Rotační
Rotační Operátor je diferenciální operátor s parciální derivace které do trojrozměrné pole vektorů , označených nebo , zápalky další pole označená výběru:
NA{\ displaystyle \ mathbf {A}}NA→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {A}}}}
říhnutí→ NA→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \ {\ vec {\ mathrm {A}}}}buď nebo dobře nebo dobře nebo
∇∧NA{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín \ mathbf {A}}∇×NA{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {A}}∇→∧NA→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ klín {\ vec {\ mathrm {A}}}}∇→×NA→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ krát {\ vec {\ mathrm {A}}}}
podle notačních konvencí použitých pro vektory.
Obtížněji reprezentovatelný stejně přesně jako gradient a divergence vyjadřuje tendenci polních čar vektorového pole točit se kolem bodu: jeho lokální oběh na malé krajce obklopující tento bod není nulový, pokud jeho rotace není. Například :
- v tornádu se vítr otáčí kolem oka cyklónu a vektorové pole rychlosti větru má kolem oka nenulovou rotaci. Rotace tohoto rychlostního pole (jinými slovy pole vířivosti nebo dokonce vírové pole ) je o to intenzivnější, čím blíže jsme k oku. Okamžitá rychlost rotace objemového prvku ve víru je polovina rotace v tomto bodě.
- rotace rychlostního pole tělesa, které se otáčí úhlovou rychlostí, je směrováno podél osy otáčení a orientováno tak, že rotace probíhá vzhledem k němu v přímém směru a je jednoduše stejná .PROTI(r){\ displaystyle \ mathbf {V} (\ mathbf {r})}Ω{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}}}2 Ω{\ displaystyle 2 \ {\ boldsymbol {\ Omega}}}
V mechanice tekutin je pojem rychlosti otáčení zásadní . Popisuje rotaci tekuté částice. Pokud je tok irrotační (jeho rotace je v kterémkoli bodě nulová), z matematického hlediska je vektorem rychlosti gradient potenciálu (říkáme, že rychlosti „jsou odvozeny z potenciálu “). Pokud lze tekutinu považovat za nestlačitelnou , je divergence tohoto vektoru zrušena. Laplacian potenciálu je tedy nulový: jedná se o harmonický potenciál, který splňuje Laplaceovy rovnice .
Definice
Rotační je operátor, který transformuje pole vektorů na jiné pole vektorů.
V prostoru o 3 rozměrech a v kartézských souřadnicích (tedy v přímém ortonormálním základě ) lze definovat rotaci pole F (F x , F y , F z ) vztahem
∇∧F=(∂Fz/∂y-∂Fy/∂z∂FX/∂z-∂Fz/∂X∂Fy/∂X-∂FX/∂y)⟺∇→×F→=∇→∧F=(∂Fz∂y-∂Fy∂z)uX→+(∂FX∂z-∂Fz∂X)uy→+(∂Fy∂X-∂FX∂y)uz→{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín \ mathbf {F} = {\ začátek {pmatrix} {\ částečný \ mathrm {F} _ {z} / \ částečný y} - {\ částečný \ mathrm {F } _ {y} / \ částečné z} \\ {\ částečné \ mathrm {F} _ {x} / \ částečné z} - {\ částečné \ mathrm {F} _ {z} / \ částečné x} \\ { \ částečné \ mathrm {F} _ {y} / \ částečné x} - {\ částečné \ mathrm {F} _ {x} / \ částečné y} \ konec {pmatrix}} \ Longleftrightarrow {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {F}} = {\ vec {\ nabla}} \ klín {F} = {\ bigg (} {\ frac {\ částečné F_ {z}} {\ částečné y}} - {\ frac {\ částečné F_ {y}} {\ částečné z}} {\ bigg)} {\ vec {u_ {x}}} + {\ bigg (} {\ frac {\ částečné F_ {x}} {\ částečné z }} - {\ frac {\ částečné F_ {z}} {\ částečné x}} {\ bigg)} {\ vec {u_ {y}}} + {\ bigg (} {\ frac {\ částečné F_ {y }} {\ částečné x}} - {\ frac {\ částečné F_ {x}} {\ částečné y}} {\ bigg)} {\ vec {u_ {z}}}},
kde označuje operátora nabla . Formální analogie s křížovým produktem ospravedlňuje notaci ( notace se také nachází v anglické literatuře, v souladu s Gibbsovou notací pro křížový produkt).
∇{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}}}∇∧{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín}∇×{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ krát}
To lze také napsat zneužitím notace pomocí determinantu :
∇∧F=|ijk∂∂X∂∂y∂∂zFXFyFz|{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín \ mathbf {F} = {\ začátek {vmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ {\ frac {\ částečné } {\ částečné x}} & {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} & {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} \\\ mathrm {F} _ {x} & \ mathrm { F} _ {y} & \ mathrm {F} _ {z} \ end {vmatrix}}}kde i , j , k odpovídají vektorům uvažovaného ortonormálního základu. Tento poslední výraz je zjevně o něco složitější než ten předchozí, ale je snadno zobecnitelný na jiné souřadnicové systémy (viz níže).
Tato definice nezávisí na základně, ve kterém píšeme F . K vysvětlení této nezávislosti může dát přednost definici, která neodkazuje souřadnice F . Jedna vnitřní definice (mimo jiné) rotace je tedy následující. Z konstantního vektoru X 0 a pole F lze sestrojit pole, jehož divergence je lineární forma vzhledem k X 0 , a proto vyjádřitelná ve formě skalárního součinu K · X 0 , kde K se ukáže jako být opakem rotace F :
X0∧F{\ displaystyle \ mathbf {X_ {0}} \ klín \ mathbf {F}}
∇⋅(X0∧F)=-(∇∧F)⋅X0.{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ mathbf {X_ {0}} \ klín \ mathbf {F}) = - ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín \ mathbf {F}) \ cdot \ mathbf {X_ {0}}.}Další možná definice, obecnější, ale obtížněji formovatelná, spočívá v definování rotace pole vektorů v bodě jako lokální cirkulace pole kolem tohoto bodu. Přesný význam této definice vyplývá z Greenovy věty, kterou pro hraniční povrch implikuje
S{\ displaystyle S}VS{\ displaystyle C}
∮VSF⋅dl=∬S(∇∧F)⋅ds{\ displaystyle \ mast _ {\ mathrm {C}} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {dl} = \ iint _ {\ mathrm {S}} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín \ mathbf { F}) \ cdot \ mathbf {ds}}Stejně jako u křížového produktu dvou vektorů je rotace vektorového pole pravdivá v bodě pseudovektorem .
Rotační tenzor
Ve skutečnosti lze rotaci přesně popsat pouze v rámci formalizmu tenzorů . V této souvislosti se rotace aplikuje na lineární tvar ƒ, aby se vytvořil tenzor řádu 2. Jeho složky jsou zapsány
[říhnutíF]nab=∂naFb-∂bFna{\ displaystyle [\ operatorname {rot} \; f] _ {ab} = \ částečné _ {a} f_ {b} - \ částečné _ {b} f_ {a}}.
Tento výraz zahrnuje pouze běžné deriváty a ne kovariantní deriváty . Rozdíl, ke kterému dochází, je stejný, ať už vezmeme v úvahu běžné deriváty nebo kovarianční deriváty. Tento výraz lze konstrukcí považovat za antisymetrickou matici. V dimenzi 3 je korespondence s vektory (majícími tři složky) a antisymetrickými maticemi (mající tři nezávislé složky). Můžeme tedy tuto matici asimilovat na vektor. Technicky je korespondence prováděna s tenzorem Levi-Civita ε , který umožňuje konstrukci duálního vektoru řádu antisymetrického tenzoru 2. Zvlnění vektorového pole je definováno jako trojrozměrný duální rotačního tenzoru:
[říhnutíF]vs.=12εvs.nab(∂naFb-∂bFna){\ displaystyle [\ operatorname {rot} \; f] ^ {c} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {cab} \ left (\ částečné _ {a} f_ {b} - \ částečné _ {b} f_ {a} \ vpravo)}.
Jakmile je definováno metrické g , můžeme snadno vytvořit rotaci vektoru, pomocí metriky transformovat vektor do jeho přidružené lineární formy a poté použít výše uvedený vzorec. Pro vektor a složek a b tedy máme
[říhnutína]vs.=12εvs.nab(∂na(Gbdnad)-∂b(Gnadnad))=12εvs.nab(∂nanab-∂bnana)=εvs.nab∂nanab{\ displaystyle [\ operatorname {rot} \; a] ^ {c} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {cab} \ left (\ partial _ {a} (g_ {bd} a ^ {d}) - \ částečné _ {b} (g_ {ad} a ^ {d}) \ pravé) = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {cab} \ vlevo (\ částečné _ {a } a_ {b} - \ částečné _ {b} a_ {a} \ pravé) = \ varepsilon ^ {cab} \ částečné _ {a} a_ {b}}.
Je to samozřejmě tento výraz, který se musí použít pro výpočet rotace v nekartézském souřadnicovém systému (například válcovém nebo sférickém, viz níže).
Slovní zásoba
Vektorové pole , jehož otáčení je nula, je irrotational pole nebo konzervativní pole.
Pravidla výpočtu
Linearita
Pro jakoukoli skutečnou konstantu c a pro všechna vektorová pole A a B
∇∧(vs.NA)=vs. ∇∧NA{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín (c \ mathbf {A}) = c \ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín \ mathbf {A}},
∇∧(NA+B)=∇∧NA+∇∧B{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A} + {\ boldsymbol {\ nabla} } \ klín \ mathbf {B}}.
Složení s jiným množstvím
Pro jakékoli skalární pole u ,
∇∧(uNA)=u∇∧NA+(∇u)∧NA{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge (u \; \ mathbf {A}) = u {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} u) \ wedge \ mathbf {A}},
∇∧(NA∧B)=(B⋅∇)NA-(NA⋅∇)B+NA(∇⋅B)-B(∇⋅NA){\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge (\ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {B}) = (\ mathbf {B} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {A} - (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {B} + \ mathbf {A} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {B}) - \ mathbf { B} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {A})},
kde notace představuje skalární operátor na každé souřadnici vektoru, na který se vztahuje .
(NA⋅∇){\ displaystyle (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}})}(NA⋅∇)B=(NA⋅∇BXNA⋅∇ByNA⋅∇Bz){\ displaystyle (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {B} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} _ {x} \\\ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} _ {y} \\\ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} _ {z} \ end {pmatrix}}}
Složení s více operátory
∇∧(∇u)=0 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín ({\ boldsymbol {\ nabla}} u) = {\ boldsymbol {0}} \ \}, tj. rotace gradientu je vždy nulová,
∇ ⋅ (∇∧NA)=0 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {\}} \ cdot \ ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín \ mathbf {A}) = {\ boldsymbol {0}} \ \}tj. divergence rotace je vždy nulová,
∇∧(∇∧NA)=∇(∇⋅NA)-ΔNA{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}) = {\ boldsymbol {\ nabla}} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {A}) - \ Delta \ mathbf {A}}(Viz rotační rotační )
∇∧(NA⋅∇NA)=NA⋅∇(∇∧NA)-(∇∧NA)⋅∇NA{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {A}) = \ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla} } ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}) - ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}) \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {A }}
Vyjádření v jiných souřadnicových systémech
Ve válcových souřadnicích
∇∧NA=(1r∂NAz∂θ-∂NAθ∂z)ur+(∂NAr∂z-∂NAz∂r)uθ+1r(∂∂r(rNAθ)-∂NAr∂θ)uz{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín \ mathbf {A} = \ vlevo ({\ frac {1} {r}} {\ frac {\ částečný \ mathrm {A} _ {z}} {\ částečná \ theta}} - {\ frac {\ částečná \ mathrm {A} _ {\ theta}} {\ částečná z}} \ doprava) \ mathbf {u_ {r}} + \ doleva ({\ frac {\ částečná \ mathrm {A} _ {r}} {\ částečné z}} - {\ frac {\ částečné \ mathrm {A} _ {z}} {\ částečné r}} \ vpravo) \ mathbf {u _ {\ theta }} + {\ frac {1} {r}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} (r \ mathrm {A} _ {\ theta}) - {\ frac {\ částečné \ mathrm {A} _ {r}} {\ částečná \ theta}} \ vpravo) \ mathbf {u_ {z}}}.
Ve sférických souřadnicích
Výběrem fyzických notací pro konvenci (v souladu s normou ISO 31-11 ), a to
:
(X,y,z)⟶(rcosφhříchθ,rhříchφhříchθ,rcosθ),0≤θ≤π,0≤φ<2π{\ Displaystyle (X, y, z) \ longrightarrow (r \ cos \ varphi \ sin \ theta, r \ sin \ varphi \ sin \ theta, r \ cos \ theta), 0 \ leq \ theta \ leq \ pi, 0 \ leq \ varphi <2 \ pi}
∇∧NA=1rhříchθ(∂∂θ(hříchθNAφ)-∂NAθ∂φ)ur+(1rhříchθ∂NAr∂φ-1r∂∂r(rNAφ))uθ+1r(∂∂r(rNAθ)-∂NAr∂θ)uφ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ klín \ mathbf {A} = {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}} (\ sin \ theta \ mathrm {A} _ {\ varphi}) - {\ frac {\ částečné \ mathrm {A} _ {\ theta}} {\ částečné \ varphi}} \ vpravo) \ mathbf {u_ {r }} + \ left ({\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné \ mathrm {A} _ {r}} {\ částečné \ varphi}} - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} (r \ mathrm {A} _ {\ varphi}) \ right) \ mathbf {u _ {\ theta}} + {\ frac {1} {r}} \ left ({\ frac {\ částečné} {\ částečné r}} (r \ mathrm {A} _ {\ theta}) - {\ frac {\ částečné \ mathrm {A} _ {r}} {\ partial \ theta}} \ right) {\ boldsymbol {\ mathbf {u _ {\ varphi}}}}}.
Jednotka
V obvyklém případě, kdy souřadnice základny představují délky, je jednotkou rotace jednotka uvažovaného pole dělená jednotkou délky. Například rotační jednotka rychlostního pole je radián za jednotku času, jako úhlová rychlost.
Poznámky a odkazy
-
V rukopisu, kde je obtížné dosáhnout tučných znaků, je upřednostňována jedna z posledních dvou notací, ale v práci často najdeme první notaci.
-
Sciences.ch (vektorový počet)
-
To platí přísně, pouze pokud se člověk omezuje na případ, kdy je torze nulová. Ale i za přítomnosti nenulové torze zůstává výraz s běžnými derivacemi tenzorem.
-
Následující vzorce vyjádřené tradičními operátory se stanou:
rot (u A ) = u rot ( A ) + (grad u) ∧ A a rot ( A ∧ B ) = (grad A ) ⋅ B - (grad B ) ⋅ A + A div B - B div A kde definovat gradient vektoru pomocí jeho Jacobian matice.
Srov. Například Pierre Pernès , Úvod do mechaniky deformovatelných médií: Prvky tenzorového výpočtu , Quæ ,2003, 441 s. ( ISBN 978-2-85362-612-5 , číst online ), ukázky str. 221-223 a definice gradientu vektorového pole (což je pole tenzorů řádu 2) str. 176 a následující
-
„ Matematické nástroje pro mechaniku: Pracovní list 7: Vektorová analýza “ , na http://math.univ-lille1.fr/ , rok 2013-2014
Podívejte se také