Regularizace (fyzická)
V teoretické fyzice je regularizace ad-hoc postup, který spočívá v úpravě fyzické veličiny, která představuje singularitu , aby byla pravidelná. Regularizace se například hojně používá v teorii kvantového pole v souvislosti s renormalizací procedury a obecně v relativitě k výpočtu problému dvou těl v parametrizaci post-newtonovské .
Základní příklad
Newtonian potenciál ve sférických souřadnicích je napsáno:
PROTI(r) = kr{\ displaystyle V (r) \ = \ {\ frac {k} {r}}}
kde k je konstanta. Tento výraz představuje v počátcích singularitu: při r = 0 se stává skutečně nekonečným . Můžeme to legalizovat zavedením rodiny s jedním parametrem:
PROTIϵ(r) = kr2+ϵ2{\ displaystyle V _ {\ epsilon} (r) \ = \ {\ frac {k} {\ sqrt {r ^ {2} + \ epsilon ^ {2}}}}}
Tento výraz zůstává dobře definován na r = 0 , protože pro všechno máme:
ϵ>0{\ displaystyle \ epsilon> 0}![\ epsilon> 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71)
PROTIϵ(0) = kϵ < + ∞{\ displaystyle V _ {\ epsilon} (0) \ = \ {\ frac {k} {\ epsilon}} \ <\ + \ \ infty}
Regularizace v kvantové teorii pole
Výpočty difúzních procesů v poruchové kvantové teorii pole odhalily odlišné integrály z řádu smyčky. Pro pochopení těchto integrálů se používá několik metod.
Dimenzionální regularizace
Zpočátku má skutečný fyzický časoprostor dimenzi d = 4. Dimenzionální regularizace spočívá v analytickém rozšíření divergentního integrálu pro komplexní dimenze d -prostoru v čase , přičemž získaná funkce je meromorfní . Poté je možné studovat povahu singularity při d = 4, aby se provedla renormalizace odečtením divergentního členu. Metodu, která respektuje jednotnost, kauzalitu a invariantnost měřidla , představili v roce 1972 t'Hooft & Veltman , Bollini & Giambiagi a Ashmore.
Zvažte například následující typický integrál, odpovídající součtu přes kvadri-pulzní p ve smyčce:
Já(d) = ∫ddpp2-m2 = - i (2π)d(4π)d/2 md-2 Γ(1-d2){\ displaystyle I (d) \ = \ \ int {\ frac {d ^ {d} p} {p ^ {2} -m ^ {2}}} \ = \ - \ i \ {\ frac {(2 \ pi) ^ {d}} {(4 \ pi) ^ {d / 2}}} \ m ^ {d-2} \ \ Gamma \ vlevo (1 - {\ frac {d} {2}} \ vpravo )}
kde je Eulerova gama funkce . Abychom studovali singularitu při d = 4, nastavili jsme: a provedeme asymptotickou expanzi na nulu:
Γ(z){\ Displaystyle \ Gamma (z)}
ϵ=4-d{\ displaystyle \ epsilon = 4-d}![\ epsilon = 4 - d](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130b8ec653847481c3ad1dc3a360f8f9ff290f4b)
Γ(1-d2) = Γ(ϵ2-1) ∼ - 2ϵ - 1 + y + Ó(ϵ){\ displaystyle \ Gamma \ left (1 - {\ frac {d} {2}} \ right) \ = \ \ Gamma \ left ({\ frac {\ epsilon} {2}} - 1 \ right) \ \ sim \ - \ {\ frac {2} {\ epsilon}} \ - \ 1 \ + \ \ gamma \ + \ O (\ epsilon)}
kde je Euler-Mascheroniho konstanta . Dedukujeme, že integrál I (d) má jediný pól při d = 4:
y{\ displaystyle \ gamma}![\ gama](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
Já(d) ∼ 2π2im24-d + Finei{\ displaystyle I (d) \ \ sim \ {\ frac {2 \ pi ^ {2} im ^ {2}} {4-d}} \ + \ \ mathrm {hotovo}}
Regularizace Pauli-Villars
Tato metoda spočívá v přidání fiktivních částic o hmotnosti M k počáteční teorii; pak studujeme limit M směřující k nekonečnu. To bylo vydáváno v roce 1949 Pauli a Villars , na základě dřívější práce Feynman , Stueckelberg a Rivier .
Zeta regularizace
Poznámky a odkazy
-
Gerard t'Hooft & Martinus Veltman; Regularizace a renormalizace rozchodových polí , Nuclear Physics B 44 (1972), 189-213.
-
CG Bollini & JJ Giambiagi; "Divergentní" grafy nejnižšího řádu v n-dimenzionálním prostoru , Physics Letter B 40 (1972), 566-568.
-
JF Ashmore; Metoda invariantní regularizace měřidla , Nuovo Cimento Letters 4 (1972), 289-290.
-
Tento příklad je převzat z „modelu hračky“: teorie samointeragujícího skalárního pole . Tento integrál se objeví v korekci jedné smyčky volného propagátoru. Podrobnosti výpočtu lze najít například v: Lewis H Ryder; Quantum Field Theory , Cambridge University Press, 1986 ( ISBN 978-0-521-33859-2 ) , odstavec 9.2, strana 349.φ4{\ displaystyle \ varphi ^ {4}}
-
W Pauli & F Villars; O proměnné regularizaci v relativistické kvantové teorii , Review of Modern Physics 21 (1949), 434-444.
Podívejte se také
Související články
Bibliografie
- Anthony Zee; Teorie kvantového pole v kostce , Princeton University Press, 2010 ( ISBN 978-0-691-14034-6 )
- Silvan S. Schweber; QED a muži, kteří ho vyrobili: Dyson, Feynman, Schwinger a Tomonaga , Princeton University Press, 1994 ( ISBN 978-0-691-03327-3 ) [1]
- Gerard t'Hooft; Citace Classic tento týden (16. dubna 1984) pdf
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">