Müntzova věta
Muntz-Szász věta je základním výsledkem teorie aproximace , tušené v roce 1912 Sergej Bernstein a bylo prokázáno v roce 1914 o Herman Muntz ( fr ) . V roce 1916 , Otto Szász rozšířil do složitých exponenty a za předpokladu, jednodušší důkaz tohoto.
Pro I v segmentu některého z ℝ se Weierstrassova věta zajišťuje, že spojitá funkce z I v ℂ je jednotný mezní ze sledu polynomů .
Muntz-Szász věta je zobecněním Weierstrassova věta, v případě, kdy je část I je pozitivní, se sadou „představitelů monomials “, odlišný od přírodních celých čísel , ale uspokojující stavu analogického tomu v divergenci z harmonická řada .
Státy
Jsou:
Následující tvrzení jsou tedy ekvivalentní:
- Následující uspokojuje:(λne)ne{\ displaystyle (\ lambda _ {n}) _ {n}}
∑ne≥11λne=+∞{\ displaystyle \ sum \ limity _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} = + \ infty}
Demonstrace nepřímého významu
Ukážeme, že hypotéza je dostatečná k tomu, aby byla úplná . Následující důkaz (pro I = [0, 1] ) vyžaduje další hypotézu λ n → + ∞, ale „má dvě odlišné výhody oproti většině známých důkazů stejného výsledku: je konstruktivní i krátký . "∑ne≥11λne=+∞{\ displaystyle \ sum \ limity _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} = + \ infty}
F{\ displaystyle F}
VS(Já){\ displaystyle C (I)}
Předpoklady jsou tedy:
0<λ1<λ2<...,λne→+∞Et∑ne=1∞1λne=+∞{\ displaystyle 0 <\ lambda _ {1} <\ lambda _ {2} <\ ldots, \ quad \ lambda _ {n} \ to + \ infty \ quad {\ rm {and}} \ quad \ sum _ { n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} = + \ infty}
a podle Weierstrassovy věty stačí ukázat, že pro každé celé číslo m > 0 existuje posloupnost funkcí P n ( x ) , lineární kombinace (se složitými koeficienty) x λ k , takže rozdíl Q n ( x ): = x m - P n ( x ) rovnoměrně konverguje k 0 na [0, 1] . My definovat indukčním takové sekvence představující:
Q0(X)=Xm,Qne(X)=(λne-m)Xλne∫X1Qne-1(t)t-(1+λne)dt.{\ displaystyle Q_ {0} (x) = x ^ {m}, \ quad Q_ {n} (x) = (\ lambda _ {n} -m) x ^ {\ lambda _ {n}} \ int _ {x} ^ {1} Q_ {n-1} (t) t ^ {- (1+ \ lambda _ {n})} {\ rm {d}} t.}
Jsme snadno zkontrolovat (indukcí) , že:
- každé Q n je rozdíl x m a lineární kombinace x λ k pro k ≤ n ;
- poznámkou ing ║ normu jednotné konvergence na [0, 1] ,‖Qne‖≤∏k=1ne|1-mλk|,{\ displaystyle \ | Q_ {n} \ | \ leq \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ vlevo | 1 - {\ frac {m} {\ lambda _ {k}}} \ vpravo |,}
nebo znovu, použitím logaritmu :ln‖Qne‖≤∑k=1neln|1-mλk|.{\ displaystyle \ ln \ | Q_ {n} \ | \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ ln \ left | 1 - {\ frac {m} {\ lambda _ {k}}} \ vpravo |.}
Podrobnosti výpočtu
(λne-m)Xλne∫X1tλt-(1+λne)dt={Xm-Xλne-li λ=m,λne-mλne-λ(Xλ-Xλne)-li λ≠λne.{\ displaystyle (\ lambda _ {n} -m) x ^ {\ lambda _ {n}} \ int _ {x} ^ {1} t ^ {\ lambda} t ^ {- (1+ \ lambda _ { n})} {\ rm {d}} t = {\ begin {cases} x ^ {m} -x ^ {\ lambda _ {n}} & {\ text {si}} \ lambda = m, \\ {\ frac {\ lambda _ {n} -m} {\ lambda _ {n} - \ lambda}} (x ^ {\ lambda} -x ^ {\ lambda _ {n}}) & {\ text {si }} \ lambda \ neq \ lambda _ {n}. \ end {případy}}}
První bod se odvodí z těchto dvou (kompatibilních) případů aplikací druhého na λ = λ k pro všechna k < n . Aplikováním stejného druhého případu na λ = 0 zjistíme
∀X∈[0,1]|Qne(X)|≤‖Qne-1‖|1-mλne|(1-Xλne)≤‖Qne-1‖|1-mλne|.{\ displaystyle \ forall x \ in [0,1] \ quad | Q_ {n} (x) | \ leq \ | Q_ {n-1} \ | \ left | 1 - {\ frac {m} {\ lambda _ {n}}} \ vpravo | (1-x ^ {\ lambda _ {n}}) \ leq \ | Q_ {n-1} \ | \ vlevo | 1 - {\ frac {m} {\ lambda _ {n}}} \ vpravo |.}
Protože λ n → + ∞ , máme ekvivalent
ln|1-mλk|∼-mλk.{\ displaystyle \ ln \ left | 1 - {\ frac {m} {\ lambda _ {k}}} \ right | \ sim - {\ frac {m} {\ lambda _ {k}}}.}
Podle srovnání série , odvodíme, že ln║ Q n ║ → -∞ , to znamená, že ║ Q n ║ → 0 .
Poznámky a odkazy
-
S. Bernstein, „O nedávném výzkumu týkajícím se nejlepší aproximace spojitých funkcí polynomy“ v Proc. 5. ICM , sv. 1,1912( číst online ) , s. 256-266.
-
(de) Ch. H. Muntz, „Über den Approximationssatz von Weierstrassova “ , v C. Carathéodory , G. Hessenberg , E. Landau a L. Lichtenstein (en) , Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum , Springer ,1914( číst online ) , s. 303-312.
-
(de) O. Szász, „ Über die Aproximace stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen “ , Math. Ann. , sv. 77,1916, str. 482-496 ( číst online ).
-
(in) Manfred von Golitschek, „ Krátký důkaz věty Müntz “ , J. Přibl. Theory , sv. 39,1983, str. 394-395 ( DOI 10.1016 / 0021-9045 (83) 90083-7 ).
-
Walter Rudin , Reálná a komplexní analýza [ detail vydání ], 1978, th. 15,26, s. 294 , poskytuje důkaz, aniž by tuto hypotézu, pomocí teorém na distribuci nul jednoho ohraničené holomorfní funkce na disku .
-
(in) Jose Maria Almira, „ Müntz I kind theorems “ , Průzkumy v teorii přiblížení , sv. 3,2007, str. 152-194 ( arXiv 0710.3570 ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">