Afinní rovina (struktura dopadu)

V axiomatickém přístupu k geometrii je možné definovat rovinu jako strukturu dopadu , to znamená datum primitivních objektů, bodů a čar (což jsou určité množiny těchto bodů) a vztah známý jako dopad, mezi bodem a přímkou ​​(což je vztah příslušnosti bodu k přímce). Afinní rovina je pak taková konstrukce splňující axiomy výskytu  :

• dva odlišné body A a B dopadají na jednu přímku (označenou ( AB ));
• na stejné linii jsou alespoň tři nenarazené body (jinými slovy: tři nevyrovnané body);
• žádné právo z a kterýmkoli bodem A nedopadají na , existuje jediný právo z incidentu tak, aby žádný bod dopadá na obou stranách z a z (a to: a pravý z cesty A a disjunktních části d ).

Je také možné definovat afinní rovinu jako afinní prostor dimenze 2 na těle . Jakákoli afinní rovina na těle, stejně jako obvyklá skutečná afinní rovina , je afinní rovina jako struktura dopadu v tom smyslu, že jeho body a jeho přímky a vztah příslušnosti bodu k přímce splňují axiomy dopadu . Ale tyto dvě definice se neshodují: k tomu je nezbytný další axiom, axiom Desargues (viz afinní arguesiánský plán ). Afinní roviny, které tak uspokojují axiomy dopadu, ale neuspokojují axiom Desargues, jsou považovány za neanguické .

Rovnoběžnost

V tomto přístupu se říká, že dvě linie jsou rovnoběžné, pokud jsou stejné nebo nesouvislé. Jedinečnost dopadající přímky ve dvou odlišných bodech znamená, že dvě neparalelní přímky mají společný pouze jeden bod. Máme tedy následující dichotomii:

• nebo jsou dvě čáry rovnoběžné;
• nebo se protínají v jednom bodě.

Třetí axiom je přeformulován existencí a jedinečností rovnoběžky s danou přímkou ​​procházející daným bodem (včetně případu, kdy bod patří do přímky, podle výše uvedené dichotomie).

Paralelismus je relací ekvivalence  : reflexivita a symetrie jsou evidentní a tranzitivita je demonstrována následovně. Nechť d , d ' a d' jsou tři řádky , takže d je rovnoběžné s d ' a d' je rovnoběžné s d '' . Jsou-li d a d ' disjunktní, jsou rovnoběžné. Pokud naopak mají společný bod A , pak jsou to dvě paralely d procházející A, takže (jedinečností takové paralely) jsou si tedy rovny i tam.

Zavoláme směrových se ekvivalence tříd tohoto vztahu. Směr přímky je tedy množina všech přímek, které jsou s ní rovnoběžné.

Pořadí afinního letadla

V afinní rovině mají všechny čáry a všechny směry stejný počet prvků a toto číslo q (konečné nebo nekonečné) je alespoň 2. Říká se tomu pořadí roviny.

Demonstrace

Pro jakoukoli přímku d je libovolný směr D odlišný od směru d v bijekci s d . Ve skutečnosti, uplatňování práva na D spojuje jeho unikátní společné s d má inverzní bijection aplikace v každém bodě A až D spojuje jedinečné právo na D přes A .

Existují však nejméně tři směry (podle druhého axiomu existují tři nevyrovnané body A , B , C a přímky ( AB ), ( BC ) a ( CA ) pak definují tři odlišné směry). Proto všechny řádky a všechny směry mají stejný počet prvků a - podle prvních dvou axiomů - je tento počet alespoň 2.

Afinní letadlo má nejméně čtyři nevyrovnané tři až tři body.

Demonstrace

Ve skutečnosti existují (podle druhého axiomu) tři body A , B , C, které nejsou zarovnány. Ve třetí axióma, a to buď z rovnoběžně s ( AB ) procházející C . Je odlišný od ( AB ), proto se od něj odděluje. Avšak v souladu s výše uvedenou vlastnost, aby obsahovat bod D odlišný od C . Z toho vyplývá, že body A , B , C a D jsou dva až dva odlišné a tři až tři nevyrovnané.

Přesněji řečeno, v afinní rovině řádu q , každý bod patří q + 1 řádkům, takže počet směrů je q + 1 a počet řádků je q ( q + 1) a existují q 2 body. (Pokud je q nekonečné, všechna tato čísla jsou stejná.)

Dilatace

Dilatace afinní roviny je aplikace množiny bodů sama o sobě, která posílá jakoukoli linii v paralelní linii, to znamená, že:

pro všechny odlišné body A a B obrazů A ' a B' patří bod B ' k paralele k ( AB ) procházejícím A' .

Věta  - 

1. Expanze je zcela určena obrazy dvou odlišných bodů, to znamená, že vzhledem ke čtyřem bodům A , B , A ' a B' s A ≠ B existuje maximálně jedna expanze, která posílá A na A ' a B na B ' .
2. Expanze je buď degenerovaná (tj. Konstantní ), nebo bijektivní .

Demonstrace

1. Ukažme, že obraz M ' kteréhokoli bodu M je zcela určen údaji A' a B ' .
   1. Pokud M není na ( AB ), pak ( AM ) a ( BM ) nejsou paralelní. Bod M ' musí být jak na rovnoběžce s ( AM ) procházející skrz A', tak na rovnoběžce s ( BM ) procházející skrz B ' , což ji určuje, protože tyto dvě přímky nejsou rovnoběžné.
   2. Pokud je M zapnuto ( AB ), vyberte bod N bez dopadu na ( AB ). Podle bodu 1.1. Je určen jeho obraz N ' . Bod M proto není zapnutý ( AN ) - opět podle 1.1. ale nahrazením B a B ‚ s N a N‘ - M ' je plně určena.
2. Zvažte nekonstantní expanzi. Podle bodu 1. je to injekční . Ukažme, že je to také surjektivní . Nechť A , B , A ' a B' jsou jak je uvedeno výše - což znamená, že A ' a B' jsou odlišné a že ( A'B ' ) je paralelní s ( AB ) - a M' jakýkoli bod, který máte vybudovat předchůdce.
   1. Pokud M ‚ není k dispozici ( A'B‘ ), pak je rovnoběžná s alfa ( A'M ‚ ), procházející A a rovnoběžná s p ( B'M‘ ), procházející B se setkají v bodě M . Tento bod nemůže patřit k ( AB ), protože jinak by se ( AB ) setkal s α v A a v M a setkal by se s β v B a v M , proto by se rovnal α nebo β, což je nemožné, protože n 'je paralelní ani k ( A'M ' ), ani k ( B'M' ). Podle 1.1 je obraz M je M ' .
   2. Pokud je M ' zapnuto ( A'B' ), zvolte bod, který nenastal N ' v ( A'B' ). Podle 2.1. Tedy N ' připouští předchůdce N - tedy opět podle 2.1. ale nahrazením B a B ‚ o N a N‘ - M ' připouští předcházela.

Pro nedegenerovanou dilataci je obraz libovolné přímky paralelní přímkou ​​a indukovaná mapa sady přímek sama o sobě je bijektivní.

Homotheties a překlady

Podle výše uvedené věty o jedinečnosti má dilatace jiná než identita nanejvýš jeden pevný bod . Pokud má, řekneme, že se jedná o homothety se středem tohoto bodu; pokud žádný nemá, nazývá se překlad . Identita je považována za homothety (libovolného středu) i za překlad. V pokračování budeme uvažovat pouze o nedegenerovaných dilatacích, které budeme nazývat homothety-translations.

Povahu transformace h lze určit v případě, že čtyři body A , B , h ( A ) a h ( B ) nejsou všechny na stejné linii. Tento předpoklad znamená, že h ( A ) ≠ A a h ( B ) ≠ B a že čáry ( Ah ( A )) a ( Bh ( B )) jsou odlišné. Jsou to tedy:

• nebo jinak sečkovat v bodě O , a v tomto případě je h homothety se středem O  ;
• nebo jinak striktně paralelní, a v tomto případě h je překlad.

Předchozí výsledek lze vylepšit, pokud předem známe povahu homothety překladu:

• překlad je zcela určen obrazem B bodu A  :jestliže M ∉ ( AB ), pak h ( M ) je průsečík rovnoběžky k ( AB ) procházející M a paralely k ( AM ) procházející B  ; obraz bodu N ∈ ( AB ) je určen pomocí bodu M ∉ ( AB );
• homothety je zcela určena jeho středem O a obrazem h ( A ) bodu A ≠ O  :je-li M O ( OA ), pak h ( M ) je průsečík přímky ( OM ) a rovnoběžky s ( AM ) procházející h ( A ); obraz bodu B ∈ ( OA ) je určen bodem M ∉ ( OA ).

Směr translačního t ≠ id definujeme jako množinu přímek rovnoběžných s ( At ( A )), kde A je libovolný bod. Identita se považuje za překlad libovolného směru.

Složení

Homotety-překlady tvoří skupinu G pro kompozici . Ve skutečnosti tvoří podskupinu této skupiny bijekce množiny bodů sama o sobě, protože jestliže dva takové bijekce jsou dilatace, tak jsou jejich sloučeniny a jejich reciprocals . Pro každý bod O , střed dilatací O tvoří podskupinu G .

Překlady tvoří běžnou podskupinu z G , a tak se překlady s daným směrem.

Demonstrace

• Překlady tvoří podskupinu:
  • pro jakoukoli bijekci t má reciproční t −1 stejné pevné body jako t tedy tolik, proto je reciproční překladu překlad;
  • pro všechny překlady t a t ' je složený homothety-překlad t ∘ t' překlad, protože pokud fixuje bod O, pak t ' a t −1 , překlady, které posílají O do stejného bodu, jsou stejné a t ∘ t ' je identita.
• Překlady směru d tvoří podskupinu:
  • převrácená hodnota překladu je překladem stejného směru;
  • pokud t a t ' jsou ve směru d, pak t ∘ t' také proto, že (pro libovolné A ) jsou dva body A a t ( t ' ( A )) na přímce směru d, která prochází t' ( A ).
• Konjugát t ‚= h ∘ t ∘ h -1 překladu t o stejnolehlost-překladu h je překlad, protože v případě, že řeší bod O pak překlad t , kterým h -1 ( O ), je identita proto t '= h ∘id∘ h −1 = id.
• Navíc, pokud t ≠ id, pak t ' má stejný směr jako t  : pokud h pošle A do B, pak ( Bt' ( B )) = ( h ( A ) ( h ∘ t ) ( A )) je rovnoběžné s ( At ( A )).

Spojení s projektivními rovinami

Libovolnou projektivní rovinu lze získat přidáním přímky v nekonečnu k afinní rovině, jejíž každý bod je bod v nekonečnu, který přidáme ke všem přímkám afinním ve stejném směru. Tato projektivní rovina bude mít q 2 + q + 1 bodů a tolik projektivních linií , každá linie bude obsahovat q + 1 bodů a každý bod bude patřit q + 1 liniím. Naopak z projektivní roviny lze získat různé afinní roviny (stejného řádu, ale ne nutně izomorfní) odstraněním libovolné projektivní přímky (a jejích bodů).

Konečné afinní plány a otevřené otázky

Nejmenší afinní rovina je řádu 2: je to afinní rovina na konečném poli F 2 se 2 prvky. Skládá se ze 4 bodů, jedná se o rovnoběžník, protože jeho strany jsou rovnoběžné dva po druhém, ale jeho dvě úhlopříčky jsou také rovnoběžné ( na tělese se dvěma prvky není žádný střed v geometrii). Rovněž se získá odstraněním čáry (a jejích tří bodů) z roviny Fano (projektivní rovina na F 2 ).

Jakákoli mocnina prvočísla je řádem alespoň jedné afinní roviny, ale nevíme, zda je obrácení pravdivé.

Bruck-Ryser-Chowla věta dává omezení na pořadí: pokud q je shodné s 1 nebo 2 modulo 4 , musí být součet dvou čtverců  ; to vylučuje čísla 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42  atd. ale ne například 10 nebo 12.

Objednávka 10 byla vyloučena masivními počítačovými výpočty.

Nejmenší číslo, které nevíme, je-li to pořadí afinní roviny, je 12.

Nevíme, zda je každé afinní letadlo prvního řádu argusiánské.

Poznámky a odkazy

(de) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z německého článku na Wikipedii s názvem „  Affine Ebene  “ ( viz seznam autorů ) .

1. (in) Emil Artin , Geometric Algebra , John Wiley & Sons ,2011( 1 st  ed. 1957 ) ( číst čára ) , kap.  II(transl. Geometric algebra , Calmann-Lévy ).
2. Rozlišovat je Jacqueline Lelong-Ferrand ( J. Lelong-Ferrand , Foundations of geometry , PUF ,1985( ISBN  978-2-13-038851-7 ) , str.  161) upřednostňuje mluvit o rovině afinního typu pro roviny splňující axiomy dopadu a ne nutně o axiomu Desargues, přičemž uvádí, že práce axiomatické geometrie jednoduše hovoří o afinní rovině.
3. Artin 2011 , s.  53.
4. Artin 2011 , s.  54.
5. V argentinské afinní rovině existuje právě jedna.
6. Artin 2011 , s.  55.
7. Artin 2011 , s.  56.
8. Artin 2011 , s.  57.
9. (in) CWH Lam , „  Hledání konečné projektivní roviny řádu 10  “ , Amer. Matematika. Měsíčně , sv.  4,1991, str.  305-318 ( číst online ).

Související články

• Hilbertovy axiomy
• Klasifikace projektivních rovin  (de)
• Ternární těleso  (z)
• Dopad