Milnorova K-teorie

K-teorie Milnor , teorie matematické představen John Milnor , je jedním z prvních pokusů o definování skupiny z K -Teorie algebraické vyššího řádu.

Definice

Výpočet K 2 části pole F vedla Milnor na následující ad hoc definice z K -skupiny indexů větší o

K _ {*} ^ {M} (F): = T ^ {*} F ^ {\ times} / (a ​​\ otimes (1-a)),

tedy jako podíl ( absolvoval ) v tensor algebry části na abelian skupiny F x podle bilaterální ideálu vytvořeného podle A ⊗ (1 - a ) pro a ? 0, 1.

Tensor produkt na T * F indukuje produkt K M m x K M n → K M m + n což K M ( F ) A absolvoval kruh, který je komutativní (mřížkou na smysl) .

Příklady

Pro n = 0, 1 nebo 2 se tyto K- skupiny polí shodují s Quillenovými skupinami , ale pro n ≥ 3 se obecně liší.

K M n ( F q ) = 0 pro n ≥ 2 (vzhledem k tomu, K -Quillen skupiny K 2 i - 1 ( F q ), pro i ≥ 1, je cyklický z řádu q i - 1).

K M 2 ( ℂ ) je non- počitatelné dělitelné skupina bez kroucení .

K M 2 ( ℝ ) je přímý součet o cyklické podskupiny řádu 2 a nespočetné dělitelné podskupiny bez kroucení.

K M 2 ( ℚ p ) je přímý součet multiplikativní skupiny F p a nespočetné dělitelné podskupiny bez kroucení.

K M 2 ( ℚ ) je přímý součet cyklické podskupiny řádu 2 a cyklických podskupin řádu p - 1 pro jakékoli liché prvočíslo p .

Odkazy na jiné teorie

Milnorova K-teorie hraje zásadní roli v orgánech vyšších tříd teorie (en) a nahrazuje K M 1 použitou v teorii pole třídy dimenze 1.

Milnor je modulo 2 K-teorie, označený k ✲ ( F ), se vztahuje k Etale (nebo Galoisova ) kohomologie z pole F u Milnor domněnky , prokázané Vladimír Voïevodski . Analogickým výrokem modulo lichého prvočísla je Bloch-Kato domněnka (en) , kterou prokázali Voevodsky a Rost (de) .

Definujeme „symbol“ { 1 , ..., n } jako obraz a 1 ⊗ ... ⊗ a n v K M n ( F ): Je-li n = 2, to je symbol Steinberg .

Definujeme pro všechny n morfizmus o k n ( F ), ve skupině Witt z F , spojením s tímto symbolem na formu Pfister (en) o rozměru 2 n

$\ langle \ langle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \ rangle \ rangle = \ langle 1, a_ {1} \ rangle \ otimes \ langle 1, a_ {2} \ rangle \ otimes \ ldots \ otimes \ langle 1, a_ {n} \ rangle.$

Při pohledu na hodnoty v I n / I n +1 je tento morfismus surjektivní, protože formy Pfister aditivně generují I n . Milnorova domněnka je interpretována jako injektivnost tohoto morfismu.

Reference

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „ Milnor K-theory “ ( viz seznam autorů ) .

(in) John Willard Milnor , „ Algebraická K-teorie a kvadratické formy “ , Vynález. Matematika. , sv. 9, n O 4,1970, str. 318-344 ( číst online ).
(in) Philippe Gille a Tamás Szamuely (de) , Central simply algebras and Galois cohomology , UPC , al. "Cambridge Studium v pokročilé matematiky" ( n O 101),2006( ISBN 0-521-86103-9 , zbMATH 1137.12001 , číst online ) , s. 208.
(en) Tsit-Yuen Lam , Úvod do kvadratických forem nad poli , Providence (RI), AMS , kol. " GSM " ( n o 67)2005, 550 str. ( ISBN 0-8218-1095-2 , číst online ) , s. 366.
Lam 2005 , s. 316.