Lagrangeův multiplikátor

V matematice a konkrétněji v analýze umožňuje metoda Lagrangeových multiplikátorů najít stacionární body (maximum, minimum ...) funkce diferencovatelné od jedné nebo více proměnných pod omezeními.

Hotový rozměr

Snažíme se najít extrém, minimum nebo maximum, o funkci cp z n proměnných s hodnotami v reálných číslech, nebo z euklidovské prostoru dimenze n , mezi body respektování omezení, typu ln ( x ) = 0, kde ψ je funkce stejné počáteční množiny jako φ . Funkce ψ má hodnoty v euklidovském prostoru dimenze m . To může také být viděno jako m funkce se skutečnými hodnotami, popisující m omezení.

Pokud má euklidovský prostor dimenzi 2 a má-li funkce ψ hodnoty v ℝ, které odpovídají jednodimenzionálnímu omezení, situaci ilustruje obrázek podobný obrázku vpravo. Otázkou je najít nejvyšší bod, tj. Maximum φ , v sadě červených bodů, to znamená těch, které ověřují omezení. Hledaným bodem je místo, kde červená křivka ani stoupá, ani neklesá. Z technického hlediska, což odpovídá místu, kde rozdíl od ln má jádro kolmá k přechodu z cp v tomto bodě. Metoda Lagrangeova multiplikátoru nabízí nezbytnou podmínku. Funkce φ a ψ jsou diferencovatelné a jejich diferenciály spojité; mluvíme o třídní funkci C 1 . Považujeme λ za vektor přijatý v příchozí sadě ψ a funkci L definovanou:

L(X,λ)=φ(X)+λ⋅ψ(X).{\ displaystyle L (x, \ lambda) = \ varphi (x) + \ lambda \ cdot \ psi (x).}

Tato funkce se někdy nazývá Lagrangeova .

Operátor reprezentovaný bodem je zde tečkovaný produkt . Pokud je x 0 požadovaným řešením, ukážeme, že existuje vektor λ 0 takový, že funkce L připouští nulový rozdíl v bodě ( x 0 , λ 0 ). Souřadnice vektoru λ 0 - nebo někdy i opačného vektoru - se nazývají Lagrangeovy multiplikátory. Tato technika umožňuje přejít od otázky optimalizace v omezeném stavu k optimalizaci bez omezení, u funkce L , v prostoru dimenze n + m .

Úvodní příklad

Nechť v 0 je přísně kladné číslo. Cílem je najít část válce o poloměru r a výšce h minimální plochy (včetně krytů) a objemu v 0 . Za tímto účelem definujeme dvě funkce, v a s, které spojují ( r , h ) příslušně objem a povrch části válce. Máme rovnost

∀r,h∈R+proti(r,h)=πr2has(r,h)=2πr(r+h).{\ displaystyle \ forall r, h \ in \ mathbb {R} _ {+} \ quad v (r, h) = \ pi r ^ {2} h \ quad {\ text {and}} \ quad s (r , h) = 2 \ pi r (r + h).}

Obrázek vpravo představuje funkci s , která r a h sdružuje povrch. Modrá čára odpovídá bodům objemu rovným 1. Cílem je najít modrý bod menší plochy pro objem rovný 1. Funkce s není nic jiného než funkce φ preambule. Funkce ψ a funkce L jsou definovány:

∀r,h∈R+ψ(r,h)=proti(r,h)-proti0a∀λ∈RL(r,h,λ)=s(r,h)+λψ(r,h).{\ displaystyle \ forall r, h \ in \ mathbb {R} _ {+} \ quad \ psi (r, h) = v (r, h) -v_ {0} \ quad {\ text {a}} \ quad \ forall \ lambda \ in \ mathbb {R} \ quad L (r, h, \ lambda) = s (r, h) + \ lambda \ psi (r, h).}

Lagrangeova metoda spočívá v nalezení bodu takového, že rozdíl L je nula. V takovém bodě je parciální derivace ve srovnání s λ nulová, což znamená, že funkce ψ je nulová, nebo že je respektováno omezení. Pokud identifikujeme s s jeho tečnou lineární aproximací, jeho chování na napětí, také identifikované s jeho tečnou lineární aproximací, je také nutně nulové od řádu 1. Toto chování je na obrázku znázorněno zelenou čarou. Podél této linie je funkce ψ nula a člen řádu 1 funkce s pak nutně je.

Postačí tedy vypočítat diferenciál L a přesněji jeho tři parciální derivace pro zvolený příklad:

∂L∂r=2π(h+2r+λhr)=0,∂L∂h=π(2r+λr2)=0,∂L∂λ=πr2h-proti0=0.{\ displaystyle {\ frac {\ částečné L} {\ částečné r}} = 2 \ pi (h + 2r + \ lambda hr) = 0, \; {\ frac {\ částečné L} {\ částečné h}} = \ pi (2r + \ lambda r ^ {2}) = 0, \; {\ frac {\ částečné L} {\ částečné \ lambda}} = \ pi r ^ {2} h-v_ {0} = 0. }

Najdeme následující hodnoty:

r=-2λ=(proti02π)1/3,h=-4λ=2(proti02π)1/3aλ=-2(2πproti0)1/3.{\ displaystyle r = - {\ frac {2} {\ lambda}} = \ left ({\ frac {v_ {0}} {2 \ pi}} \ right) ^ {1/3}, \; h = - {\ frac {4} {\ lambda}} = 2 \ left ({\ frac {v_ {0}} {2 \ pi}} \ right) ^ {1/3} \; {\ text {and}} \; \ lambda = -2 \ left ({\ frac {2 \ pi} {v_ {0}}} \ right) ^ {1/3}.}

Jinými slovy :

h=2r{\ displaystyle h = 2r \;}a odkud .proti0=πr2h{\ displaystyle \; v_ {0} = \ pi r ^ {2} h}s=6πr2{\ displaystyle s = 6 \ pi r ^ {2}}

Tento příklad má výhodu jednoduchého grafického znázornění, které vede intuici. Na druhou stranu metoda Lagrangeova multiplikátoru není v tomto případě nutná: lze jednoduše vyjádřit hodnotu h tak, aby objem válce respektoval omezení uložené v objemu v 0 . Shledáváme :

h=proti0πr2.{\ displaystyle h = {\ frac {v_ {0}} {\ pi r ^ {2}}}.}

Vložením tohoto omezení do rovnice popisující oblast přijde:

s=2πr2+2proti0r{\ displaystyle s = 2 \ pi r ^ {2} + {\ frac {2v_ {0}} {r}}}

a k nalezení řešení stačí najít hodnotu r minimalizující tuto funkci. Stejně jako u Lagrangeova multiplikátoru najdeme:

h=2r.{\ displaystyle h = 2r.}

Druhý příklad: izoperimetrie trojúhelníku

Abychom byli přesvědčeni o důležitosti metody, lze hledat trojúhelník maximální plochy a obvodu p , zvolený přísně pozitivní. Podle Heronova vzorce platí , že pokud ( x , y , z ) je triplet délek stran trojúhelníku, jeho plocha A se rovná:

NA=14(X2+y2+z2)2-2(X4+y4+z4).{\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2} -2 (x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4})}}.}

Je jednodušší maximalizovat funkce cp , který asociuje ( x, y, z ), čtyřikrát čtverec A . Omezení je dáno funkcí ψ, která spojuje s trojúhelníkem rozdíl obvodu a p  :

φ(X,y,z)=14[(X2+y2+z2)2-2(X4+y4+z4)]aψ(X,y,z)=X+y+z-p.{\ displaystyle \ varphi (x, y, z) = {\ frac {1} {4}} \ vlevo [(x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2} - 2 (x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4}) \ right] \ quad {\ text {et}} \ quad \ psi (x, y, z) = x + y + zp. }

Pro triplet ( x , y , z ) je definován trojúhelník , pouze pokud jsou tři souřadnice kladné a pokud je součet dvou souřadnic větší než třetí. Nechť D je tato sada bodů. Na okraji města D , funkce φ je nulová. Se podíváme na místě v interiéru části D takové, že φ je maximální v sadě obrazových bodů ψ nula. Protože průsečík recipročního obrazu 0 o ψ a D je kompaktní , existuje alespoň maximum. Stejně jako v předchozím příkladu definujeme funkci L pomocí:

L(X,y,z,λ)=φ(X,y,z)+λψ(X,y,z).{\ displaystyle L (x, y, z, \ lambda) = \ varphi (x, y, z) + \ lambda \, \ psi (x, y, z).}

Hledáme x , y , z, které jsou přísně pozitivní a λ takové, že rozdíl L je nula. Výpočet částečné derivace ukazuje, že tato čtyřčata jsou řešením soustavy rovnic:

{∂L∂X=X(-X2+y2+z2)+λ=0,∂L∂y=y(X2-y2+z2)+λ=0,∂L∂z=z(X2+y2-z2)+λ=0∂L∂λ=X+y+z-p=0.{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {zarovnáno} {\ frac {\ částečné L} {\ částečné x}} & = x (-x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) + \ lambda = 0, \ quad {\ frac {\ částečné L} {\ částečné y}} = y (x ^ {2} -y ^ {2} + z ^ {2}) + \ lambda = 0, \ quad {\ frac {\ částečné L} {\ částečné z}} = z (x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2}) + \ lambda = 0 \\ {\ frac {\ částečné L } {\ částečné \ lambda}} & = x + y + zp = 0. \ end {zarovnáno}} \ vpravo.}

Poté zkontrolujeme, zda je jediným řešením odpovídající rovnostranný trojúhelník. X=y=z=p3{\ displaystyle x = y = z = {\ frac {p} {3}}}

Poznámka Cílem je ilustrovat Lagrangeovu multiplikační metodu. Našli jsme maximum funkce φ ve vnitřku D , pod omezením definovaným ψ . Pokud je cílem pouze řešení izoperimetrické úlohy pro trojúhelník, je v článku o izoperimetrii uvedeno jednodušší řešení .

Zápisy a geometrická interpretace

Nechť E a F se dva skutečné vektorové prostory příslušných rozměrů n a m s n větší než m . Nechť φ je funkce od E do ℝ, kterou se snažíme minimalizovat: hledáme bod a tak, aby φ ( a ) bylo co nejmenší. Nechť ψ je funkce od E do F , definující omezení. Množina, na které pracujeme, je G , což odpovídá bodům x takovým, že ψ ( x ) = 0.

Pokud se ( E 1 , ..., e n ) je základem E , přičemž každý bod x z E je vyjádřena jako lineární kombinace prvků základě:

X=∑i=1neXiEi.{\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} e_ {i}.}

Tato poznámka umožňuje vidět funkce φ a ψ dvěma způsoby. Mohou být považovány za funkce jedné proměnné x z E , což činí psaní stručnějším a podporuje jednodušší, ale abstraktnější chápání zapojených mechanismů. Aplikace lze také považovat za funkce n proměnných x 1 ,…, x n , což představuje těžší, ale snazší formulaci pro skutečné výpočty. Prostor F má rozměr m. Pokud ( f 1 ,…, f m ) je základem F , lze funkci ψ také považovat za m funkcí n proměnných:

∀X∈E,ψ(X)=∑j=1mψj(X)Fj{\ displaystyle \ forall \, x \ v E, \ quad \ psi (x) = \ součet _ {j = 1} ^ {m} \ psi _ {j} (x) f_ {j}}

nebo

∀(X1,...,Xne)∈Rne,ψ(X1,⋯,Xne)=∑j=1mψj(X1,⋯,Xne)Fj.{\ displaystyle \ forall \, (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ quad \ psi (x_ {1}, \ cdots, x_ {n} ) = \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ psi _ {j} (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) f_ {j}.}

Na množinu G lze nahlížet jako na jedinečné omezení vyjádřené funkcí s hodnotami v F nebo dokonce jako omezení m vyjádřená rovností ψ j ( x ) = 0, se skutečnými hodnotami.

Funkce φ a ψ jsou třídy C 1 , což znamená, že jsou diferencovatelné , jinými slovy, každá z nich připouští tangenciální lineární mapu v každém bodě. Termín C 1 také znamená, že mapy, které v bodě spojují diferenciály buď φ nebo ψ , jsou spojité.

Hledané optimum splňuje vlastnost podobnou vlastnosti Rolleovy věty . Důsledek této věty, ilustrovaný vlevo, naznačuje, že optimum, maximum nebo minimum, pokud leží v otevřeném intervalu] a , b [, má vodorovnou tečnu, což opět znamená, že jeho rozdíl je nula. Výsledek této povahy je vyhledávaný. Můžeme si to představit na obrázku vpravo, pokud jsou n a m rovna 2 a 1. Reprezentujeme φ ( na obrázku vpravo je to f ) jeho obrysovými čarami , jako geografové. Šipky představují gradient funkce φ . Diferenciál φ v bodě je lineární mapa E v ℝ, tj. Duální forma . Je zvykem považovat E za euklidovský prostor , zvolit ortonormální bázi E a identifikovat diferenciál s vektorem E, který představuje duální formu. V tomto případě je zapsána tečná lineární aproximace:

∀X,h∈Eφ(X+h)=φ(X)+Grnadφ(X)⋅h+Ó(h)sGrnadφ(X)=∑i=1ne∂φ∂XiEi.{\ displaystyle \ forall x, h \ in E \ quad \ varphi (x + h) = \ varphi (x) + \ mathrm {grad} \, \ varphi (x) \ cdot h + o (h) \ quad { \ text {with}} \ quad \ mathrm {grad} \, \ varphi (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné x_ {i}} } e_ {i}.}

Písmeno o označuje malé o podle Landauovy notace a bod mezi gradientem φ a h symbolizuje skalární součin . Vektor přechodu je kolmý k vrstevnici, ve směru zvyšujících se hodnot φ a normy úměrné rychlosti zvyšování φ v tomto směru. Omezení splňuje analogickou vlastnost, protože je také diferencovatelné. Studovaná množina je hodnot x tak, že ψ (x) je nula. Pokud x 0 je element G , sousední body x 0 do G mít také nulovou obraz ln , jinými slovy, je prostor tečna ke G v bodě x 0 je tvořen zvyšuje h o x 0 , které mají nula obrazu o rozdíl ψ . Směr tečného prostoru je jádrem diferenciální mapy ψ . Analýza pomocí souřadnicových funkcí ψ i vyjadřuje tento výsledek naznačením, že tečný prostor je průsečíkem ortogonálních hyperplánů gradientů ψ i .

Analýza v optimálním hledaném bodě x 0 naznačuje v aproximaci prvního řádu, že posunutí h ve směru prostoru tečna k G nemůže zvýšit hodnotu φ . To znamená, že posun h je nutně kolmý k gradientu φ v x 0 . Takto se v této souvislosti překládá Rollova věta. Geometricky to znamená, že modrá obrysová čára a červená čára jsou tečny k bodu zájmu. Analyticky to vede ke skutečnosti, že jádro diferenciálu ψ při x 0 je v tomto bodě kolmé k gradientu φ .

Intuitivní přístup k teorému

V této fázi může být užitečné poskytnout intuitivní přístup k větě a uvést příklad obecné hodnoty. Uvažujme tedy jako dříve diferencovatelnou funkci φ ( x , y , z ) z ℝ 3 v ℝ, z nichž navrhujeme najít extrémy pod jedinečným omezením ψ ( x , y , z ) = 0, s ψ: ℝ 3 → ℝ rozlišitelné. Poté uvidíme, jak se vypořádat se dvěma omezeními.

Nejprve si připomeňme, že je zapsán rozdíl φ v bodě M v prostoru

dφ=∂φ∂XdX+∂φ∂ydy+∂φ∂zdz{\ displaystyle d \ varphi = {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné x}} dx + {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné y}} dy + {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné z}} dz},

buď poznámkou φ 'vektoru (∂φ∂X,∂φ∂y,∂φ∂z),{\ displaystyle ({\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné x}}, {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné y}}, {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné z} }),}

dφ=φ′(M)⋅(dX,dy,dz)=φ′(M)⋅dM.{\ Displaystyle d \ varphi = \ varphi '(M) \ cdot (dx, dy, dz) = \ varphi' (M) \ cdot dM.}

Výklad dobře známý z těchto vztahů je, že pohyb nekonečně vektoru M v bodě M indukuje nekonečně variaci funkce cp, která se rovná skalární součin cp ‚(φ vektor nazvaný gradient) s M .

Uvažujme nyní omezení ψ ( x , y , z ) = 0, které definuje povrch S v prostoru, alespoň lokálně. Je zřejmé, že problém se rovná hledání extrémní body omezení cp na S . Diferenciál ψ v bodě M prostoru je zapsán, jako dříve,

dψ=ψ′(M)⋅dM.{\ displaystyle d \ psi = \ psi '(M) \ cdot dM.}

Tento vztah platí zejména v případě, že bod M je na S . Ale předpokládejme navíc, že ​​jeden omezuje nekonečně malé posunutí d M, které má být provedeno na S ; pak protože ψ je na S identicky nula , je to stejné pro jeho nekonečně malou variaci na S , a d M proto musí ověřit vztah

ψ′(M)⋅dM=0.{\ displaystyle \ psi '(M) \ cdot dM = 0.}

Vzhledem k tomu, d M je libovolná ze S , to znamená, že ψ (M) je kolmý na S v bodě M .

Nyní, pokud je omezení φ na S extrémní v bodě M (to, co hledáme), pak pro jakékoli nekonečně malé posunutí d M v M probíhající na S musí být odpovídající nekonečně malá variace φ nulová: můžeme být spokojení cítit tuto skutečnost, nebo se spolehnout na homologii s funkcí jedné reálné proměnné, nebo ji formálně zdůvodnily tím, že zvažuje křivky parametrizovat na s procházející M a odvozeného vektoru v poměrné M až d M .

Matematicky to znamená

φ′(M)⋅dM=0,dM Tak určitě S.{\ displaystyle \ varphi '(M) \ cdot dM = 0, \ quad dM \ {\ text {on}} \ S.}

Tedy φ '( M ) musí být kolmé na d M , stejně jako ψ' ( M ) je z toho, co jsme viděli výše. Je totéž říci, že φ '( M ) je kolineární s ψ' ( M ), nebo jinak

φ′(M)=λψ′(M)sλ∈R.{\ displaystyle \ varphi '(M) = \ lambda \ psi' (M) \ quad {\ text {s}} \ quad \ lambda \ in \ mathbb {R}.}

Tuto relaci můžeme napsat do formuláře

φ′(M)-λψ′(M)=0=grad(φ-λψ)(M).{\ displaystyle \ varphi '(M) - \ lambda \ psi' (M) = 0 = {\ text {grad}} (\ varphi - \ lambda \ psi) (M).}

Tato rovnice, spojená s původní rovnicí omezení ψ (M) = 0, představuje Lagrangeovu multiplikátorovou metodu.

V případě dvou napětí ψ 1 (M) = 0 a ψ 2 (M) = 0 dochází k průsečíku dvou napěťových ploch, tj. Křivky obecně. Problém se tentokrát vrací k hledání extrémů omezení od φ do ?. Platí stejné uvažování jako výše, ale d M bude tentokrát vyžadováno, aby patřilo k ?, tj. Aby bylo kolmé k podprostoru T generovanému vektory ψ ' 1 (M) a ψ' 2 (M). Extrémními body tedy budou body M takové, že φ '( M ) ∈ T , nebo jinak

φ′(M)=λ1ψ1′(M)+λ2ψ2′(M).{\ displaystyle \ varphi '(M) = \ lambda _ {1} \ psi' _ {1} (M) + \ lambda _ {2} \ psi '_ {2} (M).}

Stejně jako dříve následuje metoda Lagrangeových multiplikátorů okamžitě.

Stejné uvažování platí v euklidovských prostorech dimenze n > 3, kde je objektivní funkce podrobena n- 1 omezujícím rovnicím s n proměnnými: stačí nahradit pojem „povrch“ pojmem „nadrovina“.

Věty

Problém, který je třeba vyřešit, je najít následující minimum:

∀X∈EminX∈Gφ(X)sG={X∈E∣ψ(X)=0}.{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad \ min _ {x \ in G} \ varphi (x) \ quad {\ text {with}} \ quad G = \ {x \ in E \ mid \ psi (x ) = 0 \}.}

Funkce cp a ψ nejsou nutně definovány na všech E , ale alespoň na otvorech v E , kde mají být diferencovatelná, s D ¥ ? 0 . Kromě toho doménou definice cp má neprázdný průnik s G .

Lagrangeova multiplikátorová metoda je založena na větě.

Lagrangeova věta o multiplikátoru  -  Pokud je bod x 0 lokálním extremem φ v množině G , pak jádro diferenciálu ψ v bodě x 0 je kolmé k gradientu φ v tomto bodě.

Jednodušší: v bodě x 0 je jádro Dψ ( x 0 ) zahrnuto do jádra Dφ ( x 0 ), to znamená podle vlastností lineárních forem  : Dφ ( x 0 ) je lineární kombinace Dψ 1 ( x 0 ),…, Dψ m ( x 0 ), kde ψ j jsou složky ψ na základě F ( viz výše ). Jinými slovy :

∃(λj)∈RmDφ(X0)+∑j=1mλjDψj(X0)=0{\ displaystyle \ existuje (\ lambda _ {j}) \ v \ mathbb {R} ^ {m} \ quad \ mathrm {D} \ varphi (x_ {0}) + \ součet _ {j = 1} ^ { m} \ lambda _ {j} \, \ mathrm {D} \ psi _ {j} (x_ {0}) = 0}.

Tato jednodušší formulace zdůrazňuje multiplikátor . Pokud si to přejeme přepsat z hlediska gradientů, je nutné vybavit F skalárním součinem tak, aby jeho základna byla ortonormální, symbol t znamená transpozici lineární mapy  ; definuje aplikaci duálu F , zde identifikovaného s F v duálu E , stále identifikovaného s E  :

Důsledek 1  -  V případě, že bod x 0 je lokální extrém cp v sadě G a v případě diferenciálu ln v bodě x 0 surjective existuje vektoru lambda 0 z F tak, že součet obrazu lambda 0 transpozicí rozdílu ψ v bodě x 0 a gradientu φ v tomto bodě je nula:

∃λ0∈FGrnadφ(X0)+tDψX0(λ0)=0.{\ displaystyle \ existuje \ lambda _ {0} \ in F \ quad \ mathrm {grad} \; \ varphi (x_ {0}) + {} ^ {t} \! D \ psi _ {x_ {0}} (\ lambda _ {0}) = 0,}

Ve formě souřadnic získáme:

∃(λj)∈RmGrnadφ(X0)+∑j=1mλjGrnadψj(X0)=0.{\ displaystyle \ existuje (\ lambda _ {j}) \ v \ mathbb {R} ^ {m} \ quad \ mathrm {grad} \; \ varphi (x_ {0}) + \ součet _ {j = 1} ^ {m} \ lambda _ {j} \, \ mathrm {grad} \; \ psi _ {j} (x_ {0}) = 0.}

Druhý důsledek je pragmatičtější, protože nabízí efektivní metodu pro určení extrému. Odpovídá metodě použité v úvodním příkladu.

Důsledek 2  -  V případě, že bod x 0 je lokální extrém cp v sadě G a v případě diferenciálu ln v bodě x 0 surjective, pak existuje vektoru lambda 0 z F tak, že funkce L z E x F v ℝ připouští nulový gradient v ( x 0 ,  λ 0 ):

∀(X,λ)∈E×FL(X,λ)=φ(X)+λ⋅ψ(X)aDLX0,λ0=0.{\ displaystyle \ forall (x, \ lambda) \ v E \ krát F \ quad L (x, \ lambda) = \ varphi (x) + \ lambda \ cdot \ psi (x) \ quad {\ text {a} } \ quad DL_ {x_ {0}, \ lambda _ {0}} = 0.}

Tyto věty mají některé slabosti podobné povahy jako Rolleova věta. Podmínka je nutná, ale nedostatečná. Bod nulové derivace pro Rolle nebo splňující hypotézy Lagrangeovy multiplikační věty nemusí být nutně maximem nebo minimem. Pak, i když je tento bod extrémem, je pouze lokální. Pokud je nalezeno řešení x 0 , nic nenaznačuje, že tento lokální extrém je nejlepší. Lineární aproximace neurčuje, zda je toto optimum maximální nebo minimální. Nakonec, stejně jako v případě Rolleovy věty, pokud definiční domény nejsou otevřené, je možné, že hraniční bod je optimum, které teorém neověří. Na obrázku vlevo jsou tedy f ( a ) a f ( b ) minima, ale derivace není nulová ani v a , ani v b .

Demonstrace

Existují dvě slavné metody prokázání Lagrangeových výsledků. První se často nazývá trestová metoda , spočívá v zvážení posloupnosti (χ k ) definované takto:

χk(X)=ϕ(X)+k2‖ψ(X)‖2+α‖X-X0‖2,α>0.{\ displaystyle \ chi _ {k} (x) = \ phi (x) + {\ frac {k} {2}} \ | \ psi (x) \ | ^ {2} + \ alpha \ | x-x_ {0} \ | ^ {2}, \ quad \ alpha> 0.}

Posloupnost minim těchto funkcí má sklon k x 0 .

Druhá metoda používá teorém implicitních funkcí .

Zde se používá derivát této metody. Věta se nepoužívá, ale nerovnosti v základu důkazu jsou přítomny v důkazu.

• Případ, kde ψ je afinní funkce:

Demonstrace tohoto konkrétního případu není pro obecný případ nutná, na druhou stranu to umožňuje pochopit použitou logiku a opravit notace. Nechť x 1 je bod E takový, že rozdíl ψ má jádro, které není v ortogonálu gradientu φ . Ukazujeme, že x 1 není extremum. Opak tohoto výsledku nám umožňuje uzavřít.

Podle hypotézy existuje vektorový prvek k 1 jádra diferenciálu ψ v bodě x 1 (který je také stejný v každém bodě, protože ψ je afinní mapa) a který není kolmý k přechodu. Jeden zvolí k 1 normy 1 a směr tak, aby skalární součin tohoto vektoru s gradientem byl přísně pozitivní. Tento skalární součin označíme α. Pokud to je pozitivní reálné, rovnost definující sklon použita k vektoru sk 1 IS

φ(X1+sk1)=φ(X1)+sα+Ó(s).{\ displaystyle \ varphi (x_ {1} + sk_ {1}) = \ varphi (x_ {1}) + s \ alpha + o (s).}

Pokud je s zvoleno dostatečně malé, pak o ( s ) lze zvolit menší, v absolutní hodnotě, než jakákoli přísně pozitivní konstanta, která násobí s , například: s α / 2. Formálně:

∃μ>0,∀s∈]0,μ[φ(X1+sk1)≥φ(X1)+sα-sα2=φ(X1)+sα2.{\ displaystyle \ existuje \ mu> 0, \; \ forall s \ in] 0, \ mu [\ quad \ varphi (x_ {1} + sk_ {1}) \ geq \ varphi (x_ {1}) + s \ alpha - {\ frac {s \ alpha} {2}} = \ varphi (x_ {1}) + {\ frac {s \ alpha} {2}}.}

Skutečnost, že se obraz ln o x 1 + sk 1 je prvkem G , stejně jako předcházející zvýšení, ukazují, že x 1 nemůže být lokální maximum. Volbou s negativní ukážeme, že ani x 1 nemůže být lokálním minimem.

• Obecný případ:

V obecném případě, lze předpokládat, že x 1 + SK 1 je část G . Situaci ilustruje obrázek vpravo. Sada G je znázorněna modře, gradient φ červeně a čára směrovaná k 1 zeleně. Pro hodnoty s dostatečně malé, vytvořili jsme vektor K , které se rovnají sk 1 a v blízkosti G . Technika analogická s teorémem implicitní funkce umožňuje najít bod x 2 , dostatečně blízký x 1 + k , aby bylo možné předchozí uvažování použít s několika úpravami. Tato technika spočívá ve stanovení čtyř nerovností, které ukazují požadovaný výsledek.

První nerovnost: Spočívá v použití definice přechodu v bodě x 1, ale tentokrát platné pro jakýkoli vektor dostatečně malé normy: (1)∀proti∈E‖proti‖≤2μ1⇒φ(X1+proti)≥φ(X1)+Grnadφ(X1)⋅proti-α8‖proti‖.{\ displaystyle (1) \ quad \ forall v \ in E \ quad \ | v \ | \ leq 2 \ mu _ {1} \ Rightarrow \ varphi (x_ {1} + v) \ geq \ varphi (x_ {1 }) + \ mathrm {grad} \, \ varphi (x_ {1}) \ cdot v - {\ frac {\ alpha} {8}} \ | v \ |.}

Ve srovnání s konkrétním afinním případem je konstanta zvolena trochu jinak, nyní se rovná α / 8. Zóna, ve které je nárůst kontrolován, je mírně upravena, nyní odpovídá vektorům norem menších než 2 μ 1 . Technické důvody těchto úprav se objevují na konci této ukázky.

Druhá nerovnost: Druhá nerovnost umožňuje omezit normu vektoru, znázorněnou nebesky modrou a která musí být přidána k x 1 + sk 1, aby se našel bod G, který ukazuje, že x 1 není lokální maximum. Cílem je ukázat, že existuje přísně pozitivní reálný m takový (2)∀X∈BX1,∀proti∈Eproti∈(K.ErDψX)⊥⇒‖proti‖≤‖DψX(proti)‖m.{\ displaystyle (2) \ quad \ forall x \ in {\ mathcal {B}} _ {x_ {1}}, \; \ forall v \ in E \ quad v \ in (KerD \ psi _ {x}) ^ {\ bot} \ Rightarrow \ | v \ | \ leq {\ frac {\ | D \ psi _ {x} (v) \ |} {m}}.} Zde symbol B x 1 označuje kouli se středem x 1 a poloměrem 1. K určení tohoto výsledku používáme dvě vlastnosti kompaktů . Spojitá funkce je na kompaktu rovnoměrně spojitá , poté dosáhne dolní meze. Diferenciál ψ v kterémkoli bodě je spojitý, jako každá lineární mapa v konečné dimenzi. Je-li složen z normy, také spojité, dosahuje dolní meze na průsečíku ortogonálu jejího jádra a jednotkové sféry. Tato křižovatka je skutečně kompaktní. Říkáme f funkci, která spojuje tuto dolní hranici s lineární mapou od E do F. Konstrukčně nemůže nabývat nulové hodnoty. Potom uvažujeme funkci g , která s x prvkem E spojuje obraz s f diferenciálu ψ v bodě x . Jakmile byla prokázána jeho spojitost na uzavřené kouli se středem x 1 a poloměrem 1, víme, že tato funkce dosahuje svého minima m . Zvýšení (2) definuje toto minimum.K určení nerovnosti (2) tedy stačí prokázat kontinuitu g . Aplikace na x sdruží diferenciál ψ v bodě x je spojitá hypotézou. Je proto rovnoměrně spojitá na kouli se středem x 1 a poloměrem 1:∀ϵ>0,∃ν>0,∀y1,y2∈BX1‖y1-y2‖<ν⇒‖Dψy1-Dψy2‖<ϵ.{\ displaystyle \ forall \ epsilon> 0, \; \ existuje \ nu> 0, \; \ celkem y_ {1}, y_ {2} \ v {\ mathcal {B}} _ {x_ {1}} \ quad \ | y_ {1} -y_ {2} \ | <\ nu \ Rightarrow \ | D \ psi _ {y_ {1}} - D \ psi _ {y_ {2}} \ | <\ epsilon.} Nechť v 1 (resp. V 2 ) být jednotkový vektor tak, žeF(Dψy1)=Dψy1(proti1)aF(Dψy2)=Dψy2(proti2).{\ displaystyle f (D \ psi _ {y_ {1}}) = D \ psi _ {y_ {1}} (v_ {1}) \ quad {\ text {a}} \ quad f (D \ psi _ {y_ {2}}) = D \ psi _ {y_ {2}} (v_ {2}).} Prostor lineárních map od E do F je vybaven normou, která s mapou spojuje horní hranici norem jejího obrazu jednotkové koule. Protože body y 1 a y 2 jsou voleny ve vzdálenosti menší než jeden od druhého, máme nárůstν{\ displaystyle \ nu}F(Dψy1)=‖Dψy1(proti1)‖≤‖Dψy1(proti2)‖≤‖Dψy1(proti2)‖-‖Dψy2(proti2)‖+‖Dψy2(proti2)‖≤‖Dψy2(proti2)‖+ϵ=F(Dψy2)+ϵ.{\ displaystyle f (D \ psi _ {y_ {1}}) = \ | D \ psi _ {y_ {1}} (v_ {1}) \ | \ leq \ | D \ psi _ {y_ {1} } (v_ {2}) \ | \ leq \ | D \ psi _ {y_ {1}} (v_ {2}) \ | - \ | D \ psi _ {y_ {2}} (v_ {2}) \ | + \ | D \ psi _ {y_ {2}} (v_ {2}) \ | \ leq \ | D \ psi _ {y_ {2}} (v_ {2}) \ | + \ epsilon = f (D \ psi _ {y_ {2}}) + \ epsilon.} Toto zvýšení, stejně jako to samé platí pro rok y 2 , demonstruje kontinuitu usilující o uzavření důkazu o zvýšení (2):∀ϵ>0,∃ν>0,∀y1,y2∈PROTI|F(Dψy1)-F(Dψy2)|≤ϵ.{\ displaystyle \ forall \ epsilon> 0, \; \ existuje \ nu> 0, \; \ celkem y_ {1}, y_ {2} \ ve V \ quad | f (D \ psi _ {y_ {1}} ) -f (D \ psi _ {y_ {2}}) | \ leq \ epsilon.} Třetí nerovnost: Máme nárůst srovnatelný s (1), ale tentokrát platil pro ψ a používal jednotnou kontinuitu. Existuje striktně pozitivní reálná μ 2 taková, že pokud θ označuje úhel mezi gradientem φ v bodě x 1 a k 1  : (3)∀proti∈E,∀X∈BX1‖proti‖≤2μ2⇒‖ψ(X+proti)-ψ(X)-DψX(proti)‖=‖ψ(X+proti)-DψX(proti)‖≤m5‖proti‖|cos⁡(θ)|.{\ displaystyle (3) \ quad \ forall v \ in E, \ quad \ forall x \ in {\ mathcal {B}} _ {x_ {1}} \ quad \ | v \ | \ leq 2 \ mu _ { 2} \ Rightarrow \ | \ psi (x + v) - \ psi (x) -D \ psi _ {x} (v) \ | = \ | \ psi (x + v) -D \ psi _ {x} (v) \ | \ leq {\ frac {m} {5}} \ | v \ || \ cos (\ theta) |.} Čtvrtá nerovnost: Funkce D ψ , která v bodě x spojuje rozdíl ψ s bodem x, je spojitá, zejména v bodě x 1 , což ukazuje, že (4)∃μ3>0‖X1-X‖≤μ3⇒‖DψX1-DψX‖≤m5|cos⁡(θ)|.{\ displaystyle (4) \ quad \ existuje \ mu _ {3}> 0 \ quad \ | x_ {1} -x \ | \ leq \ mu _ {3} \ Rightarrow \ | D \ psi _ {x_ {1 }} - D \ psi _ {x} \ | \ leq {\ frac {m} {5}} | \ cos (\ theta) |.}

Jakmile jsou stanoveny čtyři nerovnosti, je možné definovat vektory h a k a uzavřít. Nechť s je striktně pozitivní reálný a menší než μ 1 , μ 2 , μ 3 a než 1/2, definujeme vektor k na obrázku jako rovný sk 1 . Nechť x 2 je vektor nejblíže k x + k a prvek G a h vektor x 2 - x 1 . Nakonec l 1 označuje jednotkový vektor kolineární s h - k a stejného směru; je to vektor ilustrovaný nebesky modrou na obrázku. Kladné reálné t je takové, že tl 1 se rovná h - k . Volba vektoru k je taková, že t je dostatečně malý na to, abychom to mohli uzavřít.

Závěr: Jde o t 1 je nejmenší vektor E tak, že x 1 + sk 1 + t 1 je členem G . Jinými slovy : ψ(X2)=ψ(X1+h)=ψ(X1)=0.{\ displaystyle \ psi (x_ {2}) = \ psi (x_ {1} + h) = \ psi (x_ {1}) = 0.} Zvýšení (3) uplatněné v bodě x 2 má za následek:‖ψ(X2)-ψ(X1)+DψX2(h)‖=‖DψX2(sk1)+DψX2(tl1)‖≤m5(s+t)|cos⁡(θ)|.{\ displaystyle \ | \ psi (x_ {2}) - \ psi (x_ {1}) + D \ psi _ {x_ {2}} (h) \ | = \ | D \ psi _ {x_ {2} } (sk_ {1}) + D \ psi _ {x_ {2}} (tl_ {1}) \ | \ leq {\ frac {m} {5}} (s + t) | \ cos (\ theta) |.} Kromě toho, podle definice k 1 , rozdíl v x 1 z ln je nula v průběhu k 1 . Z nárůstu (4) odvodíme:‖DψX2(k1)‖=‖DψX1(k1)-DψX2(k1)‖≤‖DψX1-DψX2‖≤m5|cos⁡(θ)|a‖DψX2(sk1)‖≤sm5|cos⁡(θ)|.{\ displaystyle \ | D \ psi _ {x_ {2}} (k_ {1}) \ | = \ | D \ psi _ {x_ {1}} (k_ {1}) - D \ psi _ {x_ { 2}} (k_ {1}) \ | \ leq \ | D \ psi _ {x_ {1}} - D \ psi _ {x_ {2}} \ | \ leq {\ frac {m} {5}} | \ cos (\ theta) | \ quad {\ text {et}} \ quad \ | D \ psi _ {x_ {2}} (sk_ {1}) \ | \ leq {\ frac {sm} {5} } | \ cos (\ theta) |.} Jde o t 1 je nejmenší vektor E tak, že x 1 + sk 1 + t 1 je členem G . Všimněte si, že x 1 je prvek G . V důsledku toho je x 1 + sk 1 také prvkem G a tl 1 má normu menší než sk 1 , což znamená, že t je menší než s , proto:‖DψX2(tl1)‖≤m5(2s)|cos⁡(θ)|+‖DψX2(sk1)‖≤3sm5|cos⁡(θ)|.{\ displaystyle \ | D \ psi _ {x_ {2}} (tl_ {1}) \ | \ leq {\ frac {m} {5}} (2 s) | \ cos (\ theta) | + \ | D \ psi _ {x_ {2}} (sk_ {1}) \ | \ leq {\ frac {3sm} {5}} | \ cos (\ theta) |.} Vektor l 1 je kolmý k jádru D ψ v bodě x 2 . Opravdu, bod x 2 je nejbližší k x 2 - t 1 v G . Pokud p je vektor jádra, x 2 + nahoru je dále od x 2 - tl 1 než x 2 je  ; zde u označuje skutečné číslo:‖X2-tl1-X2‖2≤‖X2-tl1-X2-up‖2+Ó(u)as2≤s2+tul1⋅p+u2‖p‖2+Ó(u),{\ displaystyle \ | x_ {2} -tl_ {1} -x_ {2} \ | ^ {2} \ leq \ | x_ {2} -tl_ {1} -x_ {2} -up \ | ^ {2 } + o (u) \ quad {\ text {et}} \ quad s ^ {2} \ leq s ^ {2} + tul_ {1} \ cdot p + u ^ {2} \ | p \ | ^ { 2} + o (u),} což ukazuje∃ϵ>0,∀u∈]-ϵ,ϵ[u(tl1⋅p+u‖p‖2)≥0.{\ displaystyle \ existuje \ epsilon> 0, \; \ forall u \ in] - \ epsilon, \ epsilon [\ quad u (tl_ {1} \ cdot p + u \ | p \ | ^ {2}) \ geq 0.} Skalární součin l 1 a p je nula, což ukazuje, že l 1 je kolmý na jádro D ψ v bodě x 2 . Bod x 2 je prvek koule o poloměru 1 a středu x 1 . Značka (2) to ukazujet≤‖DψX2(tl1)‖m≤3s5|cos⁡(θ)|.{\ displaystyle t \ leq {\ frac {\ | D \ psi _ {x_ {2}} (tl_ {1}) \ |} {m}} \ leq {\ frac {3s} {5}} | \ cos (\ theta) |.} Nyní můžeme použít zvýšení (1):φ(X2)=φ(X1+k+tl1)≥φ(X1)+Grnadφ(X1)(k+tl1)-α8‖k+tl1‖{\ displaystyle \ varphi (x_ {2}) = \ varphi (x_ {1} + k + tl_ {1}) \ geq \ varphi (x_ {1}) + \ mathrm {grad} \, \ varphi (x_ { 1}) (k + tl_ {1}) - {\ frac {\ alpha} {8}} \ | k + tl_ {1} \ |} a‖Grnadφ(X1)‖|cos⁡(θ)|=αprotoφ(X2)≥φ(X1)+sα-35sα-15sα=φ(X1)+15sα.{\ displaystyle \ | \ mathrm {grad} \, \ varphi (x_ {1}) \ || \ cos (\ theta) | = \ alpha \ quad {\ text {proto}} \ quad \ varphi (x_ {2 }) \ geq \ varphi (x_ {1}) + s \ alpha - {\ frac {3} {5}} s \ alpha - {\ frac {1} {5}} s \ alpha = \ varphi (x_ { 1}) + {\ frac {1} {5}} s \ alfa.}

Bod x 2 je prvek G mající obraz o φ striktně větší než x 1 , což ukazuje, že x 1 není lokální maximum. Ukážeme také, že ani x 1 není lokální minimum, což končí důkaz.

• Existuje vektor λ 0 z F tak, že součet obrazu lambda 0 podle přemístit diferenciálu ln v bodě x 0 a sklonu cp v tomto bodě je nulový:

∃λ0∈FGrnadφ(X0)+tDψX0(λ0)=0.{\ displaystyle \ existuje \ lambda _ {0} \ in F \ quad \ mathrm {grad} \; \ varphi (x_ {0}) + {} ^ {t} \! D \ psi _ {x_ {0}} (\ lambda _ {0}) = 0,}

To je přímý důsledek předchozího výsledku a vlastností provedení. Nejprve si povšimněte, že obraz transpozice lineární mapy je vektorový podprostor obsažený v ortogonálu jádra. Abychom se o tom přesvědčili, ukážme, že prvek v obrazu transpozice diferenciálu ψ v bodě x 0 , předcházející λ , je kolmý na jakýkoli prvek w jádra diferenciálu:

proti⋅w=tDψX0(λ)⋅w=λ⋅DψX0(w)=λ⋅0=0.{\ displaystyle v \ cdot w = {} ^ {t} \! D \ psi _ {x_ {0}} (\ lambda) \ cdot w = \ lambda \ cdot D \ psi _ {x_ {0}} (w ) = \ lambda \ cdot 0 = 0.}

Ukažme si nyní, že ortogonální jádro diferenciálu má stejný rozměr jako obraz transpozice. Diferenciální mapa je surjektivní, její obraz má rozměr m , transpozice nemění pořadí lineární mapy, obraz jeho transpozice je tedy také dimenze m . Součet rozměrů obrazu a jádra se rovná součtu počátečního vektorového prostoru, zde E dimenze n . Jelikož obraz má rozměr m , jádro má rozměr n - m . Ortogonální jádra má tedy rozměr m . Abychom to shrnuli, ortogonální jádro diferenciálu obsahuje obraz jeho transpozice a má stejnou dimenzi, která ukazuje rovnost dvou vektorových podprostorů. Gradient φ v bodě x 0 je kolmý k jádru diferenciálu, je tedy v obraze jeho transpozice, která ukazuje existenci vektoru λ 0 .

• Existuje vektor λ 0 z F tak, že funkce L z E x F v ℝ připouští nulovou gradientu na ( x 0 , λ 0 ):

∀(X,λ)∈E×FL(X,λ)=φ(X)+λ⋅ψ(X).{\ displaystyle \ forall (x, \ lambda) \ v E \ krát F \ quad L (x, \ lambda) = \ varphi (x) + \ lambda \ cdot \ psi (x).}

Za tímto účelem vypočítáme obraz ( u , μ), bodu E × F z rozdílu L v bodě ( x 0 , λ 0 ), kde λ 0 je vektor F definovaný během předchozí demonstrace.

L(X0+u,λ0+μ)=L(X0,λ0)+Grnadφ(X0)⋅u+λ0⋅DψX0(u)+Ó(u)+Ó(μ).{\ displaystyle L (x_ {0} + u, \ lambda _ {0} + \ mu) = L (x_ {0}, \ lambda _ {0}) + \ mathrm {grad} \, \ varphi (x_ { 0}) \ cdot u + \ lambda _ {0} \ cdot D \ psi _ {x_ {0}} (u) + o (u) + o (\ mu).}

Definice λ 0 to ukazuje

L(X0+u,λ0+μ)=L(X0,λ0)+Grnadφ(X0)⋅u+tDψX0(λ0)⋅u+Ó(u)+Ó(μ)=L(X0,λ0)+Ó(u)+Ó(μ).{\ displaystyle L (x_ {0} + u, \ lambda _ {0} + \ mu) = L (x_ {0}, \ lambda _ {0}) + \ mathrm {grad} \, \ varphi (x_ { 0}) \ cdot u + {} ^ {t} \! D \ psi _ {x_ {0}} (\ lambda _ {0}) \ cdot u + o (u) + o (\ mu) = L ( x_ {0}, \ lambda _ {0}) + o (u) + o (\ mu).}

Požadovaný gradient je ve studovaném bodě skutečně nulový.

Psaní problému

Pokud zhuštěné psaní umožňuje lépe porozumět struktuře věty, jsou vyvinuté notace užitečnější pro efektivní rozlišení. V praxi často uvažujeme funkci φ od ℝ n do ℝ a m funkce ψ j , přičemž j se mění od 1 do m , také od ℝ n do ℝ. Celé číslo m je nutně menší než n, aby bylo možné použít věty z předchozího odstavce. Snažíme se najít n -uplet ( a 1 , ..., a n ) takový

(1)φ(na1,⋯,nane)=min(Xi)∈Gφ(X1,⋯,Xne)sG={(Xi)∈Rne∣∀j∈[1,m]ψj(X1,⋯,Xne)=0}.{\ displaystyle (1) \ quad \ varphi (a_ {1}, \ cdots, a_ {n}) = \ min _ {(x_ {i}) \ v G} \ varphi (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) \ quad {\ text {with}} \ quad G = \ {(x_ {i}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid \ forall j \ in [1, m] \ ; \ psi _ {j} (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) = 0 \}.}

Za tímto účelem definujeme funkci L ℝ n + m v ℝ pomocí:

∀(Xi)∈Rne,∀(λj)∈RmL(X1⋯,Xne,λ1,⋯,λm)=φ(X1,⋯,Xne)+∑j=1mλjψj(X1,⋯,Xne).{\ displaystyle \ forall (x_ {i}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \; \ forall (\ lambda _ {j}) \ in \ mathbb {R} ^ {m} \ quad L ( x_ {1} \ cdots, x_ {n}, \ lambda _ {1}, \ cdots, \ lambda _ {m}) = \ varphi (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) + \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ lambda _ {j} \ psi _ {j} (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}).}

Druhý důsledek naznačuje, že řešení následujících rovnic poskytuje podmínku nezbytnou k objasnění problému optimalizace (1). N -tuple ( 1 , ..., n ) je roztok (1) pouze tehdy, pokud existuje m -tuple (α 1 , ..., α m ) tak, že ( n + m ) -tuplet ( 1 ,…, A n , α 1 ,…, α m ), tedy řešení rovnic n + m :

∀i∈[1,ne]∂φ∂Xi(X1,⋯,Xne)+∑j=1mλj∂ψj∂Xi(X1,⋯,Xne)=0a∀j∈[1,m]ψj(X1,⋯,Xne)=0.{\ displaystyle \ forall i \ in [1, n] \ quad {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné x_ {i}}} (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) + \ součet _ {j = 1} ^ {m} \ lambda _ {j} {\ frac {\ částečné \ psi _ {j}} {\ částečné x_ {i}}} (x_ {1}, \ cdots, x_ {n }) = 0 \ quad {\ text {et}} \ quad \ forall j \ in [1, m] \ quad \ psi _ {j} (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) = 0. }

Tuto metodu lze zobecnit na optimalizační problémy včetně omezení nerovností (nebo nelineárních) pomocí podmínek Kuhn-Tucker . Ale také na diskrétních funkcích, které mají být maximalizovány nebo minimalizovány v rámci omezení, pomocí změny interpretace, pomocí metody Everettových multiplikátorů (nebo generalizované Lagrangeovy metody ), snadněji nazývané penalizační metoda .

Aplikace: aritmeticko-geometrická nerovnost

Metoda Lagrangeova multiplikátoru umožňuje demonstrovat aritmeticko-geometrickou nerovnost. Definujeme mapy φ a ψ ℝ + n v ℝ pomocí:

∀(Xi)∈R+ne,φ(X1,⋯Xne)=∏i=1neXiaψ(X1,⋯Xne)=(∑i=1neXi)-s,s∈R+∗.{\ displaystyle \ forall (x_ {i}) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}, \ quad \ varphi (x_ {1}, \ cdots x_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ quad {\ text {a}} \ quad \ psi (x_ {1}, \ cdots x_ {n}) = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right) -s, \ quad s \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}.}

Všimněte si, že množina G , složená z n -uples s kladnými souřadnicemi a součtem rovným s, je kompaktní z ℝ n . Na tomto kompaktu je funkce φ spojitá, a proto nutně připouští maximum. Dvě funkce φ a ψ jsou skutečně třídy C 1 , je proto možné použít Lagrangeův multiplikátor k nalezení tohoto maxima. Za to považujeme funkci L  :

∀(Xi)∈R+ne,∀λ∈RL(X1,⋯,Xne,λ)=φ(X1,⋯,Xne)+λψ(X1,⋯,Xne).{\ displaystyle \ forall (x_ {i}) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}, \ forall \ lambda \ in \ mathbb {R} \ quad L (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}, \ lambda) = \ varphi (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) + \ lambda \ psi (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}).}

Řešení kontroluje rovnice:

∀i∈[1,ne]∂L∂Xi(X1,⋯Xne,λ)=0⇔∏k≠iXk=-λa∑i=1neXi=s.{\ displaystyle \ forall i \ in [1, n] \ quad {\ frac {\ částečné L} {\ částečné x_ {i}}} (x_ {1}, \ cdots x_ {n}, \ lambda) = 0 \ Leftrightarrow \ prod _ {k \ neq i} x_ {k} = - \ lambda \ quad {\ text {et}} \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = s.}

Dedukujeme existenci jedinečného řešení získaného pro všechna x i rovná s / n = x a λ rovná - ( s / n ) n –1 , což je vyjádřeno nahrazením s jeho hodnotou:

∀(Xi)∈R+ne∏i=1neXine≤∑i=1neXine.{\ displaystyle \ forall (x_ {i}) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} \ quad {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}} \ leq {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}} {n}}.}

Geometrický průměr je menší než aritmetický průměr, přičemž rovnost se odehrává pouze v případě, že x i jsou všechny stejné.

Lagrangeův multiplikátor nabízí alternativní důkaz aritmeticko-geometrické nerovnosti.

Funkční prostor

Metoda je zobecněna na funkční prostory . Příkladem je otázka řetězu , která se rovná hledání polohy zaujaté v klidu řetězem připojeným k jeho dvěma koncům. Optimalizace odpovídá poloze nabízející minimální potenciál , omezení je dáno polohou konců a délkou řetězu, která je považována za pevnou. Tato metoda umožňuje najít nejkratší cesty s omezením nebo dokonce geodetiku . Na Fermatův princip , nebo ten nejmenší akce řeší mnoho problémů s touto metodou.

Úvodní příklad: řetěz

Uvažujme tedy o gravitačním řetězci a hledejme jeho statickou rovnováhu. Řetěz je délky A, a předpokládá se, že je závislý na dvou místech - vodorovná osa t 0 a t 0 a nulové pořadnic na těchto dvou bodech. Pokud je jeho souřadnice označena jako x , sleduje křivku y = x ( t ) v intervalu [- t 0 ,  t 0 ], pro kterou navrhujeme výpočet rovnice.

Říci, že je v rovnováze, znamená říci, že jeho potenciál Φ je minimální, kde:

Φ(X)=∫-t0t0αX(t)1+(dXdt)2dt.{\ displaystyle \ Phi (x) = \ int _ {- t_ {0}} ^ {t_ {0}} \ alfa x (t) {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dx} {dt} } \ right) ^ {2}}} \ mathrm {d} t.}

Zde, α označuje fyzikální konstanta, v tomto případě se produkt pozemní gravitační g ze strany lineární hmotnosti řetězu, předpokládá se, že konstantní. Vzorec udávající délku oblouku podle nastavení je uveden v článku Délka oblouku .

Řetěz by neměl být elastický, proto kontroluje omezení Ψ, což naznačuje, že jeho délka l 0 není změněna:

Ψ(X)=∫-t0t01+(dXdt)2dt-l0=0.{\ displaystyle \ Psi (x) = \ int _ {- t_ {0}} ^ {t_ {0}} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ { 2}}} \ mathrm {d} t-l_ {0} = 0.}

Pokud C 1 K ( I ) označuje množinu funkcí [- t 0 ,  t 0 ] v ℝ, diferencovatelné a spojitých derivací, nula - - t 0 a t 0 , problém se rovná nalezení funkce x 0 takové, než

Φ(X0)=minX∈GΦ(X)sG={X∈VSK.1(Já)∣Ψ(X)=0}.{\ displaystyle \ Phi (x_ {0}) = \ min _ {x \ v G} \ Phi (x) \ quad {\ text {with}} \ quad G = \ {x \ v {\ mathcal {C} } _ {K} ^ {1} (I) \ mid \ Psi (x) = 0 \}.}

Podobnost s předchozí situací je zřejmá. Aby bylo možné použít Lagrangeovy multiplikátory, je nutné dát gradientům Φ a Ψ smysl. V případě, že existují dvě funkce třídy C 2 ℝ 3 v ℝ, označené φ a ψ, takové, že

Φ(X)=∫-t0t0φ(t,X,X˙)dtaΨ(X)=∫-t0t0ψ(t,X,X˙)dt,sdXdt(t)=X˙(t).{\ displaystyle \ Phi (x) = \ int _ {- t_ {0}} ^ {t_ {0}} \ varphi \ left (t, x, {\ dot {x}} \ right) \ mathrm {d} t \ quad {\ text {et}} \ quad \ Psi (x) = \ int _ {- t_ {0}} ^ {t_ {0}} \ psi \ left (t, x, {\ dot {x} } \ right) \ mathrm {d} t, \ quad {\ text {with}} \ quad {\ frac {dx} {dt}} (t) = {\ dot {x}} (t).}

Tyto Euler-Lagrange rovnice se uvádí, že

GrnadΦ(X)=∂φ∂X-ddt(∂φ∂X˙)aGrnadΨ(X)=∂ψ∂X-ddt(∂ψ∂X˙).{\ displaystyle \ mathrm {grad} \, \ Phi (x) = {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } \ left ({\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné {\ dot {x}}}} \ pravé) \ quad {\ text {et}} \ quad \ mathrm {grad} \, \ Psi (x ) = {\ frac {\ částečné \ psi} {\ částečné x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné \ psi} { \ partial {\ dot {x}}}} \ right).}

V konkrétním případě, kdy jsou funkce φ a ψ funkcemi dvou proměnných a nezávisí na t , získáme Beltramiho formulaci (srov. Článek „  Euler-Lagrangeova rovnice  “):

GrnadΦ(X)⋅X˙=ddt(φ-∂φ∂X˙X˙)=ddt(αX1+X˙2)aGrnadΨ(X)⋅X˙=ddt(ψ-∂ψ∂X˙X˙)=ddt(11+X˙2).{\ displaystyle \ mathrm {grad} \, \ Phi (x) \ cdot {\ dot {x}} = {\ frac {d} {dt}} \ vlevo (\ varphi - {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ partial {\ dot {x}}}} {\ dot {x}} \ right) = {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ alpha x} {\ sqrt {1+ {\ dot {x}} ^ {2}}}} \ vpravo) \ quad {\ text {et}} \ quad \ mathrm {grad} \, \ Psi (x) \ cdot {\ dot {x}} = {\ frac {d} {dt}} \ vlevo (\ psi - {\ frac {\ částečné \ psi} {\ částečné {\ dot {x}}}} {\ dot {x}} \ vpravo) = {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1 + {\ dot {x}} ^ {2}}}} \ right).}

Říci, že dva přechody jsou kolineární, znamená říci, že existuje reálné λ, Lagrangeův multiplikátor, takový, že

GrnadΦ(X)-λGrnadΨ(X)=0⇒ddt(αX-λ1+X˙2)=0a∃k∈RαX-λ=k1+X˙2.{\ displaystyle \ mathrm {grad} \, \ Phi (x) - \ lambda \ mathrm {grad} \, \ Psi (x) = 0 \; \ Rightarrow \; {\ frac {d} {dt}} \ vlevo ({\ frac {\ alpha x- \ lambda} {\ sqrt {1 + {\ dot {x}} ^ {2}}}} \ right) = 0 \ quad {\ text {and}} \ quad \ existuje k \ in \ mathbb {R} \ quad \ alpha x- \ lambda = k {\ sqrt {1 + {\ dot {x}} ^ {2}}}.}

Řešením této diferenciální rovnice je řetěz . Metoda Lagrangeova multiplikátoru umožňuje vyřešit položenou otázku.

Everett: případ nespojitých, neodvozitelných funkcí

Hugh Everett zobecňuje metodu na nederivovatelné funkce, často zvolené jako konvexní . Pro efektivní rozlišení je nutné mít algoritmus určující optimum (nebo optimum) funkce. V nederivovatelném případě můžeme použít adekvátní heuristiku nebo metodu Monte Carlo .

Pak je nutné pro následující iteraci vhodně revidovat multiplikátory (nebo „pokuty“), a to je místo, kde se nachází zásadní přínos Everett: zapamatuje si sady multiplikátorů použitých během posledních dvou iterací a výsledky rozdělí každé omezení do tří. V závislosti na tom, zda během posledních dvou iterací došlo k aproximaci cíle nebo rámování, nebo vzdálenosti (kvůli účinku ostatních multiplikátorů), je každý multiplikátor upraven pro následující iteraci způsobem, který zaručuje konvergenci, pokud je pozorován vztah mezi třemi záchvaty, které poskytuje.

Sobolevův prostor

Předchozí příklad ukazuje, že kontext Euler-Lagrangeovy rovnice není daleko od kontextu Lagrangeova multiplikátoru. Pokud je počáteční množinou hledané funkce x ( t ) otevřený a ohraničený skutečný interval I a příchozí množinou E je euklidovský vektorový prostor, je zobecnění relativně snadné.

Předpokládáme, že existence funkce Φ má být minimalizována, její počáteční množinou je funkční prostor , to znamená vektorový prostor funkcí, z I v E a její příchozí množina ℝ. Funkce Φ je konstruována následovně:

Φ(X)=∫Jáφ(t,X,X˙)dt.{\ displaystyle \ Phi (x) = \ int _ {I} \ varphi (t, x, {\ dot {x}}) \ mathrm {d} t.}

Bod na x označuje funkci přechodu, která při t spojuje gradient x s bodem t .

Funkce φ je funkcí ℝ × E 2 v ℝ třídy C 2 . Optimalizace je omezena, je dána podobnou formou jako ta předchozí. Předpokládáme existenci funkce Ψ z ℝ × E 2 ve F , euklidovském prostoru. Funkce Ψ je stále definována pomocí funkce ψ třídy C 2 z I × E 2 , ale tentokrát v euklidovském prostoru F  :

Ψ(X)=∫Jáψ(t,X,X˙)dt.{\ displaystyle \ Psi (x) = \ int _ {I} \ psi (t, x, {\ tečka {x}}) \ mathrm {d} t.}

Sada G se skládá z funkcí dvakrát odlišitelných od I v E a jejichž obraz o by je nula. Dále předpokládáme, že hodnoty funkcí G napříč I jsou pevné ai když provedeme překlad, můžeme vždy předpokládat, bez ztráty obecnosti, že tyto funkce jsou na I nulové .

Jediným poněkud choulostivým úkolem je definovat vektorový prostor W 2,2 ( I , E ), na kterém fungují Φ a Ψ. Chcete-li definovat ekvivalent přechodu, tento prostor nutně zahrnuje bodový produkt. Pokud si přejeme vytvořit věty ekvivalentní těm předchozím, jsou definovány derivační a druhé derivační funkce a prostor je kompletní . Prostor s úplným tečkovým produktem je Hilbert . Jeho geometrie je ve skutečnosti dostatečně bohatá, aby rozšířila předchozí výsledky.

Označíme D prostor funkcí I , s hodnotou v E , třídy C ∞ a s kompaktní podporou a D * jeho topologický duální . Prostor D je opatřen normou horní meze a prostor D * je distribucí . Tento první pár ještě není uspokojivý, protože D je „příliš malý“ a D * „příliš velký“, aby bylo možné definovat dobrý skalární součin, u počátku geometrie tak jednoduché jako u Hilberta.

Prostor D * obsahuje Hilbertův prostor L 2 ( I , E ) z integrovatelných čtverečních funkcí . Funkce f L 2 ( I , E ) skutečně působí na D skalárním součinem 〈∙, ∙〉L definovaným Lebesgueovým integrálem  :

∀G∈D⟨F,G⟩L=∫JáF(t)⋅G(t)dt.{\ displaystyle \ forall g \ in {\ mathcal {D}} \ quad \ langle f, g \ rangle _ {L} = \ int _ {I} f (t) \ cdot g (t) \ mathrm {d} t.}

Hledáme správné místo v L 2 ( I , E ). V tomto prostoru nám integrace po částech umožňuje definovat derivaci funkce f L 2 ( I ). Protože g má kompaktní podporu a já je otevřený, napříč I je funkce g nulová. Pokud je f diferencovatelné v klasickém smyslu termínu, máme prospěch z rovnosti:

⟨F˙,G⟩L=∫JáF˙(t)⋅G(t)dt=[F(t)⋅G(t)]Já-∫JáF(t)⋅G˙(t)dt=-∫JáF(t)⋅G˙(t)dt.{\ displaystyle \ langle {\ dot {f}}, g \ rangle _ {L} = \ int _ {I} {\ dot {f}} (t) \ cdot g (t) \ mathrm {d} t = {\ Big [} f (t) \ cdot g (t) {\ Big]} _ {I} - \ int _ {I} f (t) \ cdot {\ dot {g}} (t) \ mathrm { d} t = - \ int _ {I} f (t) \ cdot {\ dot {g}} (t) \ mathrm {d} t.}

Pokud je distribuce odvozená od f stále prvkem L 2 ( I , E ), říkáme, že je diferencovatelná v Sobolevově smyslu. Pokud je tento derivát stále diferencovatelný v předchozím smyslu, říkáme, že je dvakrát diferencovatelný ve smyslu Soboleva. Označíme W 2,2 ( I , E ) podprostor L 2 ( I , E ) vybavený následujícím skalárním součinem 〈∙, ∙〉W :

∀F,G∈Ž2,2(Já,E)⟨F,G⟩Ž=∫JáF(t)⋅G(t)dt+∫JáF˙(t)⋅G˙(t)dt+∫JáF¨(t)⋅G¨(t)dt.{\ displaystyle \ forall f, g \ in W ^ {2,2} (I, E) \ quad \ langle f, g \ rangle _ {W} = \ int _ {I} f (t) \ cdot g ( t) \ mathrm {d} t + \ int _ {I} {\ dot {f}} (t) \ cdot {\ dot {g}} (t) \ mathrm {d} t + \ int _ {I} {\ ddot {f}} (t) \ cdot {\ ddot {g}} (t) \ mathrm {d} t.}

Integrály jsou dobře definované, protože odpovídají součinu dvou prvků L 2 ( I , E ). Potom je snadné zkontrolovat, zda je prostor plný. Nakonec, pokud je f diferencovatelná funkce ve smyslu distribucí, existuje spojitý zástupce f . Libovolný prvek W 2,2 ( I , E ) tedy připouští spojitého zástupce a jehož derivace také připouští spojitého zástupce.

Euler-Lagrangeova rovnice

Nyní je obtížné vyjádřit gradient funkcí Φ a Ψ. Euler-Lagrangeova rovnice nejprve hledá funkce třídy C 2, které minimalizují Φ. Podkladovým vektorovým prostorem je funkce omezeného intervalu a třídy C 2 a nula na mezích intervalu. V tomto prostoru je výpočet gradientu Φ obtížně složitý, poskytuje také představu o řešení i o metodě jeho dosažení. Na druhé straně je tento výpočet v projednávaném případě nedostatečný. U „dobrého“ skalárního produktu není prostor funkcí třídy C 2 kompletní, což brání dobré geometrii umožňující demonstrovat Lagrangeovu multiplikační metodu.

Cílem je trochu zobecnit důkaz, aby bylo možné dosáhnout rovnosti gradientu v úplném prostoru W 2,2 ( I , E ). Nejprve vyjádřme rovnost, která definuje diferenciál Φ v bodě x , který představuje funkci W 2,2 ( I , E ):

∀h∈Ž2,2(Já,E)Φ(X+h)=Φ(X)+DϕX(h)+Ó(h).{\ displaystyle \ forall h \ in W ^ {2,2} (I, E) \ quad \ Phi (x + h) = \ Phi (x) + D \ phi _ {x} (h) + o (h ).}

Mapa D Φ x je spojitá lineární mapa od W 2,2 ( I , E ) do ℝ, tj. Prvek topologického duálu W 2,2 ( I , E ), který skalární součin identifikuje s W 2,2 ( I , E ) . Předchozí rovnost se stává:

∀h∈Ž2,2(Já,E)Φ(X+h)=Φ(X)+⟨GrnadΦX,h⟩+Ó(h)=Φ(X)+∫JáGrnadΦX(t)⋅h(t)dt+Ó(h).{\ displaystyle \ forall h \ in W ^ {2,2} (I, E) \ quad \ Phi (x + h) = \ Phi (x) + \ langle \ mathrm {grad} \, \ Phi _ {x }, h \ rangle + o (h) = \ Phi (x) + \ int _ {I} {\ rm {grad}} \, \ Phi _ {x} (t) \ cdot h (t) \ mathrm { d} t + o (h).}

Jinými slovy, gradient Φ v bodě x je funkcí L 2 ( I , E ) v ℝ. Ve skutečnosti je tento gradient vyjádřen pomocí Euler-Lagrangeovy rovnice:

Gradient Φ v bodě x je funkcí I v E , definovaný

GrnadΦX=∂φ∂X-ddt(∂φ∂X˙).{\ displaystyle \ mathrm {grad} \ Phi _ {x} = {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné {\ dot {x}}}} \ vpravo).}

Pokud je funkce φ obecně zvolena v obvyklém smyslu derivace, je funkce x ( t ) funkcí W 2,2 ( I , E ). Symbol d / d t musí být chápán ve smyslu derivace distribuce, která zde nemusí být nutně integrovatelnou čtvercovou funkcí definovanou téměř všude .

Pro cp, logika je naprosto stejná, ale tentokrát je funkce s hodnotami v F . V souladu s tím, parciální derivace ln s ohledem na své druhé nebo třetí proměnné již není lineární mapování E v ℝ ale E v F . To znamená, že diferenciál ¥ v bodě, funkce x o I v E , je aplikace I v prostoru L ( E , F ), lineárního mapování E v F . Logika zůstává stejná.

Diferenciál Ψ v bodě x je funkcí I v L ( E , F ) definovanou

DΨX=∂ψ∂X-ddt(∂ψ∂X˙).{\ displaystyle D \ Psi _ {x} = {\ frac {\ částečné \ psi} {\ částečné x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({ \ frac {\ částečné \ psi} {\ částečné {\ tečka {x}}}} \ vpravo).} Demonstrace

• Mapa Φ je diferencovatelná v bodě x , pokud x je funkcí W 2,2 ( I , E ) nula napříč I  :

Tato věta to ukazuje

(1)∀ϵ>0,∃μ>0|Φ(X+h)-Φ(X)-∫Já(∂φ∂X(t)⋅h(t)+∂φ∂X˙(t)⋅h˙(t))dt|≤ϵ‖h‖Ž.{\ Displaystyle (1) \ quad \ forall \ epsilon> 0, \; \ existuje \ mu> 0 \ quad \ left | \ Phi (x + h) - \ Phi (x) - \ int _ {I} \ vlevo ({\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné x}} (t) \ cdot h (t) + {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné {\ tečka {x}}}} (t) \ cdot {\ dot {h}} (t) \ right) \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ epsilon \ | h \ | _ {W}.}

Nechť ε je přísně pozitivní realita. Funkce x a její derivace má spojitého zástupce, jehož hodnoty na hranicích intervalu I jsou nulové. V souladu s tím je obraz I o x a jeho derivát, jsou kompaktní z E . Nechť H je kartézský součin I , x ( I ) a d x / d t ( I ). Produkt tří kompaktů je stále jeden kompaktní. Diferenciální funkce φ na tomto kompaktu je rovnoměrně spojitá. Dedukujeme, že parciální derivace v řádu 1 jsou ohraničeny hodnotou označenou M 1  ; odvodíme také, pokud a a b označují limity I  :

(2)∃μ>0,∀t∈Já,∀(τ,ζ1,ζ2)∈R×E2|τ|≤μ,‖ζ1‖≤μ,‖ζ2‖≤μ⇒⋯{\ Displaystyle (2) \ quad \ existuje \ mu> 0, \; \ forall t \ in I, \; \ forall (\ tau, \ zeta _ {1}, \ zeta _ {2}) \ in \ mathbb {R} \ krát E ^ {2} \ quad | \ tau | \ leq \ mu, \; \ | \ zeta _ {1} \ | \ leq \ mu, \; \ | \ zeta _ {2} \ | \ leq \ mu \ Rightarrow \ cdots} |φ(t+τ,X(t)+ζ1,X˙(t)+ζ2)-φ(t,X(t),X˙(t))-∂φ∂t(t)τ-∂φ∂X(ζ1)-∂φ∂X˙(ζ2)|≤ϵ2(b-na)M1(|τ|+‖ζ1‖+‖ζ2‖).{\ displaystyle \ left | \ varphi (t + \ tau, x (t) + \ zeta _ {1}, {\ dot {x}} (t) + \ zeta _ {2}) - \ varphi (t, x (t), {\ dot {x}} (t)) - {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné t}} (t) \ tau - {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné x}} (\ zeta _ {1}) - {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné {\ dot {x}}}} (\ zeta _ {2}) \ doprava | \ leq {\ frac { \ epsilon} {2 (ba) M_ {1}}} (| \ tau | + \ | \ zeta _ {1} \ | + \ | \ zeta _ {2} \ |).}

Navíc na kompaktním H je absolutní hodnota φ a norma jeho tří parciálních derivací zvýšena o konstantu M , protože φ je spojitá. V případě, že standardní h v W 2,2 ( I , E ) je menší než u Stabilizátory 2 , existuje soubor I u Stabilizátory o I o větším rozsahu, než b  -  Pro  - εμ 2 /8 M , v němž H a jeho derivát nepřesahují μ. Značka (2) to ukazuje

|∫Jáμφ(t,X(t)+h(t),X˙(t)+h˙(t))dt-∫Jáμφ(t,X(t),X˙(t))dt-∫Jáμ(∂φ∂X(t)⋅h(t)+∂φ∂X˙(t)⋅h˙(t))dt|≤ϵ2‖h‖Ž.{\ displaystyle \ left | \ int _ {I _ {\ mu}} \ varphi (t, x (t) + h (t), {\ dot {x}} (t) + {\ dot {h}} (t)) \ mathrm {d} t- \ int _ {I _ {\ mu}} \ varphi (t, x (t), {\ dot {x}} (t)) \ mathrm {d} t- \ int _ {I _ {\ mu}} \ left ({\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné x}} (t) \ cdot h (t) + {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečný {\ dot {x}}}} (t) \ cdot {\ dot {h}} (t) \ pravý) \ mathrm {d} t \ pravý | \ leq {\ frac {\ epsilon} {2}} \ | h \ | _ {W}.}

Na komplementu I u Stabilizátory v I , jako funkce φ nepřesahuje M v absolutní hodnotě a jako další měření je menší než εμ 2 /8 M , dostaneme:

|∫Já-Jáμφ(t,X(t)+h(t),X˙(t)+h˙(t))dt-∫Já-Jáμφ(t,X(t),X˙(t))dt-∫Já-Jáμ(∂φ∂X(t)⋅h(t)+∂φ∂X˙(t)⋅h˙(t))dt|≤ϵ2‖h‖Ž.{\ displaystyle \ left | \ int _ {I-I _ {\ mu}} \ varphi (t, x (t) + h (t), {\ dot {x}} (t) + {\ dot {h}} (t)) \ mathrm {d} t- \ int _ {II _ {\ mu}} \ varphi (t, x (t), {\ dot {x}} (t)) \ mathrm {d} t- \ int _ {II _ {\ mu}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné x}} (t) \ cdot h (t) + {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečný {\ dot {x}}}} (t) \ cdot {\ dot {h}} (t) \ pravý) \ mathrm {d} t \ pravý | \ leq {\ frac {\ epsilon} {2}} \ | h \ | _ {W}.}

Přidáním posledních dvou zvýšení zjistíme zvýšení (1), které ukazuje diferencovatelnost Φ.

• Gradient Φ v bodě x je dán Lagrangeovou rovnicí:

Jakmile je předveden předchozí návrh, zbytek výpočtu je stejný jako u článku Euler-Lagrangeova rovnice . Výpočet spočívá v odlišném vyjádření gradientu Φ v bodě x  :

∀h∈Ž2,2(Já,E)/h(na)=h(b)=0⟨GrnadΦ(X),h⟩=∫Já∂φ∂X(t)⋅h(t)dt+∫Já∂φ∂X˙(t)⋅h˙(t)dt.{\ displaystyle \ forall h \ in W ^ {2,2} (I, E) \; / \; h (a) = h (b) = 0 \ quad \ langle \ mathrm {grad} \ Phi (x) , h \ rangle = \ int _ {I} {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné x}} (t) \ cdot h (t) \ mathrm {d} t + \ int _ {I} {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné {\ tečka {x}}}} (t) \ cdot {\ tečka {h}} (t) \ mathrm {d} t.}

Skutečnost, že funkce h je nula napříč I a integrace po částech, to ukazuje

∫Já∂φ∂X˙(t)⋅h˙(t)dt=[∂φ∂X˙(t)⋅h(t)]nab-∫Jáddt(∂φ∂X˙(t))⋅h(t)dt=-∫Jáddt(∂φ∂X˙(t))⋅h(t)dt,{\ displaystyle \ int _ {I} {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné {\ dot {x}}}} (t) \ cdot {\ dot {h}} (t) \ mathrm {d} t = \ left [{\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné {\ dot {x}}}} (t) \ cdot h (t) \ right] _ {a} ^ {b} - \ int _ {I} {\ frac {d} {dt}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné {\ tečka {x}}}} (t) \ vpravo) \ cdot h (t) \ mathrm {d} t = - \ int _ {I} {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ parciální \ varphi} {\ parciální {\ dot {x}}}} (t) \ right) \ cdot h (t) \ mathrm {d} t,}

což umožňuje odvodit to

⟨GrnadΦ(X),h⟩=⟨∂φ∂X-ddt(∂φ∂X˙),h⟩{\ displaystyle \ langle \ mathrm {grad} \ Phi (x), h \ rangle = \ langle {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné x}} - {\ frac {d} {dt}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné {\ tečka {x}}}} \ vpravo), h \ rangle}

a tím demonstruje návrh. Výpočty jsou pro funkci Ψ přesně stejné.

Věty

V případě konečné dimenze je tento odstavec velmi podobný předchozímu. Problém, který je třeba vyřešit, je najít následující minimum:

minX∈GΦ(X)sG={X∈Ž2,2(Já,E)∣Ψ(X)=0aX(na)=X(b)=0}.{\ displaystyle \ min _ {x \ v G} \ Phi (x) \ quad {\ text {s}} \ quad G = \ {x \ ve W ^ {2,2} (I, E) \ mid \ Psi (x) = 0 \ quad {\ text {and}} \ quad x (a) = x (b) = 0 \}.}

Lagrangeova věta o multiplikátoru  -  Pokud je bod x 0 lokálním extremem Φ v množině G , pak jádro diferenciálu Ψ v bodě x 0 je kolmé k přechodu Φ v tomto bodě.

Dostaneme stejný důsledek, který můžeme napsat:

Důsledek  -  V případě, že bod x 0 je lokální extrém cp v sadě G a v případě diferenciálu ln v bodě x 0 surjective, pak existuje vektoru lambda 0 z F tak, že funkce L z W 2,2 ( I , E ) × F v ℝ připouští nulový gradient v ( x 0 , λ 0 ):

∀(X,λ)∈E×FL(X,λ)=Φ(X)+λ⋅Ψ(X).{\ displaystyle \ forall (x, \ lambda) \ v E \ krát F \ quad L (x, \ lambda) = \ Phi (x) + \ lambda \ cdot \ Psi (x).}

Tato rovnice se píše znovu:

∃(λj)∈Rm∂φ∂X+∑j=1mλj∂ψj∂X=ddt(∂φ∂X˙+∑j=1mλj∂ψj∂X˙).{\ displaystyle \ existuje (\ lambda _ {j}) \ v \ mathbb {R} ^ {m} \ quad {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné x}} + \ součet _ {j = 1} ^ {m} \ lambda _ {j} {\ frac {\ částečné \ psi _ {j}} {\ částečné x}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné \ varphi} {\ částečné {\ dot {x}}}} + \ součet _ {j = 1} ^ {m} \ lambda _ {j} {\ frac {\ částečné \ psi _ {j}} {\ částečné {\ dot {x}}}} \ vpravo).}

Znaménko d / d t musí být bráno ve smyslu derivace distribucí. Získáváme slabé řešení , to znamená funkci x definovanou téměř všude a diferencovatelnou ve slabém smyslu. Na druhou stranu, pokud je funkce x třídy C 2 řešením problému minimalizace, protože její první a druhá derivace jsou představiteli jejích derivací ve slabém smyslu, je stále ověřována předchozí rovnice.

Demonstrace

Důkaz se blíží předchozímu, ale musí být přizpůsoben přechodu z euklidovského prostoru do hilbertiánského:

• Případ, kde Ψ je afinní funkce:

Předchozí ukázka nepoužívá konečnou dimenzi. Platí tedy stále stejným způsobem.

• Obecný případ:

Část může být odebrána zpět v plném rozsahu.

První nerovnost: Spočívá v použití definice přechodu v bodě x 1, ale tentokrát platné pro libovolný vektor dostatečně malé normy, který nepoužívá konečnou dimenzi: (1)∀X∈Ž2,2(Já,E)/X(na)=X(b)=0‖X‖Ž≤2μ1⇒Φ(X1+proti)≥Φ(X1)+⟨GrnadΦ(X1),proti⟩-α3‖proti‖Ž.{\ displaystyle (1) \ quad \ forall x \ in W ^ {2,2} (I, E) \; / \; x (a) = x (b) = 0 \ quad \ | x \ | _ { W} \ leq 2 \ mu _ {1} \ Rightarrow \ Phi (x_ {1} + v) \ geq \ Phi (x_ {1}) + \ langle grad \, \ Phi (x_ {1}), v \ rangle - {\ frac {\ alpha} {3}} \ | v \ | _ {W}.} Druhá nerovnost: Druhá nerovnost je v předchozím důkazu prokázána pomocí konečné dimenze. Zde omezujeme naše ambice, abychom ukázali pouze existenci dvou přísně pozitivních reálných čísel m a r takovou (2)∀X∈BX1(r),∀proti∈Ž2,2(Já,E)/X(na)=X(b)=0proti∈(K.ErDΨX)⊥⇒‖proti‖≤1m‖DΨX(proti)‖.{\ displaystyle (2) \ quad \ forall x \ in {\ mathcal {B}} _ {x_ {1}} (r), \; \ forall v \ in W ^ {2,2} (I, E) \; / \; x (a) = x (b) = 0 \ quad v \ in (KerD \ Psi _ {x}) ^ {\ bot} \ Rightarrow \ | v \ | \ leq {\ frac {1} {m}} \ | D \ Psi _ {x} (v) \ |.}

Demonstrace přesto zůstává poněkud podobná. Nechť x bude bod míč s centrem x 1 a poloměrem 1. Obraz diferenciálu cp v bodě x je konečný rozměrný vektorový prostor, jádro je z konečných codimension a jeho ortogonální konečných rozměrů. Průsečík této ortogonální s jednotkovou koulí je kompaktní, což umožňuje definovat funkce f a g jako v případě konečné dimenze. Spojitost g ukazuje implikaci (2).

Mapa pro jakýkoli prvek x z W 2,2 ( I , E ) sdružuje D cp x je spojitá podle předpokladu, což má za následek:

∀ϵ>0,∀X∈Ž2,2(Já,E)/X(na)=X(b)=0,∃μ>0 ‖X1-X‖Ž≤μ⇒|‖DΨX1‖-‖DΨX‖|≤ϵ.{\ displaystyle \ forall \ epsilon> 0, \; \ forall x \ ve W ^ {2,2} (I, E) \; / \; x (a) = x (b) = 0, \; \ existuje \ mu> 0 \ \ quad \ | x_ {1} -x \ | _ {W} \ leq \ mu \ Rightarrow \ left | \ | D \ Psi _ {x_ {1}} \ | - \ | D \ Psi _ {x} \ | \ doprava | \ leq \ epsilon.}

Nechť v 1 (resp. V ) je průsečík jednotkové koule a ortogonální jádra D Ψ v bodě x 1 (resp. X ), takže

DΨX1(proti1)=G(X1)aDΨX(proti)=G(X).{\ displaystyle D \ Psi _ {x_ {1}} (v_ {1}) = g (x_ {1}) \ quad {\ text {et}} \ quad D \ Psi _ {x} (v) = g (X).}

Spojitost diferenciálu ukazuje:

|‖DΨX1(proti)‖-G(X)‖Ž|≤ϵaG(X1)≤‖DΨX1(proti)‖≤G(X)-ϵ{\ displaystyle \ left | \ | D \ Psi _ {x_ {1}} (v) \ | -g (x) \ | _ {W} \ vpravo | \ leq \ epsilon \ quad {\ text {a}} \ quad g (x_ {1}) \ leq \ | D \ Psi _ {x_ {1}} (v) \ | \ leq g (x) - \ epsilon}

Stejné zvýšení to ukazuje

G(X)≤‖DΨX(proti1)‖≤G(X1)-ϵ.{\ displaystyle g (x) \ leq \ | D \ Psi _ {x} (v_ {1}) \ | \ leq g (x_ {1}) - \ epsilon.}

To ukazuje kontinuitu g a následně nárůst (2): stačí zvolit m jako inverzní hodnotu g ( x 1 ).

Třetí a čtvrtá nerovnost:

Třetí nerovnost se netýká konečné dimenze. Připomínáme si to v novém kontextu:

(3)∀proti∈Ž2,2(Já,E)/X(na)=X(b)=0‖proti‖≤2μ2⇒‖Ψ(X1+proti)-Ψ(X1)-DΨX1(proti)‖=‖Ψ(X1+proti)-DΨX1(proti)‖≤m5.|cos⁡(θ)|‖proti‖.{\ Displaystyle (3) \ quad \ forall v \ in W ^ {2,2} (I, E) \; / \; x (a) = x (b) = 0 \ quad \ | v \ | \ leq 2 \ mu _ {2} \ Rightarrow \ | \ Psi (x_ {1} + v) - \ Psi (x_ {1}) - D \ Psi _ {x_ {1}} (v) \ | = \ | \ Psi (x_ {1} + v) -D \ Psi _ {x_ {1}} (v) \ | \ leq {\ frac {m} {5}}. | \ Cos (\ theta) | \ | v \ |.}

Totéž platí pro čtvrtou nerovnost:

(4)∃μ3>0‖X1-X‖≤μ3⇒‖DΨX1-DΨX‖≤m5|cos⁡(θ)|.{\ displaystyle (4) \ quad \ existuje \ mu _ {3}> 0 \ quad \ | x_ {1} -x \ | \ leq \ mu _ {3} \ Rightarrow \ | D \ Psi _ {x_ {1 }} - D \ Psi _ {x} \ | \ leq {\ frac {m} {5}} | \ cos (\ theta) |.} Závěr:

Závěr je stejný: nyní stačí zvolit μ nejen menší než μ 1 , μ 2 a μ 3, ale také menší než r .

Aplikace: Izoperimetrická věta

Hledáme povrch s největší oblastí, který má hranici délky rovnou 2π. Všimněte si, že povrch je nutně konvexní, s neprázdným vnitřkem. Uvažujeme linii řezající povrch na dvě části. Tato přímka se používá jako osa ortonormálního souřadnicového systému, jehož úsečky jsou označeny písmenem t a souřadnice x . Horní hranici lze parametrizovat v křivce x ( t ), a pokud je dobře zvolen souřadný systém, lze brát jako minimální úsečku - a a maximální a . Potom se podíváme na křivce x , definované mezi - a tak, aby plocha je maximum:

NA=∫-nanaX(t)dt.{\ displaystyle A = \ int _ {- a} ^ {a} x (t) \, \ mathrm {d} t.}

Víme také, že poloviční délka ohraničení se rovná π:

∫-nana1+X˙(t)2dt=π.{\ displaystyle \ int _ {- a} ^ {a} {\ sqrt {1 + {\ dot {x}} (t) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t = \ pi.}

Hledání povrchu je také ošetřeno Lagrangeovým multiplikátorem. Stejný trik, jaký byl použit v úvodním příkladu, ukazuje obvyklé notace:

GrnadΦ(X)⋅X˙=ddt(φ-∂φ∂X˙X˙)=ddtX(t)aGrnadΨ(X)⋅X˙=ddt(ψ-∂ψ∂X˙X˙)=ddt(11+X˙2).{\ displaystyle \ mathrm {grad} \, \ Phi (x) \ cdot {\ dot {x}} = {\ frac {d} {dt}} \ vlevo (\ varphi - {\ frac {\ částečné \ varphi} {\ partial {\ dot {x}}}} {\ dot {x}} \ right) = {\ frac {d} {dt}} x (t) \ quad {\ text {and}} \ quad \ mathrm {grad} \, \ Psi (x) \ cdot {\ dot {x}} = {\ frac {d} {dt}} \ vlevo (\ psi - {\ frac {\ částečné \ psi} {\ částečné {\ dot {x}}}} {\ dot {x}} \ right) = {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1 + {\ dot {x}} ^ {2}}}} \ vpravo).}

Dedukujeme existenci hodnot λ a k tak, že

X-λ1+X˙2=k.{\ displaystyle x - {\ frac {\ lambda} {\ sqrt {1 + {\ dot {x}} ^ {2}}}} = k.}

Zaznamenáním u = x - k získáme:

u2(1+u˙2)=λ2.{\ displaystyle u ^ {2} (1 + {\ dot {u}} ^ {2}) = \ lambda ^ {2}.}

Najdeme rovnici půlkruhu o poloměru λ; hodnota λ se rovná 1 ak k 0.

Poznámky a odkazy

1. Joseph-Louis Lagrange , „Jednodušší a obecnější způsob využití rovnovážného vzorce uvedeného ve druhé části“ , Mécanique analytique , t.  1 ( číst online ) , s. 1  77-112.
2. Grégoire Allaire , Numerická analýza a optimalizace , vyd. Polytechnická univerzita,2005( číst online ) , s.  311.
3. François Laudenbach , Calculus diferenciální et integrale , ed. Polytechnická univerzita,2000( číst online ) , s.  89-90.
4. Linked Extrema - Lagrangeovy multiplikátory na bibmath.net.
5. Pokud chceme tuto argumentaci napsat v přísné formě, přichází teorém implicitních funkcí a hypotéza, že rozdíl ψ se nezruší. Pak stačí vyměnit DM cestování parametrických křivek založených na povrch a přes M .
6. Pokud je f ( t ) taková funkce, když f (t 0 ) = M , máme M = d f ( t 0 ) = f ' ( t 0 ) dt. Protože φ (f (t)) je extrémní v t 0 , jeho derivace mizí v t 0 , takže φ '( f ( t 0 )). f ' ( t 0 ) = 0, nebo ekvivalentně, φ' ( M ). d M = 0 podle očekávání.
7. Předpokládejme však, že ψ '( M ) není nula, což je obecně případ. V bodech M, kde ψ je singulární, bude nutné uchýlit se k nekonečně malému řádu 2.
8. „  Kurz diferenciálního počtu v konečné dimenzi, Raphaël Danchin (str. 45)  “ , na perso-math.univ-mlv.fr (konzultováno 10. prosince 2018 )
9. Tento výsledek je uveden v ekvivalentní, ale méně obecné formě v D. Hoareau, „  Cauchy-Schwarzův par le calcul diferenciál  “ , na megamaths ,2003.
10. Tento důsledek najdeme v (en) D. Kleinovi, Lagrangeových multiplikátorech bez trvalých jizev , UC Berkeley .
11. Standardnější a kratší důkaz viz například Sylvie Benzoni -Gavage, Diferenciální počet a diferenciální rovnice , Dunod ,2010( číst online ) , s.  78-79Nebo „Extrema related“ na Wikiversity .
12. Viz například M. Bierlaire, Úvod do diferencovatelné optimalizace , PPUR ,2006( online prezentace , číst online ) ,? .
13. Je vysvětleno v Hoareau 2003 v případě m = 1.
14. Tento příklad je převzat z X. Gourdon, Analyzovat, Les matematika en tête: Matematika pro MP * , elips , 2 nd ed., 2008 ( ISBN  2729837590 ) .
15. Tento příklad je zpracován v C. Barreteau, Calcul des variace , ESPCI .
16. Další podrobnosti viz L. Andry, Sobolev's Spaces , EPFL .
17. Haïm Brezis , Funkční analýza: teorie a aplikace [ detail vydání ], str.  122 , Věta VIII.2.
18. Tento výpočet je prezentován například na S. Mehl, Dido, Kartágo, výpočet variací a Lagrangeův multiplikátor , ChronoMath.

Podívejte se také

Související články

• Podmínky společnosti Kuhn-Tucker
• Podmínky optimality (konečná dimenze)

Bibliografie

• (en) William P. Ziemer, Slabě diferencovatelné funkce: Sobolevovy prostory a funkce omezené variace , New York / Berlín / Paříž atd., Springer,1989, 308  s. ( ISBN  0-387-97017-7 )
• (en) BD Craven, „  Zobecnění Lagrangeových multiplikátorů  “ , Bull. Jižní. Matematika. Soc. , sv.  3,1970, str.  353-362 ( číst online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">