V matematice je metoda vyčerpání starodávnou metodou výpočtu ploch, objemů a délek složitých geometrických obrazců. Kvadratura je hledání pro oblast povrchu je náprava je, že na délce křivky.
V případě výpočtu plochy A rovinné figury sestává metoda vyčerpání z dvojitého uvažování absurditou: předpokládáme, že její plocha je striktně větší než A , pak skončíme rozporem; pak předpokládáme, že jeho plocha je striktně menší než A , pak skončíme s dalším rozporem. Je tedy možné ukázat, že oblast na obrázku je .
Autorství tohoto procesu se připisuje Eudoxovi z Cnidusu . Archimedes je znázorněno to brilantně, což ve velké míře využívají k axiomu , který nese jeho jméno (Archimedes také použít metodu rámování, která souvisí s ním). I když to bylo obtížné implementovat, zůstalo to ve svém oboru jedinou metodou demonstrace považovanou za skutečně přísnou, po několik století. Dokonce i vzhled nedělitelné metody na začátku v XVII -tého století , to není vykreslen zcela zastaralý. O několik desetiletí později ji však předběhl úspěch nekonečně malého počtu .
Stále inspiruje metodu řezů, kterou Richard Dedekind používá v roce 1858 pro konstrukci reálných čísel . To však poskytuje základ pro analýzu zcela bez geometrických úvah, což u metody vyčerpání neplatí.
Metoda vyčerpání byla použita v následujících problémech:
Proposition 2 knihy XII z prvků z Euclid ukazuje, že oblast disku je přímo úměrná druhé mocnině průměru. Je založen na analogické vlastnosti týkající se polygonů vepsaných do kruhu a dříve prokázaných Euklidem: pro dva podobné polygony s oblastmi C a C ' vepsanými do kruhů příslušných průměrů D a D' máme: C / C ' = D² / D'² .
Princip metody vyčerpání je následující. Dovolit být disk o průměru D a oblasti A a druhý disk o průměru D ' a oblasti A' . Jde o to ukázat, že A / A ' = D² / D'² .
Předpokládejme, že tomu tak není a že A / A ' > D² / D'² . Nechť B je oblast taková, že B / A ' = D² / D'² . Bylo proto > B . Popsat pod disk oblast A mnohoúhelníkovou oblast C, tak, že > C > B a disk oblast A ‚ mnohoúhelník prostor C‘ podobný mnohoúhelníkové plochy C . Podle návrhu uvedeného na polygonech máme C / C ' = D² / D'² = B / A' . Nebo C ' < A' . Takže C < B , což je absurdní. Nemůžeme tedy mít A / A ' > D² / D'² .
Podobně za předpokladu, že A / A ' < D² / D'² , skončíme s rozporem. Máme tedy A / A ' = D² / D'² .
Archimedes poté stejnou metodou demonstruje, že kruh ohraničuje oblast rovnou ploše pravoúhlého trojúhelníku, přičemž jedna ze stran sousedících s pravým úhlem se rovná poloměru této kružnice a druhá se rovná jejímu obvodu . Tím se stanoví, že poměr plochy disku ke čtverci poloměru je stejný jako poměr obvodu kruhu k jeho průměru, což je výsledek, který je počátkem čísla pi .
Kvadratura paraboly spočívá ve stanovení plochy povrchu mezi akordem a částí paraboly. To bylo provedeno pomocí Eudoxus , který navrhl způsob získání série dolní mezí. Archimedes dokončil výpočet navržením řady horních mezí.
Archimedes ukazuje, že v každém kroku jeho výpočtu je amplituda získaného rámce snížena o více než polovinu a že pokračováním procesu budou hodnoty co nejblíže hledané oblasti.
Tvrzení 6 knihy XII prvků z Euclid ukazuje, že pyramidy , které mají stejnou výšku a základy stejné oblasti mají stejný objem. Euclid poté odvodí, že objem pyramidy je o třetinu základny výškou. Demonstrace této poslední vlastnosti, kterou uvedl Demokritos , je způsobena Eudoxem z Cnidusu .
Následné důkazy tohoto vzorce všechny vyžadují metody, které úzce nebo vzdáleně souvisí s integrálním počtem a nelze najít žádný důkaz rozřezáním pyramidy. Tato obtíž vedla Hilberta v roce 1900 k zařazení této otázky na třetí místo ve svém seznamu problémů .
V návrhu 10 knihy XII je předchozí výsledek rozšířen na kužele, třetinu válce se stejnou základnou a stejnou výškou.
Najíždění na kouli o vepsaného mnohostěnů , je ukázáno, v tvrzení 18 knihy XII prvků z Euclid , že objem míče je úměrná krychle průměru. Je to Archimedes, kdo poté určí vzorec pro objem míče.