Banach-Stoneova věta

V matematice je Banachova-Stoneova věta , pojmenovaná po Stefanovi Banachovi a Marshallovi Stoneovi , výsledkem funkční analýzy, podle které pokud dva kompaktní prostory mají „stejný“ normovaný vektorový prostor (až do izomorfismu ) spojitých zobrazení na komplexních hodnotách , pak jsou homeomorfní .

Státy

Pro každý kompaktní X , Označme C ( X ) na Banachova prostoru kontinuální (tedy omezená ) mapuje z X až ℂ, obdařen normou o stejnoměrné konvergence .

Pro všechna kompaktní X a Y a jakýkoli izometrický lineární surjektiv T : C ( X ) → C ( Y ) existuje homeomorfismus $φ$ : Y → X a aplikace $g$ ∈ C ( Y ) taková, že

{\ displaystyle {\ begin {matrix} & \ forall y \ in Y, & | g (y) | = 1 \\ {\ rm {et}} && \\ & \ forall f \ v C (X), \ pro všechny y \ v Y, & (Tf) (y) = g (y) f (\ varphi (y)). \ end {matrix}}}

Poznámky

Podle této věty, všechny topologické vlastnosti z X, může být „číst“ na normovaný lineární prostor C ( X ). Například: X je metrizovatelné, právě když je C ( X ) oddělitelné („if“ je poznámka v níže uvedeném souhrnu důkazů; „pouze pokud“ je aplikace věty Stone-Weiertrass ).
Tato klasická verze příkazu má několik zobecnění, týkajících se například nekompaktních prostorů nebo aplikačních prostorů s vektorovými hodnotami, nebo za předpokladu, že T je „téměř“ izometrie .

Shrnutí důkazů

Podle k reprezentaci věty Riesz to je dvojí z C ( X ) je Banachův prostor M ( X ) z komplexních (en), kvazi-pravidelný Borel opatření , obdařen normou celkové variace .

Aplikace na x sdružuje Diracovu míru δ x je homeomorfismus, kde X v M ( X ) má topologii slabě * .

Množina extrémních bodů na jednotkové koule z M ( X ) je množina násobků Diracových opatření komplexy modulu 1 a adjoint mapě T *: M ( Y ) → M ( X ), je, jak T , takže surjektivní isometry korespondence mezi těmito extrémními body pro X a jejich analogy pro Y . Můžeme tedy definovat funkci $g$ s hodnotami v komplexech modulu 1 a bijekce $φ$ nastavením

{\ displaystyle T ^ {*} (\ delta _ {y}) = g (y) \ delta _ {\ varphi (y)}.}

Slabá * kontinuita T * zaručuje kontinuitu $g$ a $φ$ . By bijectivity a kompaktnosti , $φ$ je proto homeomorphism.

Poznámky a odkazy

(in) John B. Conway (in) , Kurz funkční analýzy , Springer , al. " GTM " ( n o 96)1990, 2 nd ed. , 400 s. ( ISBN 978-0-387-97245-9 , číst online ) , kap. VI, § 2 („The Banach-Stone Theorem“)
(in) Richard J. Fleming a James E. Jamison , izometrie jsou Banachovy prostory: funkční prostory , CRC Press ,2010, 208 s. ( ISBN 978-1-4200-2615-3 , číst online ) , kap. 2 („Kontinuální funkční prostory - Banach-Stoneova věta“)
(in) RK Singh , „Banach-Stoneova věta a její zobecnění“ , RS Pathalk Nandlal, Analysis and Applications , Allied Publishers (in) ,2004( ISBN 978-8-17764600-9 , číst online ) , s. 31-42
(in) Ehrhard Behrends , „ Isomorphic Banach-Stone theorems and isomorphisms qui are close to isometries “ , Pacific J. Math. , sv. 133, n O 21988, str. 229-250 ( číst online )
Poznámka: pokud je normalizovaný vektorový prostor oddělitelný, pak je metrizační jednotková koule jeho duální, obdařená slabou topologií- *; pokud je tedy C ( X ) oddělitelné, pak X je metrizovatelné.

Související články