Whitneyova věta o vložení

V diferenciální geometrii , Whitney vkládání věta vytváří spojení mezi pojmy abstraktní potrubí a dílčí potrubí z reálného vektorového prostoru R n  : jakýkoli rozdíl ve sběrném potrubí o rozměru m ( s spočetnou bázi podle definice) je ponořen do L ' euklidovském prostoru z rozměr 2 m . Tuto hodnotu 2 m lze samozřejmě v určitých konkrétních příkladech snížit, ale pro příklad skutečného projektivního prostoru dimenze m = 2 k je optimální konstanta 2 m .

Základní slabou verzí je ponoření odrůdy pouze do R 2 m +1 . Tato verze, často předváděná v konkrétním případě kompaktní odrůdy , se snadno rozšíří na obecný případ s vložením, které je stále uzavřeného obrazu .

Historická poznámka

Důkazem slabé verze, v roce 1936 , byla příležitost pro Hasslera Whitneyho, aby poskytl první úplnou formulaci konceptu diferenciálního potrubí, což je koncept, který se implicitně používá již v dílech Riemanna , v dílech o skupinách Lie a obecná relativita po mnoho let. Tato formulace použila a umožnila jít nad rámec formulace Hermanna Weyla ve své knize Die Idee der Riemannschen Fläche z roku 1913 ( Riemannova koncepce povrchu ). Whitney publikoval silnou verzi své věty v roce 1944 .

Slabá verze důkazu nápad

Zpočátku je ukázáno pomocí listů jednotky , že odrůda může být ponořen v R N .

Tato technika neposkytuje žádnou kontrolu nad hodnotou N, ale pomocí Sardovy věty ukážeme, že pokud N ≥ 2 m + 2 ( m je rozměr potrubí), zůstanou téměř všechny (šikmé) projekce na R N –1 dílčí potrubí. Můžeme tedy klesnout na 2 m + 1.

Optimalita

Dovolit být diferenciální potrubí M dimenze m , ponořené do prostoru R m + n . Normální svazek je vektor svazek základem M a hodnost n je celkový třída Stiefel-Whitney w je inverzní k celkové třídy Stiefel-Whitney w tangenty svazku M . Identity w i = 0 pro i ≥ n implikují, daná w pevná, omezení na M v závislosti na celkovém topologickém milionu .

Poznámky a odkazy

  1. (in) H. Whitney, „  Differentiable manifolds  “ , Ann. matematiky. , sv.  37, n o  3,1936, str.  645-680 ( číst online ) (str. 646-647).
  2. (in) Glen E. Bredon  (in) , Topologie a geometrie [ podrobnosti publikace ], str.  68–69 , definice 2.1, náhled v Knihách Google .
  3. (in) Masahisa Adachi, vložení a ponoření , AMS ,1993( číst online ) , s.  7, Definice 1.1.
  4. Tato podmínka je triviálně nutná. Navíc, to je ekvivalent pro jakýkoli topologické palety , aby å-kompaktnosti .
  5. Adachi 1993 , str.  67, Theorem 2.11 (Whitney's embedding theorem), demonstrating this in the case where the variety is compact .
  6. Whitney 1944 , str.  237, po své demonstraci, položí otázku: „  Existuje vnoření, pro M otevřené, bez stanoveného limitu?  „ Který (ne) John Milnor a James Stasheff , charakteristické třídy , Princeton University Press ,1974( číst online ) , s.  120, echo: „  Podle [Whitney, 1944] může být každé hladké n - potrubí, jehož topologie má spočetnou základnu, plynule vloženo do R 2n . Pravděpodobně to může být vloženo jako uzavřená podmnožina R 2n , ačkoli Whitney to nedokazuje.  "
  7. Bredon , str.  91, 10.7. Whitney Vkládání Věta, zobrazilo na Google Books , to ukazuje na hladký kompaktní kmene . Jacques Lafontaine, Úvod do diferenciálních odrůd [ detail vydání ], 2010, s.  102 , „Corollary 3.8 („ easy “Whitneyova věta)“ , předveďte to stejným způsobem a všimněte si, že stejná metoda poskytuje ponoření do R 2 m . (en) Morris W. Hirsch , Diferenciální topologie [ detail vydání ], str.  24-26 , věta 3.5 a str.  27 , dělá totéž pro (kompaktní) odrůdu třídy C r s 1 ≤ r ≤ ∞ .
  8. Bredon , str.  92, Theorem 10.8, náhled v Knihách Google  ; Adachi 1993 , s.  56, Theorem 2.6 (Whitney's embedding theorem).
  9. (in) H. Whitney, „  The self- intersices of a smooth n -manifold in 2 n -space  “ , Ann. matematiky. , sv.  45, n O  21944, str.  220-246 ( JSTOR  1969265 , číst online ), Věta 5, s.  236-237 .

Podívejte se také

Související články

Externí odkaz

(en) Vkládání s vysokou dimenzí: klasifikace v projektu Atlas rozdělovače