Vaschy-Buckinghamova věta
V matematiky , na Vaschy-Buckinghamského věty nebo Pi teorém , je jedním ze základních vět rozměrová analýza . Tato věta stanoví, že pokud fyzická rovnice zahrnuje n fyzických proměnných, které jsou závislé na k základních jednotkách , pak existuje ekvivalentní rovnice zahrnující bezrozměrné proměnné vytvořené z původních proměnných.
ne-k{\ displaystyle nk}
Ačkoli byla tato věta pojmenována po fyzikech Aimé Vaschy a Edgar Buckingham , byla poprvé demonstrována francouzským matematikem Josephem Bertrandem v roce 1878.
Vaschyho prohlášení
Jsou , , , ... z fyzikálních veličin se nejprve jsou hlášeny odlišných základních jednotek a posledních, z jednotek, odvozených od základních jednotek (např. Může být délka, hmotnost, čas a další veličiny , ... bude síly, rychlosti atd .; pak ). Pokud mezi těmito veličinami existuje vztah:
na1{\ displaystyle a_ {1}}
na2{\ displaystyle a_ {2}}
na3{\ displaystyle a_ {3}}
nane{\ displaystyle a_ {n}}
p{\ displaystyle p}
(ne-p){\ displaystyle (np)}
p{\ displaystyle p}
na1{\ displaystyle a_ {1}}
na2{\ displaystyle a_ {2}}
na3{\ displaystyle a_ {3}}
(ne-3){\ displaystyle (n-3)}
na4{\ displaystyle a_ {4}}
na5{\ displaystyle a_ {5}}
nane{\ displaystyle a_ {n}}
p=3{\ displaystyle p = 3}
ne{\ displaystyle n}![ne](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
F(na1,na2,...nane)=0,{\ displaystyle F (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots a_ {n}) = 0,}![F (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots a_ {n}) = 0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4433fe6a408b7035418cf030eae9054ced7c716b)
který existuje bez ohledu na libovolné velikosti základních jednotek, lze tento vztah v parametrech zredukovat na jiný , jmenovitě:
(ne-p){\ displaystyle (np)}![(np)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afaa6e61e34040adf430c2d818b718365690ad92)
F(X1,X2,...Xne-p)=0,{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {np}) = 0,}![f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x _ {{np}}) = 0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39382daba023a9de7f7b7bde0041a1798e27f9e3)
nastavení , ... jsou monomiální funkce , ... (tj . s ).
X1{\ displaystyle x_ {1}}
X2{\ displaystyle x_ {2}}
Xne-p{\ displaystyle x_ {np}}
na1{\ displaystyle a_ {1}}
na2{\ displaystyle a_ {2}}
nane{\ displaystyle a_ {n}}
X1=NA.na1α1na2α2...naneαne{\ displaystyle x_ {1} = A.a_ {1} ^ {\ alpha 1} a_ {2} ^ {\ alpha 2} \ ldots a_ {n} ^ {\ alpha n}}
αi∈R{\ displaystyle \ alpha _ {i} \ in \ mathbb {R}}![\ alpha _ {i} \ in \ mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85dce4a6ecb5077c08ebfa14c63d0ed3527131f4)
Příklad
V dynamice tekutin závisí většina situací na následujících deseti fyzikálních veličinách:
l |
L{\ displaystyle L}![L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8) |
Délka
|
D |
L{\ displaystyle L}![L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8) |
Průměr
|
ε |
L{\ displaystyle L}![L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8) |
Délka drsnosti
|
PROTI |
LT-1{\ displaystyle LT ^ {- 1}}![{\ displaystyle LT ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de29e87206fbb7aebef879fea2e4008ae1e32624) |
Rychlost kapaliny
|
ρ |
ML-3{\ displaystyle ML ^ {- 3}}![{\ displaystyle ML ^ {- 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eaf12b582073f97b6184f0ef5941bba4d73bf43) |
Hustota kapaliny
|
Δp |
ML-1T-2{\ displaystyle ML ^ {- 1} T ^ {- 2}}![{\ displaystyle ML ^ {- 1} T ^ {- 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39fe9eb41f39a9a6cc502a524a644fce50d5886) |
Diferenční tlak
|
G |
LT-2{\ displaystyle LT ^ {- 2}}![{\ displaystyle LT ^ {- 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b5ad8ceba23f583e488faf18a4813dc41cbb86) |
Zrychlení gravitace
|
μ |
ML-1T-1{\ displaystyle ML ^ {- 1} T ^ {- 1}}![{\ displaystyle ML ^ {- 1} T ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd5028e1487c2b9ebe6dd071e9c0a9927f0673a9) |
Dynamická nebo absolutní
viskozita |
σ |
MT-2{\ displaystyle MT ^ {- 2}}![{\ displaystyle MT ^ {- 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9897da88fe315cebd0e8042cddb9db046402bdee) |
Povrchové napětí
|
K nebo E v
|
M-1LT2{\ displaystyle M ^ {- 1} LT ^ {2}}![{\ displaystyle M ^ {- 1} LT ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029ad14881b62f83b5ee8149c7658eb00135f3fb) |
Stlačitelnost
|
Těchto deset veličin je definováno prostřednictvím tří dimenzí, což umožňuje definovat 10-3 = 7 nezávislých bezrozměrných čísel . Proměnné, které se s největší pravděpodobností objeví jako dimenzování, jsou V , ρ a l , které budou z tohoto důvodu zvoleny jako nové základní veličiny.
Dedukujeme bezrozměrná čísla, která na něm závisí:
π1=ΔpρPROTI2=VSP{\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ frac {{\ Delta} p} {{\ rho} V ^ {2}}} = C_ {P}}![{\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ frac {{\ Delta} p} {{\ rho} V ^ {2}}} = C_ {P}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b7726a6bd100ff6ad7627e1f9f7fc50a159b8cf)
,
tlakový koeficient
π2=PROTIGl=Fr{\ displaystyle \ pi _ {2} = {\ frac {V} {\ sqrt {gl}}} = \ mathrm {Fr}}![{\ displaystyle \ pi _ {2} = {\ frac {V} {\ sqrt {gl}}} = \ mathrm {Fr}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/565cd218a9ab4b67ef7af7a7ce276eb4596d2a38)
,
Číslo Froude
π3=PROTIlρμ=RE{\ displaystyle \ pi _ {3} = {\ frac {Vl \ rho} {\ mu}} = \ mathrm {Re}}![{\ displaystyle \ pi _ {3} = {\ frac {Vl \ rho} {\ mu}} = \ mathrm {Re}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e179718816521d49bd02b1e04ed47baf6c0c9d9)
,
Reynoldsovo číslo
π4=PROTI2lρσ=ŽE{\ displaystyle \ pi _ {4} = {\ frac {V ^ {2} l \ rho} {\ sigma}} = \ mathrm {We}}![{\ displaystyle \ pi _ {4} = {\ frac {V ^ {2} l \ rho} {\ sigma}} = \ mathrm {We}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3ba332ef0fab4f7c2b836af29a6a8afd93926e)
,
Weberovo číslo
π5=PROTIK.ρ=Mna{\ displaystyle \ pi _ {5} = {\ frac {V} {\ sqrt {\ frac {K} {\ rho}}}} = \ mathrm {Ma}}![{\ displaystyle \ pi _ {5} = {\ frac {V} {\ sqrt {\ frac {K} {\ rho}}}} = \ mathrm {Ma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce82c50db36629257ea7c353167a210db8315f39)
,
Machovo číslo
π6=lD{\ displaystyle \ pi _ {6} = {\ frac {l} {D}}}![{\ displaystyle \ pi _ {6} = {\ frac {l} {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1449b1b1010973e91c07214ad23be7a3046721)
, poměr délka / průměr
π7=εD{\ displaystyle \ pi _ {7} = {\ frac {\ varepsilon} {D}}}![{\ displaystyle \ pi _ {7} = {\ frac {\ varepsilon} {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847dc6d02a230f6c87fdb42a565681ff7f344527)
relativní drsnost.
Vaschyho demonstrace
Chcete-li dokázat výše uvedenou větu, všimněte si, že množství , ... vykazovaná v odvozených jednotkách, znamená, že lze najít vystavovatele , ... , ... například zprávy o digitálních hodnotách
nap+1{\ displaystyle a_ {p + 1}}
nap+2{\ displaystyle a_ {p + 2}}
nane{\ displaystyle a_ {n}}
α{\ displaystyle \ alpha}
β{\ displaystyle \ beta}
α′{\ displaystyle \ alpha '}
β′{\ displaystyle \ beta '}![\ beta '](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14001f211d8e272b5c10e45c739d320359c48c8)
nap+1na1αna2β...napλ=X1, nap+2na1α′na2β′...napλ′=X2,...,{\ displaystyle {\ frac {a_ {p + 1}} {a_ {1} ^ {\ alpha} a_ {2} ^ {\ beta} \ ldots a_ {p} ^ {\ lambda}}} = x_ {1 }, \ \ {\ frac {a_ {p + 2}} {a_ {1} ^ {\ alpha '} a_ {2} ^ {\ beta'} \ ldots a_ {p} ^ {\ lambda '}}} = x_ {2}, \ ldots,}![{\ frac {a _ {{p + 1}}} {a_ {1} ^ {\ alpha} a_ {2} ^ {\ beta} \ ldots a_ {p} ^ {{\ lambda}}}} = x_ {1}, \ \ {\ frac {a _ {{p + 2}}} {a_ {1} ^ {{\ alpha '}} a_ {2} ^ {{\ beta'}} \ ldots a_ {p } ^ {{\ lambda '}}}} = x_ {2}, \ ldots,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e753ab8d3387476c4e6b122e399ca0d1d6d4fc)
být nezávislý na libovolných hodnotách základních jednotek. (To znamená , , , označující délka, hmotnost, čas a sílu, je poměr , například, by mít hodnotu nezávisle na volbě jednotek). Vztah však:
na1{\ displaystyle a_ {1}}
na2{\ displaystyle a_ {2}}
na3{\ displaystyle a_ {3}}
na4{\ displaystyle a_ {4}}
na4na1na2na3-2{\ displaystyle {\ frac {a_ {4}} {a_ {1} a_ {2} a_ {3} ^ {- 2}}}}![{\ frac {a_ {4}} {a_ {1} a_ {2} a_ {3} ^ {{- 2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fdc60539a6177aa6049cc08944e75f002b41841)
F(na1,na2,...nap,nap+1,nap+2,...)=0,{\ displaystyle F (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots a_ {p}, a_ {p + 1}, a_ {p + 2}, \ ldots) = 0,}![F (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots a_ {p}, a _ {{p + 1}}, a _ {{p + 2}}, \ ldots) = 0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fdf4e469714411e5b35aee8a0abec243fa7ab3c)
lze napsat:
F(na1,na2,...nap,X1na1αna2β...napλ,X2na1α′na2β′...napλ′,...)=0.{\ displaystyle F (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots a_ {p}, x_ {1} a_ {1} ^ {\ alpha} a_ {2} ^ {\ beta} \ ldots a_ {p} ^ {\ lambda}, x_ {2} a_ {1} ^ {\ alpha '} a_ {2} ^ {\ beta'} \ ldots a_ {p} ^ {\ lambda '}, \ ldots) = 0.}![F (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots a_ {p}, x_ {1} a_ {1} ^ {\ alpha} a_ {2} ^ {\ beta} \ ldots a_ {p} ^ {{ \ lambda}}, x_ {2} a_ {1} ^ {{\ alpha '}} a_ {2} ^ {{\ beta'}} \ ldots a_ {p} ^ {{\ lambda '}}, \ ldots ) = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a87bcb4989124f7d8c4ea737f08dbaa49725af2)
Ale změnou velikostí základních jednotek můžeme libovolně měnit číselné hodnoty veličin , ... , jejichž vnitřní hodnoty se předpokládají pevné, zatímco digitální hodnoty , ... se nezmění. Předchozí vztah k přežití bez ohledu na libovolné hodnoty , ... , musí být nezávislý na těchto parametrech; tento vztah má tedy nejjednodušší formu:
na1{\ displaystyle a_ {1}}
na2{\ displaystyle a_ {2}}
nap{\ displaystyle a_ {p}}
X1{\ displaystyle x_ {1}}
X2{\ displaystyle x_ {2}}
Xne-p{\ displaystyle x_ {np}}
na1{\ displaystyle a_ {1}}
na2{\ displaystyle a_ {2}}
nap{\ displaystyle a_ {p}}![a_ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a5f11f304b2976ca9d33d1575c148e791728e7)
F(X1,X2,...Xne-p)=0.{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {np}) = 0.}![f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x _ {{np}}) = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5397dc725ddbe2e9bed858c4ee5933961de21e)
Zobecnění
Podle Vaschyho výroku musí první veličiny souviset s odlišnými základními jednotkami. Zobecnění jednoduše spočívá v úvaze, že první veličiny jsou rozměrově nezávislé, tj. Rozměry těchto veličin nelze zapsat jako monomiální funkci rozměrů ostatních veličin. Vezměme si například 4 fyzikální veličiny, objemovou hustotu , plochu , rychlost a zrychlení . Proměnné , a jsou rozměrově nezávislé; na druhou stranu proměnné , a nejsou, protože .
p{\ displaystyle p}
p{\ displaystyle p}
ρ{\ displaystyle \ rho}
NA{\ displaystyle A}
PROTI{\ displaystyle V}
na{\ displaystyle a}
ρ{\ displaystyle \ rho}
NA{\ displaystyle A}
PROTI{\ displaystyle V}
NA{\ displaystyle A}
PROTI{\ displaystyle V}
na{\ displaystyle a}
[na]=[PROTI]2[NA]-1/2{\ displaystyle [a] = [V] ^ {2} [A] ^ {- 1/2}}![[a] = [V] ^ {2} [A] ^ {{- 1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8716261e7e7f933a6ef2f7fc80088f06301daf6a)
Původ jména "Věta Π"
Tato věta se také nazývá Věta Π, protože ve fyzice je obvyklé používat písmeno Π pro bezrozměrné fyzikální proměnné, které nejsou pojmenovány jako čísla Reynolds , Prandtl nebo Nusselt . Tak jsou pojmenovány v článku Buckinghamu.
Příklady aplikací
Objem koule
Objem z koule závisí pouze na jeho poloměru . Proto ověří rovnici .
PROTI{\ displaystyle V}
R{\ displaystyle R}
F(PROTI,R)=0{\ displaystyle F (V, R) = 0}![{\ displaystyle F (V, R) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcca2f0c186ef40430de6df1f73b5d1e536fb659)
V jednotce SI jsou 2 proměnné dimenzovány na a . Rovnice má 2 proměnné a a jeden celek .
[PROTI]=[L]3{\ displaystyle [V] = [L] ^ {3}}
[R]=[L]{\ displaystyle [R] = [L]}
PROTI{\ displaystyle V}
R{\ displaystyle R}
[L]{\ displaystyle [L]}![{\ displaystyle [L]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1eba88cad4b17de726ed2c779b29eecdf5819a2)
Podle věty existuje funkce taková, že kde je bezrozměrná konstanta.
F{\ displaystyle f}
F(NA,R)=0{\ displaystyle f (A, R) = 0}
NA{\ displaystyle A}![NA](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
Chcete-li najít funkci , musíte najít pár takových . Buď: . Můžeme vzítF{\ displaystyle f}
(α,β){\ displaystyle ({\ alpha}, {\ beta})}
[PROTI]α.[R]β=1{\ displaystyle [V] ^ {\ alpha}. [R] ^ {\ beta} = 1}
[L]3α.[L]β=[L]0{\ displaystyle [L] ^ {3 {\ alpha}}. [L] ^ {\ beta} = [L] ^ {0}}
(α,β)=(1,-3){\ displaystyle ({\ alpha}, {\ beta}) = (1, -3)}
Funkce je poté zapsána . Zjistili jsme, že výsledkem je konstanta bez dimenze (jejíž hodnota je ).
F{\ displaystyle f}
F(PROTI1R3,R)=0{\ displaystyle f ({\ frac {V ^ {1}} {R ^ {3}}}, R) = 0}
PROTIR3=NA{\ displaystyle {\ frac {V} {R ^ {3}}} = A}
4π3{\ displaystyle {\ frac {4 \ pi} {3}}}![{\ displaystyle {\ frac {4 \ pi} {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e505e12e632927f1a44b2c2b53502098eeaa337)
Sport
Užitečnost Vaschy-Buckinghamovy věty mimo fyziku není vyloučena, ale nebyla podrobně studována. To bylo aplikováno v roce 2020 v oblasti sportovní vědy.
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
Z toho mimo jiné vyplývá, že do 5% se objem koule, ať už pracuje ve femtometrech nebo ve světelných letech, rovná polovině krychle jejího průměru.
Reference
-
Aimé Vaschy , „ O zákonech podobnosti ve fyzice “, Annales Télégraphiques , sv. 19,Leden-únor 1892, str. 25-28.
-
(v) Edgar Buckingham , „ FYZIKÁLNĚ máme podobné systémy. Ilustrace použití dimenzionálních rovnic “ , Physical Review , sv. 4, n O 4,1914, str. 345-376.
-
Joseph Bertrand , „ O homogenitě ve vzorcích fyziky “, Proceedings , roč. 86, n o 15,1878, str. 916–920 ( číst online ).
-
(in) Grigory Isaakovich Barenblatt, škálování, sebepodobnost a střední asymptotika: dimenzionální analýza a střední asymptotika , sv. 14, Cambridge University Press ,1996, 408 s. ( ISBN 0-521-43516-1 ).
-
Julien Blondeau , „ Vliv velikosti hřiště, velikosti branek a počtu hráčů na průměrný počet vstřelených branek ve variantách fotbalu a hokeje: Pi-věta aplikovaná na týmové sporty “, Journal of Quantitative Analysis in sports , Kromě toho o tom musíte vědět víc.2020( číst online )
Podívejte se také
Související články
externí odkazy
Bibliografie
(en) Tatjana Misic, Marina Najdanovic-Lukic a Ljubisa Nesic, „ Dimenzionální analýza ve fyzice a Buckinghamova věta “ , European Journal of Physics , sv. 31, n O 4,2010, str. 893-906 ( DOI doi: 10.1088 / 0143-0807 / 31/4/019 ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">