Hlavní věta o Ramanujanu

V matematice , Ramanujan „master věta“ (vzhledem k Srinivasa Ramanujan , a nachází se v jeho notebooku po jeho smrti) je technologie výroby explicitní formu Mellin převádět z analytické funkce .

Výrok věty

Podle hypotéz, které specifikoval Hardy a které jsou vždy ověřeny pro aplikace provedené Ramanujanem, je věta následující:

Hlavní věta  -  Pokud je funkce se složitými hodnotami, kterou lze vyvinout v celočíselných řadách ve formě F{\ displaystyle f}

F(X)=∑k=0∞ϕ(k)k!(-X)k{\ displaystyle f (x) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ phi (k)} {k!}} (- x) ^ {k} \!},

Potom, za určitých předpokladů o funkci je Mellin převádí z je dána vztahem s↦ϕ(s){\ displaystyle s \ mapsto \ phi (s)}F{\ displaystyle f}

∫0∞Xs-1F(X)dX=Γ(s)ϕ(-s){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, dx = \ gama (s) \ phi (-s)},

kde je funkce gama . Γ(s){\ Displaystyle \ Gama (y)}

Ramanujan ji často používal k výpočtu určitých integrálů a celých řad.

Jiné formy věty

Další forma hlavní věty je:

∫0∞Xs-1(λ(0)-Xλ(1)+X2λ(2)-⋯)dX=πhřích⁡(πs)λ(-s){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} ({\ lambda (0) -x \ lambda (1) + x ^ {2} \ lambda (2) - \ cdots} ) \, dx = {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi s)}} \ lambda (-s)}

který se vrací k předchozímu substitucí pomocí funkční rovnice funkce gama . λ(ne)=ϕ(ne)Γ(1+ne){\ displaystyle \ lambda (n) = {\ frac {\ phi (n)} {\ gama (1 + n)}} \!}

Předchozí integrál je konvergentní pro (pokud splňuje vhodné podmínky růstu). 0<Re⁡(s)<1{\ displaystyle 0 <\ operatorname {Re} (s) <1}ϕ{\ displaystyle \ phi}

Podobného výsledku dosáhl JWL Glaisher v roce 1874, ale věnoval mu malou pozornost.

Hardy demonstrace

Věta je obecně špatná; demonstrace za předpokladů „přirozená“ (ale ne nejnižší nutná) byla podána G. H. Hardym pomocí věty o reziduích a věty o inverzi Mellin  (in) .

Nejjednodušší hypotézy pro demonstraci jsou skutečně tyto:

• pro |X|<na≤1,F(X)=∑k=0∞ϕ(k)k!(-X)k{\ displaystyle | x | <a \ leq 1, f (x) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ phi (k)} {k!}} (- x) ^ {k}}

• ϕ(-s){\ displaystyle \ phi (-s)} je analytický pro ℜ(s)<ϵ{\ displaystyle \ Re (s) <\ epsilon}

• Γ(s)ϕ(-s){\ displaystyle \ gama (y) \ phi (-s)} má exponenciální pokles na svislé čáře ℜ(s)=ϵ/2{\ displaystyle \ Re (s) = \ epsilon / 2}

• limR→∞∫|s|=R,ℜ(s)<ϵ/2Γ(s)ϕ(-s)ds=0{\ displaystyle \ lim _ {R \ až \ infty} \ int _ {| s | = R, \ Re (s) <\ epsilon / 2} \ gama (s) \ phi (-s) ds = 0}

Pro jeden . Exponenciální pokles implikuje, že g je analytické . X>0{\ displaystyle x> 0}G(X)=12iπ∫ℜ(s)=ϵ/2Γ(s)ϕ(-s)X-sds{\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {2i \ pi}} \ int _ {\ Re (s) = \ epsilon / 2} \ gama (s) \ phi (-s) x ^ {- s} ds}Γ(s)ϕ(-s){\ displaystyle \ gama (y) \ phi (-s)}]0,∞[{\ displaystyle] 0, \ infty [}

Navíc věta zbytek dává k , . Takže g je ve skutečnosti analytickým pokračováním f . X∈]0,na[{\ displaystyle x \ in] 0, a [}G(X)=∑k=0∞Res(Γ(s)ϕ(-s)X-s,-k)=∑k=0∞Res(Γ(s),-k)ϕ(k)Xk=F(X){\ displaystyle g (x) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ text {Res}} (\ gama (s) \ phi (-s) x ^ {- s}, - k) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ text {Res}} (\ Gamma (s), - k) \ phi (k) x ^ {k} = f (x)}

Nakonec, jak je omezeno inverzí Mellin, máme:G(X)Xϵ/2{\ displaystyle g (x) x ^ {\ epsilon / 2}}

Γ(s)ϕ(-s)=∫0∞G(X)Xs-1dX{\ displaystyle \ gama (s) \ phi (-s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} g (x) x ^ {s-1} dx}pro .ℜ(s)∈]0,ϵ/2[{\ displaystyle \ Re (s) \ v] 0, \ epsilon / 2 [}

Příklady

Aplikace na funkci Hurwitz zeta

Funkce generující z Bernoulliho polynomů je: Bk(X){\ displaystyle B_ {k} (x) \!}

zEXzEz-1=∑k=0∞Bk(X)zkk!{\ displaystyle {\ frac {ze ^ {xz}} {e ^ {z} -1}} = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} B_ {k} (x) {\ frac {z ^ {k}} {k!}} \!}

Pomocí funkce zeta Hurwitze máme pro . ζ(s,na)=∑ne=0∞1(ne+na)s{\ displaystyle \ zeta (s, a) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + a) ^ {s}}} \!}ζ(1-ne,na)=-Bne(na)ne{\ displaystyle \ zeta (1-n, a) = - {\ frac {B_ {n} (a)} {n}} \!}ne≥1{\ displaystyle n \ geq 1 \!}

Hlavní věta pak umožňuje získat integrální reprezentaci:

∫0∞Xs-1(E-naX1-E-X-1X)dX=Γ(s)ζ(s,na){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} \ left ({\ frac {e ^ {- ax}} {1-e ^ {- x}}} - {\ frac {1} {x}} \ right) \, dx = \ Gamma (s) \ zeta (s, a) \!}ano .0<Re⁡(s)<1{\ displaystyle 0 <\ operatorname {Re} (s) <1 \!}

Aplikace na funkci gama

Použití definice Weierstrass  :

Γ(X)=E-yXX∏ne=1∞(1+Xne)-1EX/ne{\ displaystyle \ Gamma (x) = {\ frac {e ^ {- \ gamma x}} {x}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ vlevo (1 + {\ frac {x} {n}} \ vpravo) ^ {- 1} e ^ {x / n} \!},

ekvivalentní

log⁡Γ(1+X)=-yX+∑k=2∞ζ(k)k(-X)k{\ displaystyle \ log \ Gamma (1 + x) = - \ gamma x + \ součet _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta (k)} {k}} (- x) ^ {k} \!}(kde je Riemannova zeta funkce ), hlavní věta pak dává:ζ(k){\ displaystyle \ zeta (k) \!} ∫0∞Xs-1yX+log⁡Γ(1+X)X2dX=πhřích⁡(πs)ζ(2-s)2-s{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} {\ frac {\ gama x + \ log \ gama (1 + x)} {x ^ {2}}} \ \ dx = {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi s)}} {\ frac {\ zeta (2-s)} {2-s}} \!}(pro ).0<Re⁡(s)<1{\ displaystyle 0 <\ operatorname {Re} (s) <1 \!}

Zejména pro a získáváme s=12{\ displaystyle s = {\ frac {1} {2}} \!}s=34{\ displaystyle s = {\ frac {3} {4}} \!}

∫0∞yX+log⁡Γ(1+X)X5/2dX=2π3ζ(32){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ gama x + \ log \ gama (1 + x)} {x ^ {5/2}}} \, dx = {\ frac { 2 \ pi} {3}} \ zeta \ vlevo ({\ frac {3} {2}} \ vpravo)} ∫0∞yX+log⁡Γ(1+X)X9/4dX=24π5ζ(54){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ gama x + \ log \ gama (1 + x)} {x ^ {9/4}}} \, dx = {\ sqrt { 2}} {\ frac {4 \ pi} {5}} \ zeta \ left ({\ frac {5} {4}} \ right)},

výsledky, které přesahují možnosti počítačového algebraického softwaru, jako je Mathematica 7 .

Zobecnění

Vyšší dimenzionální verze této věty se objevují v kvantové fyzice (pomocí Feynmanových diagramů ).

Poznámky a odkazy

• (fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „  Ramanujanova hlavní věta  “ ( viz seznam autorů ) .

1. (in) B. Berndt , Ramanujan's Notebooks, Part I , New York, Springer-Verlag ,1985.
2. (en) Godfrey Harold Hardy , Ramanujan. Dvanáct přednášek na témata navrhovaná jeho životem a dílem , New York, Chelsea,1978, 236  s. ( ISBN  0-8284-0136-5 ).
3. (in) Tewodros Amdeberhan Ivan Gonzalez , Marshall Harrison , Victor H. Moll a Armin Straub , „  hlavní věta Ramanujan  “ , The Ramanujan Journal , sv.  29, n kost  1-3,2012, str.  103–120 ( DOI  10.1007 / s11139-011-9333-y ).
4. (in) JWL Glaisher , „  Nový vzorec v určitých integrálech  “ , The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine a Journal of Science , sv.  48, n o  315,1874, str.  53–55.
5. (in) O. Espinosa a V. Moll , „  K některým určitým integrálům zahrnujícím funkci Hurwitz zeta. Část 2  “ , The Ramanujan Journal , sv.  6, n O  4,2002, str.  449–468 ( DOI  10.1023 / A: 1021171500736 ).
6. (in) Iván González , VH Moll a Iván Schmidt , „  Zobecněná hlavní věta Ramanujan použitá při hodnocení Feynmanových diagramů  “ .

externí odkazy

• (en) Eric W. Weisstein , „  Ramanujan's Master Theorem  “ , na MathWorld
• (en) Prezentace hlavní věty a jejích aplikací na webových stránkách Armin Straub.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">