Moment (pravděpodobnosti)

V teorii pravděpodobnosti a statistiky je okamžik řádu $r \in ℕ$ jednoho skutečného náhodné proměnné $X$ je indikátorem disperze této proměnné, jako je například jeho standardní odchylka je druhá odmocnina z centrované okamžiku řádu 2.

Takzvaný „obyčejný“ okamžik řádu $r \in ℕ$ , pokud existuje, je definován:

m_ {r} \ triangleq {\ mathbb {E}} (X ^ {r})

Podobně budou definovány jindy, studované nebo zmíněné ve zbytku článku.

Koncept okamžiku v analýze

Pojem moment v matematice , zejména v teorii pravděpodobnosti , pochází z pojmu moment ve fyzice .

Nechť $f : I \to ℝ je$ spojitá funkce v intervalu $I$ (ne redukovaném na bod) $ℝ$ .

Vzhledem k přirozené číslo $r$ , okamžik objednávky $r$ o $f$ je definován, s výhradou existence tím, že:

m_ {r} (f) \ triangleq \ int _ {{x \ v I}} x ^ {r} \, f (x) \, {\ mathrm {d}} x

Kritérium existence

Tento okamžik objednávky $r$ je považován za existující právě tehdy, když $x r f ( x )$ je integrovatelná , to znamená tehdy, když $\int x \in I | x r f ( x ) | d x$ konverguje. I když je tedy moment konvergentním nesprávným integrálem , je tento moment stále považován za neexistující.

Tímto způsobem, pokud moment neexistuje v daném pořadí, pak neexistují ani všechny momenty vyššího řádu. Naopak, pokud v daném pořadí existuje moment, pak existují i všechny momenty nižšího řádu.

Vektorový prostor

Pro dané přirozené celé číslo $r$ je množina spojitých funkcí na $I,$ jehož moment řádu $r$ existuje, skutečný vektorový prostor a mapa $m r : f \mapsto m r ( f )$ je lineární forma na tomto vesmírném vektoru.

Definice

Nechť $X$ je skutečná náhodná proměnná definovaná na $I$ , s distribuční funkcí $F X$ a zákonem pravděpodobnosti $p$ .

Obyčejný okamžik

Moment (nebo běžný moment , nebo moment v rozsahu 0 ) řádu $r \in ℕ$ z $X$ je definováno, pokud existuje, podle:

m_ {r} \ triangleq {\ mathbb {E}} (X ^ {r})

Podle věty o převodu tedy máme :

m_ {r} = \ int _ {{x \ in I}} x ^ {r} \, {\ mathrm {d}} F_ {X} (x)

Tento Stieltjesův integrál lze přepsat:

pokud $X$ je diskrétní : $m_ {r} = \ součet _ {{k \ v I}} k ^ {r} \, p_ {k}$
pokud $X$ je absolutně spojité : $m_ {r} = \ int _ {{x \ in I}} x ^ {r} \, p (x) \, {\ mathrm {d}} x$

Podle druhého axiomu pravděpodobností pak máme $m 0 = 1$ .

Všimněte si, že $p$ je kladné nebo nulové na $I$ ( první axiom pravděpodobností ), kritériem existence okamžiku řádu $r$ je konvergence $\sum k \in I | k | r p k$ nebo $\int x \in I | x | r p ( x ) d x$ podle potřeby.

Vystředěný okamžik

Střed moment řádu $r \in ℕ$ z $X$ je definováno, pokud existuje, podle:

\ mu _ {r} \ triangleq {\ mathbb {E}} ([X - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r})

Podle věty o převodu tedy máme :

\ mu _ {r} = \ int _ {{x \ in I}} [x - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r} \, {\ mathrm {d}} F_ {X} ( X)

Tento Stieltjesův integrál lze přepsat:

pokud $X$ je diskrétní : $\ mu _ {r} = \ sum _ {{k \ in I}} [k - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r} \, p_ {k}$
pokud $X$ je absolutně spojité : $\ mu _ {r} = \ int _ {{x \ in I}} [x - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r} \, p (x) \, {\ mathrm {d} } X$

Podle konstrukce pak máme $μ 0 = 1$ a $μ 1 = 0$ .

Podle věty o převodu můžeme také napsat $μ r ( X ) = m r ( X - ? ( X ))$ .

Snížený centrovaný okamžik

Nastavením $μ = m 1$ a $σ = \sqrt μ 2$ se sníží na střed moment řádu $r \in ⟦2 + \infty⟦$ z $X$ je definováno, pokud existuje, podle:

\ beta _ {{r-2}} \ triangleq {\ mathbb {E}} \ left [\ left ({\ frac {X- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {r} \ right]

Máme tedy $β r -2 = μ r ⁄ σ r$ a konstrukčně $β 0 = 1$ .

Pozoruhodné okamžiky

Určité momenty, které se běžně používají k charakterizaci skutečné náhodné proměnné $X$ , jsou známé pod určitým jménem:

naděje , čas objednávky ; $\ mu \ triangleq m_ {1} = {\ mathbb {E}} (X)$
rozptyl , střed moment objednávky dva: a jeho druhá odmocnina směrodatná odchylka : ; $\ operatorname {V} (X) \ triangleq \ mu _ {2} = {\ mathbb {E}} [(X- \ mu) ^ {2}]$ $\ sigma \ triangleq {\ sqrt {\ operatorname {V} (X)}} = {\ sqrt {\ mu _ {2}}}$
koeficient asymetrie , redukuje na střed moment objednávky tři :; $\ gamma _ {1} \ triangleq \ beta _ {1} = {\ mathbb {E}} \ left [\ left ({\ frac {X- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {3} \ že jo]$
špičatost nejsou standardizovány, centrální moment snížen čtyři pořadí . $\ beta _ {2} = \ mathbb {E} \ left [\ left ({\ frac {X- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {4} \ right]$

Funkce generující momenty

Funkční generátor momentů $M X$ o skutečné náhodné veličiny $X$ je na exponenciální série generátor spojené se sekvencí $( m r ) r \in ℕ$ momentů z $X$ , definovaného v okolí 0 a za existence všechny momenty:

M_ {X} (t) \ triangleq \ sum _ {{r = 0}} ^ {{\ infty}} m_ {r} \, {\ frac {t ^ {r}} {r!}}

Může být také napsáno, v sousedství 0 a za předpokladu existence očekávání :

M_ {X} (t) = {\ mathbb {E}} \ vlevo ({\ mathrm {e}} ^ {{tX}} \ vpravo)

Tyto deriváty zopakováno při 0 ° C z této série exponenciálních generátor stojí:

M_ {X} ^ {{(r)}} (0) = m_ {r}

Vlastnosti

Dimenze

Buď $[ X ]$ velikost reálné náhodné proměnné $X.$ .

Obyčejné a vystředěné momenty řádu $r$ , pokud existují, mají rozměr $[ X ] r$ .

Demonstrace

Při zápisu $\int x \in I x r d F X ( x )$ momentu řádu $r$ má proměnná $x$ rozměr $[ X ]$ . Míra pravděpodobnosti $ℙ$ jako bezrozměrná veličina , distribuční funkce $F X$ , definovaná jako $\forall x \in I , F X ( x ) = ℙ ( X \leq x )$ , je také bezrozměrná, takže také pro její nekonečně malou $d F X ( x )$ . Takže $m r = \int x \in I x r d F X ( x )$ má rozměr $[ X r ]$ .

$? ( X ) = m 1$ pro rozměr $[ X ]$ , je to také případ $x - ? ( X )$ , proto $μ r = \int x \in I [ x - ? ( X )] r d F X ( x )$ má také rozměr $[ X r ]$ .

Snížený centrovaný moment řádu $r$ , pokud existuje, je bezrozměrná veličina .

Demonstrace

$μ 2$ mající pro rozměr $[ X 2 ]$ , $σ = \sqrt μ 2$ má pro rozměr $[ X ]$ , takže $β r -2 = μ r / σ r$ má pro rozměr $[X r / X r] = [1]$ .

Afinní transformace

V obyčejných dobách

Obyčejný moment řádu 1, pokud existuje, je lineární :

\ forall (\ theta, \ lambda) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, m_ {1} (\ theta \, X + \ lambda) = \ theta \, m_ {1} (X) + \ lambda

Demonstrace

Nechť $Λ = { λ }$ je konstantní náhodná proměnná rovná $λ$ s pravděpodobností 1. Překlad délky $λ$ hodnot náhodné proměnné odpovídá součtu této náhodné proměnné a $Λ$ : $θ X + λ ≜ θ X + Λ$ . S vědomím, že $? ( Λ ) = λ$ , tedy máme, podle linearity očekávání:

m_ {1} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ Lambda) = \ theta \, {\ mathbb {E}} (X) + {\ mathbb {E}} (\ Lambda) = \ theta \, {\ mathbb {E}} (X) + \ lambda = \ theta \, m_ {1} (X) + \ lambda

Obyčejný okamžik řádu $r > 1$ z $θ X + λ$ , pokud existuje, není vyjádřen pouze jako funkce momentu řádu $r$ z $X$ :

\ forall (\ theta, \ lambda) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, m_ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ theta ^ {{ri}} \, \ lambda ^ {i} \, m _ {{ri}} (X) = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ theta ^ {i} \, \ lambda ^ {{ri}} \, m_ {i} (X)

Demonstrace

Rozvíjením binomickou $( θ X + λ ) r$ a od linearity na očekávání, máme:

{\ displaystyle m_ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = \ mathbb {E} [(\ theta \, X + \ lambda) ^ {r}] = \ mathbb {E} \ vlevo [\ součet _ {i = 0} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, (\ theta \, X) ^ {i} \, \ lambda ^ {ri} \ right] = \ sum _ {i = 0 } ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ theta ^ {i} \, \ lambda ^ {ri} \, \ mathbb {E} (X ^ {i}) = \ sum _ {i = 0} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ theta ^ {i} \, \ lambda ^ {ri} \, m_ {i} (X).}

Zjistíme tedy linearitu $m 1$ a stálost $m 0$ .

Na soustředěné okamžiky

Centrovaný moment řádu $r$ , pokud existuje, je invariantní translací a homogenní stupně $r$ :

\ forall (\ theta, \ lambda) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, \ mu _ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = \ theta ^ {r} \, \ mu _ { r} (X)

Demonstrace 1

S vědomím, že $? ( θ X + λ ) = θ ? ( X ) + λ$ (viz afinní transformaci v běžném okamžiku řádu 1), máme:

(\ theta \, X + \ lambda) - {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ lambda) = \ theta \, X + \ lambda - \ theta \, {\ mathbb {E}} ( X) - \ lambda = \ theta \, [X - {\ mathbb {E}} (X)]

Od linearity na očekávání, proto musíme:

\ mu _ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ mathbb {E}} ([\ theta \, X + \ lambda - {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ lambda)] ^ {r}) = {\ mathbb {E}} (\ theta ^ {r} \, [X - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r}) = \ theta ^ {r } \, {\ mathbb {E}} ([X - {\ mathbb {E}} (X)] ^ {r}) = \ theta ^ {r} \, \ mu _ {r} (X)

Demonstrace 2

S vědomím, že $μ r ( X ) = m r ( X - ? ( X ))$ , funkce generování centrované momentů z $X$ je tedy funkcí generování běžných momentů z $X - ? ( X )$ :

{\ mathcal {M}} _ {X} (t) = M _ {{X - {\ mathbb {E}} (X)}} (t) = {\ mathbb {E}} \ vlevo (e ^ { {t [X - {\ mathbb {E}} (X)]}} \ vpravo)

S vědomím, že $( θ X + λ ) - ? ( θ X + λ ) = θ [ X - ? ( X )]$ (viz důkaz 1), máme tedy:

{\ mathcal {M}} _ {{\ theta \, X + \ lambda}} (t) = {\ mathbb {E}} \ left (e ^ {{t [(\ theta \, X + \ lambda) - {\ mathbb {E}} (\ theta \, X + \ lambda)]}} \ vpravo) = {\ mathbb {E}} \ vlevo (e ^ {{\ theta t [X - {\ mathbb {E }} (X)]}} \ vpravo) = {\ mathcal {M}} _ {X} (\ theta t)

Podle iterativní odvození této sloučeniny funkce , proto jsou:

{\ mathcal {M}} _ {{\ theta \, X + \ lambda}} ^ {{(r)}} (t) = [{\ mathcal {M}} _ {X} (\ theta t)] ^ {{(r)}} = \ theta ^ {r} {\ mathcal {M}} _ {X} ^ {{(r)}} (\ theta t)

Proto v 0:

\ mu _ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ mathcal {M}} _ {{\ theta \, X + \ lambda}} ^ {{(r)}} (0) = \ theta ^ {r} {\ mathcal {M}} _ {X} ^ {{(r)}} (0) = \ theta ^ {r} \ mu _ {r} (X)

Ve snížených soustředěných momentech

Tím, afinní transformace ze nenulovým koeficientem režie (takže $σ$ je nenulová), snížená střed moment řádu $r$ , pokud existuje, je jednoduše vynásobí znaménko koeficientu režijní umocněn $r$ :

\ forall (\ theta, \ lambda) \ in \ mathbb {R} ^ {*} \! \! \ times \! \ mathbb {R}, \ beta _ {{r-2}} (\ theta \, X + \ lambda) = \ operatorname {sgn} (\ theta) ^ {r} \, \ beta _ {{r-2}} (X)

Absolutní hodnota redukované středem okamžiku je tedy neměnný podle afinní transformací nenulovým sklonem.

Demonstrace

Směrodatná odchylka $θ X + λ$ se $rovná$ :

\ sigma _ {{\ theta \, X + \ lambda}} = {\ sqrt {\ mu _ {2} (\ theta \, X + \ lambda)}} = {\ sqrt {\ theta ^ {2} \ mu _ {2} (X)}} = | \ theta | \ sigma _ {X}

Snížená střed okamžiku objednávky $r$ o $t Vstup X + Á$ proto stojí:

\ beta _ {{r-2}} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ frac {\ mu _ {r} (\ theta \, X + \ lambda)} {\ sigma _ {{\ theta \, X + \ lambda}} ^ {{\ r}}}} = {\ frac {\ theta ^ {r} \ mu _ {r} (X)} {(| \ theta | \ sigma _ {X} ) ^ {r}}} = \ left ({\ frac {\ theta} {| \ theta |}} \ right) ^ {r} {\ frac {\ mu _ {r} (X)} {\ sigma _ {X} ^ {r}}} = \ operatorname {sgn} (\ theta) ^ {r} \, \ beta _ {{r-2}} (X)

Rozlišováním podle znaménka $θ$ a parity $r$ tedy můžeme psát:

\ forall (\ theta, \ lambda) \ in \ mathbb {R} ^ {*} \! \! \ times \! \ mathbb {R}, \ beta _ {r} (\ theta \, X + \ lambda) = {\ begin {cases} \ beta _ {r} (X) & {\ text {si}} \ theta> 0 {\ text {or}} r {\ text {is even}} \\ - \ beta _ {r} (X) & {\ text {si}} \ theta <0 {\ text {and}} r {\ text {je zvláštní}} \ end {případy}}

Aditivita

Nechť $X$ a $Y jsou$ dvě skutečné náhodné proměnné, pak máme:

$m_ {1} (X + Y) = m_ {1} (X) + m_ {1} (Y)$

Pokud $X$ a $Y$ jsou nezávislé , máme také:

$\ mu _ {2} (X + Y) = \ mu _ {2} (X) + \ mu _ {2} (Y)$
$\ mu _ {3} (X + Y) = \ mu _ {3} (X) + \ mu _ {3} (Y)$

Tato vlastnost aditivity existuje pouze pro tři konkrétní zmíněné momenty. Mezi rizikové opatření ověřující tuto vlastnost nazývají cumulants .

Vztahy mezi obyčejnými momenty a soustředěnými momenty

Okamžiky soustředěné jako funkce obyčejných okamžiků

Vystředěný okamžik řádu $r$ , pokud existuje, je zapsán:

\ mu _ {r} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, m _ {{ri}} \, (- m_ {1}) ^ {i } = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, m_ {i} \, (- m_ {1}) ^ {{ri}}

Demonstrace

Rozvojem binomické v expresi $u Stabilizátory r$ a u linearity v očekávání, máme:

\ mu _ {r} = {\ mathbb {E}} [(X-m_ {1}) ^ {r}] = {\ mathbb {E}} \ left [\ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, X ^ {{ri}} \, (- m_ {1}) ^ {i} \ right] = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r } C_ {r} ^ {i} \, {\ mathbb {E}} (X ^ {{ri}}) \, (- m_ {1}) ^ {i} = \ součet _ {{i = 0} } ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, m _ {{ri}} \, (- m_ {1}) ^ {i}

Poté, připomínaje, že $C. k n = C. n - k n$ , jeden získá druhý zápis změnou proměnné $i \mapsto r - i$ .

Připomeňme, že $m 0 = 1$ , jsou proto vyjádřeny první vystředěné momenty jako funkce obyčejných momentů:

\ mu _ {2} = m_ {2} -m_ {1} ^ {2}

\ mu _ {3} = m_ {3} -3 \, m_ {2} \, m_ {1} +2 \, m_ {1} ^ {3}

\ mu _ {4} = m_ {4} -4 \, m_ {3} \, m_ {1} +6 \, m_ {2} \, m_ {1} ^ {2} -3 \, m_ {1 } ^ {4}

\ mu _ {5} = m_ {5} -5 \, m_ {4} \, m_ {1} +10 \, m_ {3} \, m_ {1} ^ {2} -10 \, m_ {2 } \, m_ {1} ^ {3} +4 \, m_ {1} ^ {5}

\ mu _ {6} = m_ {6} -6 \, m_ {5} \, m_ {1} +15 \, m_ {4} \, m_ {1} ^ {2} -20 \, m_ {3 } \, m_ {1} ^ {3} +15 \, m_ {2} \, m_ {1} ^ {4} -5 \, m_ {1} ^ {6}

Obyčejné momenty jako funkce soustředěných momentů

Naopak nastavením $μ = ? ( X ) se zapíše$ běžný okamžik řádu $r$ , pokud existuje:

m_ {r} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ mu _ {{ri}} \, \ mu ^ {i} = \ sum _ { {i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ mu _ {i} \, \ mu ^ {{ri}}

Demonstrace

Rozvojem binomické exprese $m r$ a u linearity v očekávání, máme:

m_ {r} = {\ mathbb {E}} (X ^ {r}) = {\ mathbb {E}} [(X- \ mu + \ mu) ^ {r}] = {\ mathbb {E}} \ left [\ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, (X- \ mu) ^ {{ri}} \, \ mu ^ {i} \ right] = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, {\ mathbb {E}} [(X- \ mu) ^ {{ri}}]] \, \ mu ^ {i} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {r} C_ {r} ^ {i} \, \ mu _ {{ri}} \, \ mu ^ {i}

Poté, připomínaje, že $C. k n = C. n - k n$ , jeden získá druhý zápis změnou proměnné $i \mapsto r - i$ .

Připomeňme, že $μ 0 = 1$ a $μ 1 = 0$ , první obyčejné momenty jsou proto vyjádřeny jako funkce vystředěných momentů a $μ$ :

m_ {2} = \ mu _ {2} + \ mu ^ {2}

m_ {3} = \ mu _ {3} +3 \, \ mu _ {2} \, \ mu + \ mu ^ {3}

m_ {4} = \ mu _ {4} +4 \, \ mu _ {3} \, \ mu +6 \, \ mu _ {2} \, \ mu ^ {2} + \ mu ^ {4}

m_ {5} = \ mu _ {5} +5 \, \ mu _ {4} \, \ mu +10 \, \ mu _ {3} \, \ mu ^ {2} +10 \, \ mu _ {2} \, \ mu ^ {3} + \ mu ^ {5}

m_ {6} = \ mu _ {6} +6 \, \ mu _ {5} \, \ mu +15 \, \ mu _ {4} \, \ mu ^ {2} +20 \, \ mu _ {3} \, \ mu ^ {3} +15 \, \ mu _ {2} \, \ mu ^ {4} + \ mu ^ {6}

Nepředpojatý odhad běžných momentů

Ze vzorku ${ X 1 , X 2 , ..., X n }$ reálné náhodné proměnné $X$ lze použít jako odhad bez použití běžného okamžiku řádu $r$ , pokud existuje, následující odhad:

{\ hat {m_ {r}}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} X_ {i} ^ {{\ r}}

Momentový problém

Zatímco výpočet momentů spočívá ve stanovení momentů $m r$ daného pravděpodobnostního zákona $p$ , problém momentů spočívá naopak ve studiu existence a jedinečnosti pravděpodobnostního zákona $p,$ jehož momenty $m r$ jsou dány.

Rozšíření pojmu moment

Na modelu momentů $? ( X r )$ lze definovat další momenty:

reverzní bod 0 pořadí $r$ o $I ∌ 0$ : ; ${\ mathbb {E}} (X ^ {{- r}})$
logaritmická moment řádu $r$ o $I \subset ℝ * +$ : ; $\ mathbb {E} \ vlevo [\ ln ^ r (X) \ vpravo]$
faktoriál okamžik objednávky $r$ : ( klesající faktoriál ). $\ mathbb {E} \ left [(X) _r \ right]$

Poznámky a odkazy

Tento případ se stane například pro momenty lichého řádu sudé funkce definované na $ℝ$ : i když $\int x \inℝ | x r f ( x ) | d x se$ odchyluje, funkce $x \mapsto x r f ( x )$ je lichá, proto má sudý primitiv, tedy $\forall t \in ℝ, \int t - t x r f ( x ) d x = 0$ , takže $\int x \inℝ x r f ( x ) d x$ jekonvergentní nesprávný integrál rovný 0.
Z historických důvodů a v souladu se zápisem redukovaných kumulantů je koeficient asymetrie zaznamenán spíše $γ 1$ než $β 1$ .
Formálně vzato, s vědomím, že $μ 1 = 0$ , bychom mohli přidat degenerovaný případ $μ 1 ( X + Y ) = μ 1 ( X ) + μ 1 ( Y )$ , ale to neposkytuje žádné užitečné informace pro studium $X + Y$ .