V topologii z metrických prostorů se Bolzano-Weierstrassova věta poskytuje sekvenční charakteristiku z kompaktních prostorů . Název je odvozen od matematiků Bernarda Bolzana a Karla Weierstrassa .
Metrizable prostor X je kompaktní (ve smyslu na Borel-Lebesgue axiomu ), pokud (a pouze pokud) jakékoliv sekvence prvků X připouští hodnotu adheze v X , nebo ekvivalentním způsobem, připouští subsekvenci , která konverguje k A člen X .
Toto prohlášení lze rozdělit na:
Jakýkoli postupně kompaktní měřitelný prostor je kompaktní.
(Sekvenčně kompaktní prostor je prostor, ve kterém každá sekvence připouští konvergentní subsekvenci.)
Jakýkoli postupně kompaktní metrický prostor X je zjevně prekompaktní , tj . X připouští překrytí konečným počtem koulí o poloměru r , skutečně, postupná kompaktnost znamená nemožnost existence nekonečna bodů vzdálených dva dva o více než r .
Odvodit, že je kompaktní, postačí použít obecné vazby mezi různými pojmy kompaktnosti : od X prekompaktní, to je tedy oddělitelný na spočetnou základě proto z Lindelöf , to znamená, že všechny otevřené krytina z X připouští počitatelných nedostatečný nápoj . Pak opět pomocí postupné kompaktnosti má konečný podvýkon (pokud ne, lze si vybrat pro všechna n bod a pokračování by nemělo hodnotu adheze).
Dalším konkrétnějším přístupem je použití následujícího lemmatu, které je ekvivalentní existenci Lebesgueových čísel (de) překrytí.
Lemma - Pokud je otevřený kryt sekvenčně kompaktního metrického prostoru X , pak
,to znamená, že existuje r > 0 , takže jakákoli otevřená koule o poloměru r je zahrnuta v alespoň jedné z otevřených kuliček překrytí.
DemonstracePodle absurdity: Předpokládejme, že neexistuje přísně pozitivní reálné r uspokojující vlastnost, pak pro všechna r existuje otevřená koule o poloměru r, která není zahrnuta v jednom z . Zejména pak můžeme uvažovat o existenci sekvence , takže by . Prostor je postupně kompaktní, má sekvence neprázdná přilnavost, existuje posloupnost konvergující k prvku x o X . Tam nutně existuje prvek přesahu tak, že je toto otevřené být sousedství x , proto existuje takové, že . S vědomím, že posloupnost konverguje k x a tedy, že pro všechna n z určité hodnosti a že navíc posloupnost konverguje k 0, očekáváme, že pro všechna n z určité hodnosti v rozporu s definicí z toho, co vyplývá, a tedy hypotéza, která umožňovala postulovat jeho existenci.
Nechť X je postupně kompaktní metrický prostor, dokážme, že je kompaktní. Nechť X je otevřený obal a nechť r je dáno lemmatem. Předkompaktností existuje konečná část Y z X taková . Odvodíme pak, že konečná podčeleď pokrývá X .
Z jakékoli ohraničené reálné sekvence můžeme extrahovat konvergentní subsekvenci.
Tato vlastnost je pouze snadnou částí věty („pouze pokud“), aplikovanou na ohraničené uzavřené intervaly ℝ, které jsou kompaktní podle věty Borel-Lebesgue . Stejným způsobem se vztahuje na složité ohraničené sekvence nebo obecněji na ohraničené sekvence vektorů v normovaném vektorovém prostoru konečné dimenze, ale ve skutečném případě můžeme dát další dva přímé důkazy: