor maximálních ideálů , zejména v teorii unitárních komutativních Banachových algeber . Může být opatřen samostatnou topologií . Transformace Gelfand (v), pak umožňuje, když je injective, interpretovat prvky algebry Banachových jako funkce na spektru algebry.
Teorie ideálů je relativně nedávný, protože byl vytvořen Richard Dedekind v pozdní XIX th století. V té době se část matematické komunity zajímala o algebraická čísla a konkrétněji o algebraická celá čísla .
Otázkou bylo, zda se algebraická celá čísla chovají jako relativní celá čísla , zejména „jedinečný“ rozklad na nerozložitelné faktory. Zdálo se, že od počátku XIX th století, to nebylo vždy případ : 6 například který se může rozložit v kruhu Z [ i √ 5 ] ve formě 2 × 3 nebo ve tvaru (1 + i √ 5 ) (1 - i √ 5 ).
Ernst Kummer , varovaný před ukvapeným zobecněním Lejeune Dirichletem , si uvědomil skutečnost, kterou považoval za extrémně žalostnou ( maxim dolendum ): na rozdíl od relativních celých čísel, lineárních kombinací s relativními celočíselnými koeficienty sil d 'daného kořene jednoty terminologie: celá čísla cyklotomického těla ) se nemusí nutně jedinečným způsobem (kromě „jednotkových“ faktorů) rozkládat na produkty nerozložitelných prvků. Aby zachránil jedinečnost rozkladu, představil Kummer v článku z roku 1847 pojem ideálních komplexních čísel.
Myšlenkou je učinit primární faktorizaci jedinečnou umělým přidáním dalších čísel (stejným způsobem, jako bychom přidali i ke skutečným číslům, například abychom měli čísla se zápornými čtverci). Ve výše uvedeném příkladu „vymyslíme“ čtyři „ideální“ čísla a , b , c a d , například:
6 se pak jedinečným způsobem rozloží na:
V roce 1871 vytvořil Dedekind pojem pojmu prstenu definovaný v tomto článku. Ideály Dedekind jsou novou formalizací a zevšeobecněním ideálů komplexních čísel (en) Kummer. Dedekind se zajímá hlavně o kroužky algebraických celých čísel, které jsou integrální. Právě v této oblasti jsou nalezeny nejzajímavější výsledky ideálů. Vytváří na množině ideálů prstenu integruje operace podobné sčítání a násobení v relativních celých číslech.
Teorie ideálů umožnila významný pokrok v obecné algebře , ale také ve studiu algebraických křivek (algebraická geometrie).
V jiných matematických kontextech se různé objekty nazývají také ideály, z nichž každý souvisí nebo je v určitém smyslu analogický prstenovým ideálům popsaným v tomto článku:
Část „ historický aspekt “ byla navíc napsána pomocí Jacques Bouveresse , Jean Itard a Émile Sallé, Histoire des mathematic [ detail vydání ].
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">