Paraboloid

V matematiky , je paraboloid je kvadratický povrch z euklidovském prostoru . Je tedy součástí kvadriku , jehož hlavní charakteristikou je, že nemá střed symetrie .

Některé části paraboloidu s rovinou jsou paraboly . Jinými jsou elipsy nebo hyperboly . Proto rozlišujeme mezi eliptickými paraboloidy a hyperbolickými paraboloidy .

Eliptický paraboloid

Tento povrch lze získat posunutím jedné paraboly po jiné parabole otáčením její konkávnosti stejným směrem.

V dobře zvoleném souřadnicovém systému má jeho rovnice tvar

z=(Xna)2+(yb)2{\ displaystyle z = \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2}}

Případ poskytuje jako ortonormální souřadnicový systém konkrétní případ paraboloidu revoluce . Jeho úseky s rovinou kolmou na osu otáčení jsou pak kruhy . Diagram naproti tomu představuje pro a mezi -1 a 1 povrch rovnice . „Vodorovné“ kruhy jsou vidět v modrozelených čarách a „vertikální“ paraboly ve žlutých čarách. na=b{\ displaystyle a = b}X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle}z=X2+y2{\ displaystyle z = x ^ {2} + y ^ {2}}

Objem z mísy výšky eliptického paraboloidu je dána vzorcem , což znamená, že plocha elipsy , který vymezuje. h{\ displaystyle h}PROTI=Sh2{\ displaystyle V = {\ frac {Sh} {2}}}S{\ displaystyle S}

Aplikace

Tento povrch má klasické aplikace v oblasti zrcadel . Dodává svůj tvar projektorům, jako jsou světlomety automobilů, i senzorům, jako jsou satelitní antény nebo solárním trubkám, jako je Odeillo . Výhodou parabolického povrchu oproti sférickému výřezu je koncentrace odražených paprsků v jednom bodě: v ohnisku. Sférický povrch nebude odrážet paprsky v jediném bodě, ale rozptýlí je na své ose otáčení podle úhlu dopadu.

Hyperbolický paraboloid

Tento povrch lze získat posunutím jedné paraboly po jiné parabole otáčením její konkávnosti v opačném směru. Je to také řízená plocha, kterou lze generovat posunutím čáry na základě dvou nekoplanárních pevných čar, přičemž zůstává rovnoběžná s pevnou rovinou. Je tedy možné takový povrch postavit pomocí řetězců natažených mezi 4 hromádkami. Tato technika se často používá ve skautingu jako dekorace.

V dobře zvoleném souřadnicovém systému má jeho rovnice tvar

z=(Xna)2-(yb)2{\ displaystyle z = \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2}}

nebo

Z=XYα{\ displaystyle Z = {\ frac {X \, Y} {\ alpha}}}

Zvláštní tvar tohoto povrchu mu vynesl přezdívku „sedlo koně“. Diagram naproti tomu představuje pro a mezi –1 a 1 povrch rovnice . Rozpoznáváme žlutě „horizontální“ hyperboly, které se degenerují do sečnových linií pro , a v purpurově „vertikálních“ parabolách. X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle}z=X2-y2{\ displaystyle z = x ^ {2} -y ^ {2}}z=0{\ displaystyle z = 0 \, \!}

Koňské sedlo se liší od obecnějšího opičího sedla, protože představuje minimax (v závislosti na použité sekanční rovině je buď minimum, nebo maximum). Opičí sedlo tuto vlastnost nemá. Lze si jej představit jako sedlo, na kterém mohla sedět opice, aniž by jí zasahovala do nohou nebo ocasu . Zde je příklad opičího sedla:

z=X(X2-nay2){\ displaystyle z = x \ left (x ^ {2} -ay ^ {2} \ right)}

Aplikace

Hyperbolický paraboloid inspiroval architekty, jako jsou Antoni Gaudí (klenba chrámu Sagrada Família - projekt 1917), Bernard Lafaille , Guillaume Gillet (architekt) ( kostel Notre-Dame de Royan, kostel Saint-Crépin a Saint-Crépinien de Soissons), Félix Candela , Le Corbusier a Xenakis (pavilon společnosti Philips pro univerzitu v Bruselu v roce 1958 ), Eduardo Catalano (dům Catalano, Raleigh, 1954). Několik pozoruhodných příkladů lze nalézt na závojových střechách určitých budov, jako je Scotiabank Saddledome .

Tvar Pringles je někdy spojován s tvarem hyperbolického paraboloidu.

Poznámky a odkazy

1. Baden-Powellův průzkum .
2. (in) Eric W. Weisstein , „  Opičí sedlo  “ na MathWorld .
3. Jean-Claude Caillette, Antonin Gaudi (1852-1926): geniální architekt , Éditions L'Harmattan, 2011, s. 251 .
4. V roce 1932 produkoval první hyperbolické paraboloidy v tenkém závoji ( Techniques et architecture , Numéros 406 až 407, 1993, s. 121).
5. „  Kostel Notre-Dame de Royan v Charente-Maritime - Guillaume Gillet (1912-1987)  “ , na www.notre-dame-royan.com
6. „Félix Candela posunul hyperbolický paraboloid na hranici své konstrukční kapacity“ ( Charles Jencks , Modern Movements in Architecture , Architecture and Research, svazek 5, 1977, s. 66 ).
7. (in) Joe Junkel, Catalano House Destroyed Forever .
8. Například viz (in) Thomas Hull, Project Origami: Activities for Exploring Mathematics , CRC Press , 2012, s. 197 .

Podívejte se také

• Eliptický paraboloid na mathcurve.com
• Hyperbolický paraboloid: matematické definice a aplikace v architektuře na mathcurve.com