Nondimensionalization (někdy nazývané také dédimensionnement ) je částečné nebo úplné delece jednotek o o rovnice vhodnou substitucí proměnných , aby se zjednodušilo parametrické reprezentaci fyzických problémů. Úzce souvisí s dimenzionální analýzou . Měřítko by nemělo být zaměňováno s převodem rozsáhlých parametrů rovnice na intenzivní parametry , protože tento postup vždy vede k proměnným, ke kterým jsou připojeny jednotky.
Kótování také umožňuje najít charakteristické vlastnosti systému. Například pokud má systém vlastní rezonanční frekvenci , délku nebo časovou konstantu , změna měřítka umožňuje najít tyto hodnoty. Tato technika je zvláště užitečná pro systémy, které lze popsat diferenciálními rovnicemi .
Lze najít mnoho vysvětlujících příkladů dimenzování ve zjednodušení diferenciálních rovnic. V této formě lze skutečně formulovat velké množství fyzických problémů a změna velikosti je pro jejich léčbu velmi vhodná. Umožňuje však také vypořádat se s jinými typy problémů mimo rámec diferenciálních rovnic, jako je dimenzionální analýza .
Nalezneme příklady dimenzování v každodenním životě: měřicí přístroje jsou příkladem. Měřicí přístroje jsou skutečně předmětem kalibrace s ohledem na konkrétní známou jednotku před jejich použitím; transformace ( normalizace ) se poté aplikuje na měření prováděná tak, aby se získala v této jednotce, reverzní proces umožňující najít skutečnou hodnotu měření z odpovídající normalizované hodnoty.
Předpokládejme, že kyvadlo osciluje se v období T . Může být výhodné ke studiu takový oscilační systém k tomu, pokud jde o uvedené T . Tuto operaci můžeme považovat za druh normalizace měření s ohledem na období.
Měření provedená s ohledem na vnitřní vlastnost systému se budou vztahovat na jiné systémy, které mají stejnou vnitřní vlastnost. Umožňuje také porovnání společné vlastnosti s různými implementacemi stejného systému. Dimenzování systematicky určuje charakteristické jednotky systému, aniž by bylo nutné přesně znát vnitřní vlastnosti tohoto systému. Ve skutečnosti může škálování navrhnout parametry, které by se měly použít k analýze systému; je však nutné vycházet z rovnice, která ji vhodně popisuje.
Adimensioning soustavy rovnic se provádí podle následujícího postupu:
Poslední tři kroky jsou obvykle specifické pro problém, na který je kótování aplikováno. Naproti tomu první dva kroky jsou nezbytné pro prakticky všechny systémy.
Jako příklad zvažte diferenciální rovnici prvního řádu s konstantními koeficienty:
Uvažujme jednoduchý systém, vyznačující se dvěma proměnnými: a závislou proměnnou a nezávislou proměnnou , kde je funkce z . Proměnné a obě představují veličiny s jednotkou. Pro normalizaci těchto dvou proměnných, předpokládá, že existují dvě vnitřní jednotky měření a jejichž jednotky jsou v tomto pořadí stejné jako a , tak, že jsou splněny následující podmínky:
Tyto rovnice se používají k nahrazení a během změny velikosti. Pokud jsou k popisu původního systému potřeba diferenciální operátoři, stanou se z jejich normalizovaných protějšků bezrozměrné diferenciální operátory.
KonvenceAčkoli názvy určené k nahrazení x a t nepodléhají žádnému omezení, jsou obecně vybírány takovým způsobem, aby se při použití v uvažovaném problému ukázaly pohodlně a intuitivně. Například pokud x představuje hmotu, může být písmeno m vhodným symbolem, který představuje množství bezrozměrné hmoty.
V tomto článku se používají následující konvence:
Odebíraných c připojena ke jménu proměnné přidružené množství se používá pro označení charakteristické jednotky používá k normalizaci tohoto množství. Například pokud x je veličina, pak x c je charakteristická jednotka použitá k její normalizaci.
Diferenciální operátořiZvažte vztah
Stává se výraz bezrozměrných diferenciálních operátorů s ohledem na nezávislou proměnnou
Funkce sílyPokud má systém vynucovací funkci f ( t ), pak
Nová vynucovací funkce F je tedy závislá na bezrozměrné veličině τ .
Zvažte diferenciální rovnici pro systém prvního řádu:
Odvození charakteristických jednotek dává
Systém druhého řádu má podobu
Substituční krokPojďme nahradit proměnné x a t s jejich protějšky bezrozměrné. Rovnice se stává
Tato nová rovnice není bezrozměrná, i když všechny proměnné s jednotkami jsou izolovány v koeficientech. Vydělením koeficientem členu největšího řádu se stane rovnice
Pak je nutné určit množství x c a t c , aby se koeficienty normalizovaly. Jelikož existují dva volné parametry, lze nejvýše pouze dva koeficienty rovnat jednomu.
Stanovení charakteristických jednotekUvažujme proměnnou t c :
Obě substituce jsou platné. Z vzdělávacích důvodů se však pro systémy druhého řádu používá poslední substituce. Volba této substituce umožňuje určení x c normalizací koeficientu vynucovací funkce:
Diferenciální rovnice se stává
Koeficient členu prvního řádu je bez jednotek. Pojďme definovat
Přítomnost faktoru 2 umožňuje parametrizovat řešení jako funkci ζ. V souvislosti s mechanickými nebo elektrickými systémy je ζ známé jako rychlost tlumení a je důležitým parametrem nezbytným pro analýzu řídicích systémů. Výsledkem definice je diferenciální rovnice harmonického oscilátoru :
Lineární diferenciální rovnice řádu n s konstantními koeficienty je zapsána v obecné podobě:
Funkce f ( t ) je známá jako silová funkce .
Pokud diferenciální rovnice obsahuje pouze reálné koeficienty (žádné komplexní koeficienty), chová se takový systém pouze jako kombinace systémů prvního a druhého řádu. Je to proto, že kořeny jeho charakteristického polynomu jsou buď skutečné, nebo páry konjugovaných komplexů . Pochopení toho, jak se dimenzování vztahuje na systémy prvního a druhého řádu, umožňuje určit vlastnosti systémů vyššího řádu pomocí principu superpozice .
Počet volných parametrů v bezrozměrné formě systému se zvyšuje s jeho objednávkou. Z tohoto důvodu se kótování pro diferenciální rovnice vysokého řádu používá jen zřídka. Nástup formálního počtu také snížil potřebu tohoto postupu.
Pomocí systémů prvního nebo druhého řádu je možné reprezentovat různé fyzikální systémy přibližně. To platí zejména pro mechanické, elektrické, tekutinové, tepelné a torzní systémy. Ve skutečnosti základní fyzikální veličiny zahrnuté v každém z těchto příkladů souvisí s deriváty prvního a druhého řádu.
Mechanické kmityPředpokládejme hmotu připevněnou k pružině a tlumiči nárazů, které jsou samy připevněny ke zdi, a sílu působící na hmotu ve stejné linii.
Pojďme definovat:
Předpokládejme, že použitá síla je sinusová vlna F = F 0 cos (ω t ); diferenciální rovnice, která popisuje pohyb bloku, je pak:
Změna velikosti této rovnice podle metody popsané v tématu systému druhého řádu výše poskytuje několik charakteristik systému.
Vnitřní jednotka x c odpovídá vzdálenosti, o kterou se blok pohybuje na jednotku síly
Charakteristická proměnná t c se rovná periodě oscilací
a bezrozměrná proměnná 2 ζ odpovídá šířce pásma systému. ζ sama o sobě je míra odpisu .
Elektrické oscilace První objednávka: sériový RC obvodPro sériový RC obvod připojený k napájecímu zdroji
buď po střídání
první charakteristická jednotka odpovídá celkovému elektrickému náboji v obvodu. Druhá charakteristická jednotka odpovídá časové konstantě systému.
Druhý řád: sériový RLC obvodPro sériovou konfiguraci komponent R , C , L, kde Q je zatížení v systému
buď po střídání
První proměnná odpovídá maximálnímu nabití uloženému v obvodu. Rezonanční frekvence je dána inverzí charakteristického času. Posledním výrazem je šířka pásma systému. Ω lze považovat za frekvenci standardizované vynucovací funkce.
Při absenci obecné metody řešení se uspokojíme s uvedením příkladu vypůjčeného z kvantové mechaniky .
Schrödingerova rovnice pro jednorozměrný časově nezávislé quantum harmonický oscilátor je:
;Jedná se o lineární diferenciální rovnici, ale s nekonstantními koeficienty (kvůli přítomnosti termínu ).
Vlnové funkce ψ sobě představuje pravděpodobnost, která je svým způsobem již nekonečně a normalizovat. Není proto nutné měnit velikost vlnové funkce. Musí však být přepsán jako funkce bezrozměrné proměnné. Proměnná x má navíc jednotku délky typu. Nahraďme tedy:
Diferenciální rovnice se stává:
Aby byl termín před χ ² bezrozměrný, nastavme:
Takto získaná úplná bezrozměrná rovnice je:
Koeficient dimenzování pro energii je stejný jako faktor základního stavu harmonického oscilátoru. Termín odpovídající energii obvykle není vykreslen bezrozměrně, protože jedním z hlavních předmětů kvantové mechaniky je určovat energie stavů systému. Přeskupením první rovnice dáme rovnici kvantového harmonického oscilátoru do kanonické formy:
.