Pfaffien
V matematice je Pfaffian neboli Pfaffianův determinant , který si vzal jméno od německého matematika Johanna Pfaffa , skalár, který se podílí na studiu antisymetrických matic . Vyjadřuje se polynomickým způsobem pomocí koeficientů matice. Tento polynom je nulový, pokud má matice lichou velikost; zajímá se to pouze v případě antisymetrických matic o velikosti 2 n × 2 n , její stupeň je pak n . Pfaffian matice A je označen .
PF(NA){\ displaystyle \ mathrm {Pf} \ vlevo (A \ vpravo)}![{\ displaystyle \ mathrm {Pf} \ vlevo (A \ vpravo)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9974eedb980b9a59328e44483555dc0a077c15b)
Pfaffian souvisí s determinantem . Ve skutečnosti lze determinant takové matice vždy vyjádřit jako dokonalý čtverec a ve skutečnosti čtverec pfaffianu. Explicitně pro antisymetrickou matici o velikosti 2 n × 2 n máme
NA{\ displaystyle A}![NA](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
Pf(NA)2=det(NA){\ displaystyle {\ text {Pf}} (A) ^ {2} = {\ text {det}} (A)}
Dějiny
Termín „pfaffian“ představil Arthur Cayley , který jej použil v roce 1852: „Permutanti této třídy (podle jejich spojení s Pfaffovým výzkumem diferenciálních rovnic) jim budu říkat pfaffians “ . Německý matematik, kterého zmiňuje, je Johann Friedrich Pfaff .
Bylo to v roce 1882, kdy Thomas Muir prokázal souvislost mezi pfaffianem a determinantem antisymetrické matice. Tento výsledek publikuje ve svém pojednání o determinantech.
Formální definice
Nechť A = { a i, j } je 2 n × 2 n antisymetrická matice . Pfaffian A je definován:
PF(NA)=12nene!∑σ∈S2nesGne(σ)∏i=1nenaσ(2i-1),σ(2i){\ displaystyle \ mathrm {Pf} (A) = {\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} \ suma _ {\ sigma \ v S_ {2n}} \ mathrm {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (2i-1), \ sigma (2i)}}![{\ displaystyle \ mathrm {Pf} (A) = {\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} \ suma _ {\ sigma \ v S_ {2n}} \ mathrm {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (2i-1), \ sigma (2i)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83d5503f8937e6e41b1f1f0756208b7a26c0bdb)
kde S 2 n je symetrická skupina a sgn (σ) je podpisem σ.
Zjednodušení
Tuto definici lze zjednodušit použitím antisymetrie matice, která se vyhne přidání všech možných permutací .
Nechť Π je množina všech oddílů {1, 2,…, 2 n } v párech, bez ohledu na pořadí. Existuje (2 n - 1) !! . Prvek α ∈ Π lze napsat ve tvaru:
α={(i1,j1),(i2,j2),⋯,(ine,jne)}{\ displaystyle \ alpha = \ {(i_ {1}, j_ {1}), (i_ {2}, j_ {2}), \ cdots, (i_ {n}, j_ {n}) \}}![{\ displaystyle \ alpha = \ {(i_ {1}, j_ {1}), (i_ {2}, j_ {2}), \ cdots, (i_ {n}, j_ {n}) \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cdb4ae94e0b2ab8adcf8d94a68e9a75b7123109)
s a . Je
ik<jk{\ displaystyle i_ {k} <j_ {k}}
i1<i2<⋯<ine{\ displaystyle i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {n}}![{\ displaystyle i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf214eaba327d1f2268fe7f0c9b62d4d64433d1c)
πα=[1234⋯2nei1j1i2j2⋯jne]{\ displaystyle \ pi _ {\ alpha} = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \ cdots & 2n \\ i_ {1} & j_ {1} & i_ {2} & j_ {2} & \ cdots & j_ {n} \ end {bmatrix}}}![{\ displaystyle \ pi _ {\ alpha} = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \ cdots & 2n \\ i_ {1} & j_ {1} & i_ {2} & j_ {2} & \ cdots & j_ {n} \ end {bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a15a204f870b6c139c7e96cdebed2bca0f8413)
odpovídající permutace. π závisí pouze na α. Vzhledem k rozdělení α můžeme definovat:
NAα=sgn(πα)nai1,j1nai2,j2⋯naine,jne.{\ displaystyle A _ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} (\ pi _ {\ alpha}) a_ {i_ {1}, j_ {1}} a_ {i_ {2}, j_ {2}} \ cdots a_ {i_ {n}, j_ {n}}.}![{\ displaystyle A _ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} (\ pi _ {\ alpha}) a_ {i_ {1}, j_ {1}} a_ {i_ {2}, j_ {2}} \ cdots a_ {i_ {n}, j_ {n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d56d8d4c979a53bb4aa8a96f210d3e0dd4686b7)
Pfaffian A je pak:
Pf(NA)=∑α∈ΠNAα.{\ displaystyle \ operatorname {Pf} (A) = \ součet _ {\ alfa \ v \ Pi} A _ {\ alpha}.}![{\ displaystyle \ operatorname {Pf} (A) = \ součet _ {\ alfa \ v \ Pi} A _ {\ alpha}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3750beee9dca3b110da58af8082a33278f12aada)
Pfaffian antisymetrické matice n × n pro liché n je definován nula.
Alternativní definice
Můžeme asociovat s jakoukoli antisymetrickou maticí 2 n × 2 n A = { a ij }, bivektor :
ω=∑i<jnaijEi∧Ej.{\ displaystyle \ omega = \ součet _ {i <j} a_ {ij} \; e ^ {i} \ klín e ^ {j}.}![{\ displaystyle \ omega = \ součet _ {i <j} a_ {ij} \; e ^ {i} \ klín e ^ {j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5365c7cfcdf5b73e9bbd2a509ff34ac3d45b964e)
kde { e 1 , e 2 ,…, e 2 n } je kanonický základ R 2n . Pfaffien je pak definován vztahem:
1ne!ωne=Pf(NA)E1∧E2∧⋯∧E2ne,{\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} \ omega ^ {n} = {\ mbox {Pf}} (A) \; e ^ {1} \ klín e ^ {2} \ klín \ cdots \ klín e ^ {2n},}![{\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} \ omega ^ {n} = {\ mbox {Pf}} (A) \; e ^ {1} \ klín e ^ {2} \ klín \ cdots \ klín e ^ {2n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a096e6760afb97191693831d5f598701efa925d)
Zde ω n označuje vnější produkt z n kopií W s sám o sobě. Pfaffian se proto jeví jako koeficient kolinearity mezi w n a objemové formě z R 2n .
Příklady
Pf(0na-na0)=na.{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a \\ - a & 0 \ end {pmatrix}} = a.}
Pf(0nabvs.-na0dE-b-d0F-vs.-E-F0)=naF-bE+dvs..{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a & b & c \\ - a & 0 & d & e \\ - b & -d & 0 & f \\ - c & - e & -f & 0 \ end {pmatrix}} = af-be + dc.}![{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a & b & c \\ - a & 0 & d & e \\ - b & -d & 0 & f \\ - c & - e & -f & 0 \ end {pmatrix}} = af-be + dc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9644e028073a2e9402ef570a0eeeb92580ea96e9)
Pf(0na100-na10b100-b10na200-na2⋱⋱⋱⋱bne-1-bne-10nane-nane0)=na1na2⋯nane.{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a_ {1} & 0 & 0 \\ - a_ {1} & 0 & b_ {1} & 0 \\ 0 & -b_ {1 } & 0 & a_ {2} \\ 0 & 0 & -a_ {2} & \ ddots & \ ddots \\ &&& \ ddots & \ ddots & b_ {n-1} \\ &&&& - b_ {n-1} & 0 & a_ {n} \\ &&&&&& - a_ {n} & 0 \ end {pmatrix}} = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}.}![{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a_ {1} & 0 & 0 \\ - a_ {1} & 0 & b_ {1} & 0 \\ 0 & -b_ {1 } & 0 & a_ {2} \\ 0 & 0 & -a_ {2} & \ ddots & \ ddots \\ &&& \ ddots & \ ddots & b_ {n-1} \\ &&&& - b_ {n-1} & 0 & a_ {n} \\ &&&&&& - a_ {n} & 0 \ end {pmatrix}} = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80029b882817e5c4392b1375be536eed6f5bbc9)
Pozoruhodné identity
Obecné identity
Pro 2 n × 2 n antisymetrickou matici A a libovolnou 2 n × 2 n matici , označenou B ,
-
Pf(NA)2=det(NA){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (A) ^ {2} = \ det (A)}
( Muirovo lemma )
- Pf(BNABT)=det(B)Pf(NA){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (BAB ^ {T}) = \ det (B) {\ mbox {Pf}} (A)}
![{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (BAB ^ {T}) = \ det (B) {\ mbox {Pf}} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c776dd5c6dbc7e9e9dcb312275a822f693bfe7)
- Pf(λNA)=λnePf(NA){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (\ lambda A) = \ lambda ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}
![{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (\ lambda A) = \ lambda ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86c3b719c8211ee11e3a6e5c224d1a14fcd74c3)
- Pf(NAT)=(-1)nePf(NA){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (A ^ {T}) = (- 1) ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}
![{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (A ^ {T}) = (- 1) ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ad6f808c23b583847b62bb6f8da0b7dcba8abb)
Diagonální matice na bloky
Pfaffian diagonální antisymetrické matice bloky formy
NA1⊕NA2=(NA100NA2){\ displaystyle A_ {1} \ oplus A_ {2} = {\ begin {pmatrix} A_ {1} & 0 \\ 0 & A_ {2} \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle A_ {1} \ oplus A_ {2} = {\ begin {pmatrix} A_ {1} & 0 \\ 0 & A_ {2} \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda2051620c8bdbbc458b8f8d63feb88828e0918)
je produktem pfaffianů bloků
Pf(NA1⊕NA2)=Pf(NA1)Pf(NA2){\ displaystyle {\ text {Pf}} (A_ {1} \ oplus A_ {2}) = {\ text {Pf}} (A_ {1}) \, {\ text {Pf}} (A_ {2} )}![{\ displaystyle {\ text {Pf}} (A_ {1} \ oplus A_ {2}) = {\ text {Pf}} (A_ {1}) \, {\ text {Pf}} (A_ {2} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227e8a5ec0dd81f6f738565af730ea2b2469eb3f)
.
To se zobecňuje opakováním na více než dva bloky.
Libovolná čtvercová matice
Pf(0M-MT0)=(-1)ne(ne-1)/2detM{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & M \\ - M ^ {T} & 0 \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {n (n-1) / 2 } \ det M}![{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & M \\ - M ^ {T} & 0 \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {n (n-1) / 2 } \ det M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab5a3c305f76d9d574cc0e94e7165d639f8f667)
.
Aplikace
Reference
(
fr ) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v
angličtině s názvem
„ Pfaffian “ ( viz seznam autorů ) .
-
(in) Thomas Muir, Pojednání o teorii determinantů , znovu vydáno a rozšířeno v roce 1930.
-
(in) Nicol Schraudolph a Dmitry Kamenetsky , „Efektivní přesný závěr v planárních Isingových modelech“ v Advances in Conference on Neural Information Processing Systems , sv. 21 , MIT Press ,2009( číst online ).
Podívejte se také
Související články
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">