Aritmeticko-geometrický průměr
Aritmetický-geometrický průměr ze dvou pozitivních reálných čísel je střední hodnota získaná jako hranice dvou sousedních sekvencí uspokojit vztah opakování , která používá vzorců aritmetických a geometrických průměrů .
Kvadratický sbližování těchto sekvencí umožňuje rychlé přiblížení o aritmetický-geometrický průměr, který je zejména spojen s délkou dne jako elipsy jako funkce délky jeho os.
Definice
Vzhledem k tomu, dva pozitivní reals a definujeme dvě pozitivní sekvence a , pokud jde o první , a splňující opakování vztahy:
na{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}(une){\ displaystyle (u_ {n})}(protine){\ displaystyle (v_ {n})}u0=na{\ displaystyle u_ {0} = a}proti0=b{\ displaystyle v_ {0} = b}
une+1=uneprotine{\ displaystyle u_ {n + 1} = {\ sqrt {u_ {n} v_ {n}}}}
protine+1=une+protine2{\ displaystyle v_ {n + 1} = {\ frac {u_ {n} + v_ {n}} {2}}}.
Oba apartmány a jsou přilehlé :
(une)ne≥1{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geq 1}}(protine)ne≥1{\ displaystyle (v_ {n}) _ {n \ geq 1}}protine≥une{\ displaystyle v_ {n} \ geq u_ {n}}for all (because ), so that is increasing ( ), is declining ( ), and so .ne≥1{\ displaystyle n \ geq 1}protine+1-une+1=(protine-une)22{\ displaystyle v_ {n + 1} -u_ {n + 1} = {\ frac {({\ sqrt {v_ {n}}} - {\ sqrt {u_ {n}}}) ^ {2}} { 2}}}(une)ne≥1{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geq 1}}une+1≥une{\ displaystyle u_ {n + 1} \ geq u_ {n}}(protine)ne≥1{\ displaystyle (v_ {n}) _ {n \ geq 1}}protine+1≤protine{\ displaystyle v_ {n + 1} \ leq v_ {n}}
0≤protine+1-une+1≤protine+1-une=protine-une2{\ displaystyle 0 \ leq v_ {n + 1} -u_ {n + 1} \ leq v_ {n + 1} -u_ {n} = {\ frac {v_ {n} -u_ {n}} {2} }}protine-une→0{\ displaystyle v_ {n} -u_ {n} \ až 0}
Podle věty sousedních sekvencí, a proto mají společný limit, nazývaný aritmeticko-geometrický průměr a .
(une){\ displaystyle (u_ {n})}(protine){\ displaystyle (v_ {n})}M(na,b){\ displaystyle M (a, b)}na{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}
Aritmeticko-geometrický průměr je skutečně průměr
Vzhledem ke dvěma pozitivním realům a ukážeme, že:
na{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}
-
M(na,b)=M(na+b2,nab){\ displaystyle M (a, b) = M \ vlevo ({\ frac {a + b} {2}}, {\ sqrt {ab}} \ vpravo)} ;
- proto ;M(na,b)=M(b,na){\ displaystyle M (a, b) = M (b, a)}
- - přímo z definice toho , - . Tato vlastnost, spojená s předchozí, znamená, že aritmeticko-geometrický průměr je (stejně jako všechny ostatní prostředky) symetrická a homogenní funkce řádu 1 v a ;t≥0{\ displaystyle t \ geq 0}M(tna,tb)=tM(na,b){\ displaystyle M (ta, tb) = tM (a, b)}na{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}
-
min(na,b)≤nab≤M(na,b)≤na+b2≤max(na,b){\ displaystyle \ min (a, b) \ leq {\ sqrt {ab}} \ leq M (a, b) \ leq {\ frac {a + b} {2}} \ leq \ max (a, b) }, rovnost nastává pouze když .na=b{\ displaystyle a = b}
Rychlost konvergence
Předpokládejme a předpokládejme .
0<b≤na{\ displaystyle 0 <b \ leq a}vs.ne: =protine-une{\ displaystyle c_ {n}: = v_ {n} -u_ {n}}
Z nárůstu
vyplývá, že tento proces má kvadratickou konvergenci .
vs.ne+1=(protine-une)22(protine+une)2≤vs.ne28b{\ displaystyle c_ {n + 1} = {\ frac {(v_ {n} -u_ {n}) ^ {2}} {2 ({\ sqrt {v_ {n}}} + {\ sqrt {u_ { n}}}) ^ {2}}} \ leq {\ frac {c_ {n} ^ {2}} {8b}}}
Vztah k eliptickému integrálu
Gauss navázal vztah mezi a eliptickým integrálem prvního druhu :
M(na,b){\ displaystyle M (a, b)}
M(na,b)=π2/∫0π2dθna2cos2θ+b2hřích2θ=π4⋅na+bK.(na-bna+b){\ displaystyle {\ begin {aligned} M (a, b) & = {\ frac {\ pi} {2}} {\ bigg /} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2} } {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + b ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}} \\ & = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot {\ frac {a + b} {K \ vlevo ({\ frac {ab} {a + b}} \ doprava)}} \ end {zarovnáno}}}kde K ( k ) je eliptický integrál prvního druhu:
K.(k)=∫0π2dθ1-k2hřích2(θ){\ displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2 } (\ theta)}}}}Ukázal ve skutečnosti, že integrál také ověřuje vztah . Proto máme indukcí na n , kde u n a v n jsou aritmeticko-geometrické sekvence související s a a b . Poté přejetím k limitu .
Já(na,b)=∫0π2dθna2cos2θ+b2hřích2θ{\ displaystyle I (a, b) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2 } \ theta + b ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}}Já(na,b)=Já(na+b2,nab){\ displaystyle I (a, b) = I \ left ({\ frac {a + b} {2}}, {\ sqrt {ab}} \ right)}Já(na,b)=Já(une,protine){\ displaystyle I (a, b) = já (u_ {n}, v_ {n})}Já(na,b)=Já(M(na,b),M(na,b))=π2M(na,b){\ displaystyle I (a, b) = I (M (a, b), M (a, b)) = {\ frac {\ pi} {2M (a, b)}}}
Gaussův vztah a rychlost konvergence dvou aritmeticko-geometrických posloupností k průměru dává rychlý prostředek k přesnému přibližnému numerickému výpočtu hodnoty eliptického integrálu .
M(na,b){\ displaystyle M (a, b)}Já(na,b){\ displaystyle I (a, b)}
Dějiny
Aritmeticko-geometrický průměr objevil nezávisle matematici Adrien-Marie Legendre a Carl Friedrich Gauss, kteří jej použili k přibližnému výpočtu délky oblouku libovolné elipsy, která je vyjádřena jako eliptický integrál , a dokonce je na původ zájmu v této oblasti analýzy. Analýzu vztahu mezi průměrnými aritmetické, geometrické a eliptických integrálů 1 st druhu, Gauss, ve svých matematických Cahiers upozornil na vztah (dává délku oblouku lemniscate Bernoulliho )
.
π2M(1,2)=∫01dt1-t4{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2M (1, {\ sqrt {2}})}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {1-t ^ {4}}}}}
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
viz například přednáška John Boxall , „ The aritmetický-geometrický průměr: aplikace a zobecnění “ , na pedagogické knihovny .
-
Viz článek Zobecněný průměr .
-
Srov. Carl Friedrich Gauss , Mathematisches Tagebuch 1796–1814: s historickým úvodem Kurt-R. Biermann , Frankfurt nad Mohanem, Harri Deutsch, kol. "Klassiker der Ostwalds exakten Wissenschaften" ( n o 256) ( repr. 2005, 5 th ed., Revidované a anotovaný Hans Wussing a Olaf Neumann), "98 (Brunswick 30. května, 1798)" : „ Terminum medium arithmetico-Geometricum inter 1 et esse usque ad figuram undecimam comprobavimus, qua re demonstrata prorsus novus campus in analysi certo aperietur. 2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}=πϖ{\ displaystyle = {\ frac {\ pi} {\ varpi}}} " Odtamtud je konstanta lemniscate studoval Gauss.ϖ: =2∫01dt1-t4{\ displaystyle \ varpi: = 2 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dt} {\ sqrt {1-t ^ {4}}}}}
Bibliografie
(en) ET Whittaker a GN Watson , Kurz moderní analýzy (en) , Cambridge, kol. "Cambridge Mathematical Library",2000, 4 th ed. ( 1 st ed. 1927), str. 515
Externí odkaz
Antoine Chambert-Loir , „ Pohádkový osud aritmeticko-geometrického průměru “ , na Katedře matematiky v Orsay
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">