Millennium Prize Problémy jsou souborem sedmi považováno za nepřekonatelné matematické problémy vznikajícími v důsledku Clay Ústavu matematiky v2000.
Řešení každého problému je obdařeno cenou jednoho milionu amerických dolarů , kterou institut nabízí. v2021, šest ze sedmi otázek zůstává nevyřešeno.
Každá z výzev se skládá z:
Každé z těchto řešení umožní konsolidovat teoretické základy v určitých oblastech základní matematiky a bude představovat důležitý odrazový můstek, který poslouží k prohloubení souvisejících znalostí.
Pokud bude matematické společenství po dvou letech široce přijímáno publikované řešení řešení některého z těchto problémů, pak Clayův institut matematiky přidělí milionu dolarů osobě nebo skupině, která je má.
První z těchto problémů je součástí nevyřešených Hilbertových problémů.
Podrobný popis (v angličtině) každého ze sedmi problémů a toho, co by představovalo přijatelné řešení, najdete na webových stránkách Clay Mathematics Institute .
Na konci XIX th století , matematik David Hilbert sestavil seznam 23 problémů (tzv Riemann hypotéza , například), jejichž řešení by bylo velmi zajímavé předem matematiky. Ve stejném duchu se Clay Mathematics Institute na konci XX th století, se rozhodla udělit cenu ve výši jednoho milionu amerických dolarů s cílem nalézt uspokojivé řešení některého ze 7 stávajících problémů.
K dnešnímu dni je jediným ze sedmi vyřešených problémů Poincaréova domněnka , kterou předvedl Grigori Perelman ( srov. Níže ).
Mediální pokrytí bylo důležité, i když bonusy oznámené Clay Mathematics Institute ve skutečnosti nepředstavují tak velkolepé částky (řádově platy profesorů zastávajících katedry matematiky na významných amerických univerzitách). Je minimálně 130 000 amerických dolarů , takže bonus nepředstavuje mnohem více než pět a méně než deset let příjmu). V rámci matematické komunity neexistovala jednomyslnost ve schvalování existence těchto bonusů.
Riemannova hypotéza je domněnka formulovaná v roce 1859 německým matematikem Bernhardem Riemannem . Říká, že netriviální nuly funkce Riemann zeta mají všechny skutečnou část 1/2. Jeho demonstrace by zlepšila znalosti o distribuci prvočísel .
Grigori Perelman tuto domněnku demonstroval v roce 2003 a jeho demonstrace byla v roce 2006 oceněna polní medailí , ale on ji odmítl. Pokud jde o Clayovu cenu, i když jeho práce nebyly publikovány v recenzovaných časopisech, ale na arXiv , (částečně) moderovaném adresáři určeném k archivaci převážně předtisků fyziky a matematiky, Clay Institute přesto oznámil,18. března 2010, který mu udělil tuto cenu, vzhledem k tomu, že podmínky pro validaci jeho díla byly splněny. The1 st 07. 2010, Clay Institute na své webové stránce oznámil, že Grigory Perelman cenu odmítl. Mezi důvody, které vedly k jeho volbě, a které podle jeho názoru bylo několik, chtěl zdůraznit, že jeho odmítnutí by mělo být považováno za vypovězení přístupu matematické komunity svým způsobem, který považuje za nespravedlivý, přisuzovat tento typ odměny ( podle svých vyjádření ruských médií by zejména naznačil, že v jeho očích byly příspěvky Richarda S. Hamiltona stejně důležité jako jeho).
Jedním z hlavních otevřených problémů teoretické informatiky je, zda P = NP . Matematik a popularizátor Keith Devlin to popisuje jako jediný problém na seznamu potenciálně přístupný neodborníkům, protože jeho popis je přístupný a k jeho vyřešení může stačit jednoduchá myšlenka.
Hodge dohad je jedním z největších dohady v algebraické geometrii . To vytváří spojení mezi algebraické topologii jednoho komplexního non-singulární algebraické potrubí a jeho geometrie popsané polynomiálních rovnic, které definují dílčí rozdělovače. Vychází z výsledku matematika WVD Hodge, který v letech 1930 až 1940 obohatil De Rhamův popis cohomologie , aby zahrnoval struktury přítomné v případě algebraických odrůd (které se mohou rozšířit i na další případy).
Tuto domněnku lze konstatovat následovně: je možné vypočítat kohomologii komplexního projektivního algebraického potrubí z jeho podmanělů.
Domněnka o Birch a Swinnerton-Dyer předpokládá pro všechny eliptické křivky na tělese na zvuk , pořadí zrušení jedné funkce spojené L je rovna hodnosti křivky. Je dokonce předpovídá hodnotu prvního nenulového termínu v omezeném vývoji v jednom z funkce L .
Otevřená po více než čtyřicet let byla domněnka prokázána pouze ve zvláštních případech. To je široce považována za jednu z nejtěžších matematické problémy a nejhlubší stále otevřený na začátku XXI -tého století.
V mechaniky tekutin , Navier-Stokesovy rovnice jsou nelineární parciální diferenciální rovnice, které jsou považovány za popisu pohybu „newtonské tekutiny“ (běžné tekuté a houževnaté plyny) v aproximaci nekonečný materiál . Řešení těchto rovnic modelování kapaliny jako spojitého média s jedinou nestlačitelnou fází, i když je to možné, je obtížné a v obecném případě není matematická konzistence těchto nelineárních rovnic prokázána. Často však umožňují, s přibližným rozlišením, navrhnout modelování oceánských proudů a pohybů vzdušných hmot v atmosféře , pro meteorology numerickou simulaci chování mrakodrapů nebo mostů pod akcí. Vítr pro architekty a inženýry, letadla , vlaky nebo vysokorychlostní automobily pro jejich konstrukční kanceláře, ale také průtok vody v potrubí a mnoho dalších jevů proudění různých kapalin.
Jsou pojmenovány podle dvou vědců XIX . Století , matematika a inženýra silnic a mostů Clauda Naviera a fyzika George Stokese , přičemž tato volba zapomíná na zprostředkující roli fyzika Adhémara Barrého ze Saint-Venantu . U plynu s nízkou hustotou je možné tyto rovnice odvodit z Boltzmannova popisu průměrného chování částic v rámci jeho kinetické teorie plynů.
Tyto rovnice jsou proto zásadní pro vysvětlení chování tekutin. Existují částečná řešení, ale dosud nebylo navrženo žádné obecné řešení. Cena odměňuje demonstraci existence pravidelného řešení rovnic pro nestlačitelnou tekutinu.
Teorie Yang-Mills je druh non-abelovských kalibru teorie, první příklad, který byl zaveden v roce 1950 fyziky Chen Ning Yang a Robert Mills získat konzistentní popis slabé interakce v atomových jader. Protože bylo zjištěno, že tento typ teorie, jakmile je začleněn do rámce teorie kvantového pole , umožňuje popis všech základních interakcí ve fyzice částic a je koncepčním základem standardního modelu .
Jeho moderní matematické vyjádření využívá nástroje diferenciální geometrie a vláknových prostorů . Ačkoli formulace a geometrický rámec klasické teorie Yang-Mills jsou již dlouho známé, dvě základní vlastnosti ještě nebyly matematicky prokázány, a proto jsou předmětem Ceny tisíciletí :
Kromě těchto aspektů spojených s kvantovou fyzikou je klasická Yang-Millsova teorie vysoce nelineární a Yang-Millsovy rovnice s ní spojené je velmi obtížné vyřešit přesně mimo speciální případy. Právě tato nelinearita spojená s bohatou geometrickou strukturou dává Yang-Millsovým teoriím celou jejich komplexnost a činí z nich aktivní předmět výzkumu jak v matematice, tak v teoretické fyzice .
( fr ) Millennium Problems , na webu Claymath.org Clay Institute of Mathematics .