Stabilita EBSB
Stabilita EBSB je zvláštní forma stability dynamických systémů studovaných v automatické , na zpracování signálů a konkrétněji v elektrotechnice . EBSB znamená ohraničené Input / Output ohraničena: v případě, že systém je EBSB stabilní, pak pro každou ohraničený vstup je systém výstup je také.
Podmínka časové domény
Neměnný a kontinuální čase lineární systém , jehož přenosová funkce je racionální a přísně správné je stabilní EBSB tehdy a jen tehdy, pokud jeho impulsní odezva je zcela integrovatelná, tedy pokud je jeho norma existuje:
L1{\ displaystyle L ^ {1}}
L1=∫-∞∞|h(t)|dt=‖h‖1<∞.{\ displaystyle L ^ {1} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (t) \ right | dt} = \ | h \ | _ {1} <\ infty.}
V diskrétním čase je systém stabilní EBSB právě tehdy, je-li jeho impulsní odezva absolutně sečtitelná, tj. Pokud jeho norma existuje:
ℓ1{\ displaystyle \ ell ^ {1}}
ℓ1=∑ne=-∞∞|h(ne)|=‖h‖1<∞.{\ displaystyle \ ell ^ {1} = \ součet _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (n) \ right |} = \ | h \ | _ {1} <\ infty .}
Demonstrace
Je nabízena v diskrétním čase, ale stejné argumenty platí v nepřetržitém čase.
Požadovaný stav
Omezenému vstupu odpovídá uspokojivý
výstupX(ne)=podepsat(h(-ne)){\ displaystyle x (n) = \ operatorname {znamení} (h (-n))}y(ne) {\ displaystyle y (n) \}
y(ne)=h(ne)∗X(ne) {\ Displaystyle y (n) = h (n) * x (n) \}kde je produkt konvoluce, tj . :
∗{\ displaystyle *}
y(ne)=∑k=-∞∞h(k)X(ne-k).{\ displaystyle y (n) = \ součet _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h (k) x (nk)}.}Zejména y(0)=∑k=-∞∞h(k)X(-k)=∑k=-∞∞|h(k)|.{\ displaystyle y (0) = \ součet _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h (k) x (-k)} = \ součet _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {| h (k) |}.}
Takže protože je omezený.
‖h‖1<∞{\ displaystyle \ | h \ | _ {1} <\ infty}y(0) {\ displaystyle y (0) \}
Dostatečný stav
Zvažte omezený vstup, to znamená , a předpokládejte . Pak je výstup uspokojivý
‖X‖∞<∞{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} <\ infty}‖h‖1<∞{\ displaystyle \ | h \ | _ {1} <\ infty}y(ne) {\ displaystyle y (n) \}
|y(ne)|=|∑k=-∞∞h(ne-k)X(k)|≤∑k=-∞∞|h(ne-k)||X(k)|{\ displaystyle \ left | y (n) \ right | = \ left | \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h (nk) x (k)} \ right | \ leq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (nk) \ right | \ left | x (k) \ right |}}(
trojúhelníkovou nerovností )
≤∑k=-∞∞|h(ne-k)|‖X‖∞=‖X‖∞∑k=-∞∞|h(ne-k)|=‖X‖∞‖h‖1.{\ displaystyle \ leq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (nk) \ right | \ | x \ | _ {\ infty}} = \ | x \ | _ { \ infty} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (nk) \ right |} = \ | x \ | _ {\ infty} \ | h \ | _ {1} .}Takže je také omezený.
|y(ne)|{\ displaystyle \ left | y (n) \ right |}
Podmínka frekvenční domény
Nepřetržitý signál
Dovolit být invariantní lineární systém s kontinuálním časem, jehož přenosová funkce má být racionální . Zaznamenáním pólů ( komplexních kořenů jmenovatele ) a úsečky konvergence definované pomocí ukazujeme, že systém je stabilní EBSB právě tehdy .
H(p) {\ displaystyle H (p) \}pi {\ displaystyle p_ {i} \}σ {\ displaystyle \ sigma \}σ=maxRe(pi) {\ displaystyle \ sigma = \ max \ operatorname {Re} (p_ {i}) \}σ<0 {\ displaystyle \ sigma <0 \}
Důkaz
Vzhledem k tomu, je Laplace převádí na impulsní odezvy ,
H(p) {\ displaystyle H (p) \} h(t) {\ displaystyle h (t) \}
H(p)=∫0∞E-pth(t)dt{\ displaystyle H (p) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- pt} h (t) dt}a doménou konvergence je polorovina .
Re(p)>σ {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> \ sigma \}
Pokud je systém stabilní EBSB, pak je v a od té doby
dochází ke konvergencih(t) {\ displaystyle h (t) \}L1{\ displaystyle L ^ {1}}p=0 {\ displaystyle p = 0 \}
|H(0)|=|∫0∞h(t)dt|≤∫0∞|h(t)|dt{\ displaystyle | H (0) | = \ left | \ int _ {0} ^ {\ infty} h (t) dt \ right | \ leq \ int _ {0} ^ {\ infty} | h (t) | dt}což je podle předpokladu konečné množství. Protoσ<0 .{\ displaystyle \ sigma <0 \.}
Předpokládejme . Vzhledem k tomu, že hypotéza racionality má formu
σ<0 {\ displaystyle \ sigma <0 \}H(p) {\ displaystyle H (p) \}
H(p)=∑ivs.ip-pi,{\ displaystyle H (p) = \ součet _ {i} {\ frac {c_ {i}} {p-p_ {i}}},}za předpokladu, pro jednoduchost, že póly jsou jednoduché. Inverzní Laplaceova transformace dává
H(p) {\ displaystyle H (p) \}
h(t)=∑ivs.iEpit{\ displaystyle h (t) = \ součet _ {i} c_ {i} e ^ {p_ {i} t}}to je in a systém je stabilní EBSB.
L1{\ displaystyle L ^ {1}}
Diskrétní signál
Dovolit být invariantní lineární systém s diskrétním časem, jehož přenosová funkce má být racionální. Zaznamenáním pólů a modulu konvergence definovaných jako maximum modulů pólů ukážeme, že systém je stabilní EBSB právě tehdy .
H(z) {\ displaystyle H (z) \}zi {\ displaystyle z_ {i} \}ρ {\ displaystyle \ rho \} ρ<1 {\ displaystyle \ rho <1 \}
Důkaz
Vzhledem k tomu, je Z transformace na impulsní odezvy ,
H(z) {\ displaystyle H (z) \} h(ne) {\ displaystyle h (n) \}
H(z)=∑k=0∞h(k)z-k{\ displaystyle H (z) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} h (k) z ^ {- k}}a doména konvergence je vnějšek kruhu, tj .
|z|>ρ {\ displaystyle | z |> \ rho \}
Pokud je systém stabilní EBSB, pak je v a od té doby
dochází ke konvergencih(ne) {\ displaystyle h (n) \}ℓ1{\ displaystyle \ ell ^ {1}}z=1 {\ displaystyle z = 1 \}
|H(1)|=|∑k=0∞h(k)|≤∑k=0∞|h(k)|{\ displaystyle | H (1) | = \ vlevo | \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} h (k) \ pravý | \ leq \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} | h (k) |}což je podle předpokladu konečné množství. Protoρ<1 .{\ displaystyle \ rho <1 \.}
Předpokládejme . Vzhledem k tomu, že hypotéza racionality má formu
ρ<1 {\ displaystyle \ rho <1 \}H(z) {\ displaystyle H (z) \}
H(z)=∑idi1-ziz-1,{\ displaystyle H (z) = \ součet _ {i} {\ frac {d_ {i}} {1-z_ {i} z ^ {- 1}}},}za předpokladu, pro jednoduchost, že póly jsou jednoduché. Inverzní transformace v z dává
H(z) {\ displaystyle H (z) \}
h(ne)=∑idizine{\ displaystyle h (n) = \ součet _ {i} d_ {i} z_ {i} ^ {n}}to je in a systém je stabilní EBSB.
ℓ1{\ displaystyle \ ell ^ {1}}
Kritéria stability
K určení, zda je fyzický systém představovaný blokovým diagramem stabilní nebo ne, lze použít několik metod nebo několik kritérií. Existují 2 typy kritérií:
Tato kritéria se používají pouze k určení, zda je systém stabilní nebo ne, ale neuvádějí stupeň stability, tj. Zda je systém více či méně stabilní. Abychom ocenili tento slavný stupeň stability , je nutné použít jiné nástroje, například fázovou marži a zisk marže nebo faktor kvality .
Poznámky a odkazy
-
Z hlediska státní reprezentace to znamená, že se omezujeme na konečné dimenzionální systémy bez přímého termínu. Například systém skládající se z čistého zisku (resp. Čistého derivátoru) má pro impulsní odezvu Diracovo rozdělení (resp. Jeho derivát), které není funkcí.
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">