Cauchy Suite
V matematické analýzy , je cauchyovská je sekvence z reálných čísel , komplexů , míst jednoho metrického prostoru nebo obecněji z jednotného prostoru , jehož podmínky přiblížit z jisté pozice. Tyto sekvence jsou ty, které pravděpodobně konvergují . Jsou klíčové pro definici celistvosti . Suity Cauchy jsou pojmenovány podle francouzského matematika Augustina Louis Cauchy .
Tato představa je v jednotném prostoru zobecněna pojmy Cauchyova filtru a zobecněné Cauchyovy posloupnosti .
Skutečná nebo složitá sada Cauchy
Sekvence ( r n ) realit nebo komplexů se říká, že je Cauchy , nebo splňuje Cauchyovo kritérium , když se podmínky sekvence k sobě jednotně přibližují v nekonečnu ve smyslu, že:
limp,q→∞|rp-rq|=0.{\ displaystyle \ lim _ {p, q \ až \ infty} | r_ {p} -r_ {q} | = 0.}
Tato poslední podmínka je konvenčně přepsána pomocí univerzálních a existenciálních kvantifikátorů :
∀ε>0∃NE∈NE∀p≥NE∀q≥NE|rp-rq|<ε,{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ existuje N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall p \ geq N \ quad \ forall q \ geq N \ quad | r_ {p} -r_ {q} | <\ varepsilon,}
nebo:
∀ε>0∃NE∈NE∀ne≥NE∀k≥0|rne+k-rne|<ε.{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ existuje N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n \ geq N \ quad \ forall k \ geq 0 \ quad | r_ {n + k} -r_ {n } | <\ varepsilon.}
Jednotnost v definici je důležitá: nestačí, aby rozdíl po sobě jdoucích členů posloupnosti směřoval k 0, aby tato posloupnost byla Cauchy. Například, sekvence ( H n ) z částečných součtů jednotlivých harmonických série splňuje H n + 1 - H n =1/n +1→ 0, ale ( H n ) není Cauchy ani ohraničený, protože má sklon k + ∞ .
Cauchyovo kritérium - posloupnost reálných čísel (respektive komplexních) konverguje do ℝ (respektive ℂ) právě tehdy, pokud se jedná o Cauchyovu posloupnost.
Cauchyho sada v metrickém prostoru
Definice
Sekvence v metrickém prostoru ( E , d ), se nazývá Cauchyova, jestliže:
(Xne)ne∈NE{\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
∀ε>0∃NE∈NE∀p≥NE∀q≥NEd(Xp,Xq)<ε,{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ existuje N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall p \ geq N \ quad \ forall q \ geq N \ quad d (x_ {p}, x_ {q} ) <\ varepsilon,}
což se rovná
∀ε>0∃NE∈NE∀q≥NEd(XNE,Xq)<ε,{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ existuje N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall q \ geq N \ quad d (x_ {N}, x_ {q}) <\ varepsilon,}
nebo více synteticky, pokud
limp,q→∞d(Xp,Xq)=0{\ displaystyle \ lim _ {p, q \ až \ infty} d (x_ {p}, x_ {q}) = 0}
nebo pokud průměr množiny členů s indexy většími než n má sklon k 0, když n má sklon k nekonečnu:
limne→∞supm≥ned(Xm,Xne)=0.{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ sup _ {m \ geq n} d (x_ {m}, x_ {n}) = 0.}
Cauchyovy posloupnosti reálných čísel jsou proto zvláštním případem této definice, protože jako vzdálenost na ℝ bereme absolutní hodnotu rozdílu.
Nerovnosti jiné než ε> 0 lze brát stejně široké nebo přísné.
Intuitivně se pojmy posloupnosti přibližují a přibližují k sobě způsobem, který naznačuje, že posloupnost musí mít limit v prostoru. Konvergentní sekvence jsou skutečně Cauchyho, ale obrácení není pravdivé ve všech obecnostech. Například některé Cauchyovy posloupnosti racionálních konvergují k iracionálním , proto konvergují v ℝ, ale ne v ℚ.
Příklad (bez předpokladu, že pole reálných čísel je známé ) : čerpáním inspirace z Heronovy metody sestrojíme sestupnou posloupnost kladných racionálních x n, jejichž čtverce mají tendenci k 2: x 0 = 3/2, x n +1 =x n/2 + 1/x n. Posloupnost ( x n 2 ) je Cauchy (protože konvergentní) a redukovaná o 1. Můžeme snadno odvodit, že racionální posloupnost ( x n ) je také Cauchy. Nemá však žádný racionální limit, protože takový limit ℓ by měl ověřovat ℓ 2 = 2 a druhá odmocnina 2 je iracionální.
To je důvod, proč se říká, že metrický prostor, ve kterém se konverguje libovolná Cauchyova sekvence, je úplný . Sada reals je úplná a standardní konstrukce této sady používá Cauchyovy posloupnosti racionálů.
Vlastnosti
- V metrickém prostoru je jakákoli konvergentní sekvence Cauchy.Opak platí pouze v kompletním prostoru, například Banachův prostor , jako ℝ n nebo ℂ n obdařen vzdálenosti spojené s jakékoliv normou .
- Každá Cauchyova sekvence je ohraničená .
- Cauchyova sekvence má nanejvýš jednu hodnotu adheze a pokud ji má, pak konverguje.
- Obraz Cauchyho sekvence rovnoměrně spojitou mapou pochází z Cauchy.
- V prostoru sekvencí ohraničených hodnotami v metrickém prostoru E , vybaveném jednotnou vzdáleností , tvoří Cauchyovy sekvence uzavřený ; pokud E je normovaný vektorový prostor , je tento uzavřený vektorovým podprostorem prostoru ohraničených sekvencí; pokud E je normou algebry , to podprostor je podalgebry algebry ohraničených sekvencí.
- Pokud je sekvence z Cauchy, pak . V ultrametrickém prostoru platí obráceně.(Xne){\ displaystyle (x_ {n})}d(Xne,Xne+1)→0{\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {n + 1}) \ až 0}
Nestandardní přístup
V nestandardní analýze existuje pro standardní metrický prostor ekvivalentní, ale praktická definice pojmu Cauchyova posloupnost.
(X,d){\ displaystyle (X, d)}
- Ve standardním metrickém prostoru je standardní posloupnost x Cauchy právě tehdy, když pro všechna nestandardní přirozená celá čísla p a q je reálná nekonečně malá:(X,d){\ displaystyle (X, d)}d(Xp,Xq){\ displaystyle d (x_ {p}, x_ {q})}
∀p,q∈NE,[p≃∞∧q≃∞⇒d(Xp,Xq)≃0]{\ displaystyle \ forall p, q \ in \ mathbb {N}, \; \ left [p \ simeq \ infty \ wedge q \ simeq \ infty \ Rightarrow d (x_ {p}, x_ {q}) \ simeq 0 \ že jo]}.
Ve skutečnosti, pokud x je cauchyovská, potom pro všechny skutečné existuje celé číslo takové, že pro všechny p , q > N , máme: . Pokud je standardní reálný, princip přenosu umožňuje uložit jako standardní celé číslo, protože posloupnost x je standardní. Nestandardní přírodní celé zlato je přísně větší než jakýkoli standardní přírodní celek. Pokud jsou p a q nestandardní celá čísla, jsou větší než všechna . Proto je přísně nižší než všechny skutečné přísně pozitivní standardy; je tedy nekonečně malý.
ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}NE(ε){\ displaystyle N (\ varepsilon)}d(Xp,Xq)<ε{\ displaystyle d (x_ {p}, x_ {q}) <\ varepsilon}ε{\ displaystyle \ varepsilon}NE(ε){\ displaystyle N (\ varepsilon)}NE(ε){\ displaystyle N (\ varepsilon)}d(Xp,Xq){\ displaystyle d (x_ {p}, x_ {q})}
Naopak, předpokládejme, že pro všechna nestandardní celá čísla p a q je reálná nekonečně malá. Nejprve opravme N nestandardní celé číslo. Cokoli větší než N je také nestandardní. Nebo skutečný standard. Pak pro p a q > N , máme: . Ve skutečnosti je to následující tvrzení:
d(Xp,Xq){\ displaystyle d (x_ {p}, x_ {q})}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}d(Xp,Xq)<ε{\ displaystyle d (x_ {p}, x_ {q}) <\ varepsilon}
∃NE∈NE,∀p,q∈NE,(p,q>NE⇒d(Xp,Xq)<ε){\ displaystyle \ existuje N \ in \ mathbb {N}, \; \ forall p, q \ in \ mathbb {N}, \; (p, q> N \ Rightarrow d (x_ {p}, x_ {q} ) <\ varepsilon)}
je ověřen pro jakýkoli skutečně přísně pozitivní standard . Podle principu přenosu , je ověřena za všechno , což znamená přesně to x je Cauchy.
ε{\ displaystyle \ varepsilon}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}
Cauchyho apartmá v jednotném prostoru
V jednotném prostoru , sekvence se nazývá cauchyovská když pro všechny kontinuální mezera d na X , existuje přirozené číslo N takové, že pro všechny , máme: .
(Xne){\ displaystyle (x_ {n})}p,q>NE{\ displaystyle p, q> N}d(Xp,Xq)<1{\ displaystyle d (x_ {p}, x_ {q}) <1}
V praktických příkladech:
- v topologickém skupině G , sekvence se nazývá cauchyovská, když pro každou sousedství V neutrální prvku, existuje přirozené číslo N takové, že pro všechny p , q > N , máme :;(Gne){\ displaystyle (g_ {n})}Gp-1.Gq∈PROTI{\ displaystyle g_ {p} ^ {- 1} .g_ {q} \ ve V}
- zejména v topologické vektorovém prostoru E , posloupnost vektorů se nazývá cauchyovská, když pro každou sousední V 0, existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna p , q > N , máme: .(une){\ displaystyle (u_ {n})}uq-up∈PROTI{\ displaystyle u_ {q} -u_ {p} \ ve V}
Poznámky a odkazy
-
Pierre Colmez , Elementy analýzy a algebry (a teorie čísel) , Éditions de l'École Polytechnique ,2009( číst online ) , s. 68.
-
Použitím stejné techniky jako v „Limitu (elementární matematika)“ .
-
Pro demonstraci viz například kapitolu „Úplnost“ lekce „Obecná topologie“ na Wikiversity .
-
Demonstraci najdete například v tomto opraveném cvičení na Wikiversity .
Podívejte se také
Bibliografie
Související články
Externí odkaz
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">