Tetrahedronová trigonometrie
V geometrii je trigonometrie čtyřstěnu množina vztahů existujících mezi délkami hran a různými úhly čtyřstěnu (libovolného).
Trigonometrické veličiny
Definice a notace
Dovolit být libovolný čtyřstěn, kde a jsou libovolné (ale ne koplanární ) body v trojrozměrném prostoru . Přidružené trigonometrické veličiny jsou délky šesti hran a oblastí šesti ploch, dvanáct úhlů čtyř ploch, šest vzepětí mezi plochami a čtyři plné úhly na vrcholech. Přesněji řečeno, pokud označíme spojující hranu a , a tvář naproti (a tedy ), s a , nastavíme
X=P1P2P3P4¯{\ displaystyle X = {\ overline {P_ {1} P_ {2} P_ {3} P_ {4}}}}P1,P2,P3{\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}P4{\ displaystyle P_ {4}}Eij{\ displaystyle e_ {ij}}Pi{\ displaystyle P_ {i}}Pj{\ displaystyle P_ {j}}Fi{\ displaystyle F_ {i}}Pi{\ displaystyle P_ {i}}Fi=PjPkPl¯{\ displaystyle F_ {i} = {\ overline {P_ {j} P_ {k} P_ {l}}}}i,j,k,l∈{1,2,3,4}{\ displaystyle i, j, k, l \ in \ {1,2,3,4 \}}i≠j≠k≠l{\ Displaystyle i \ neq j \ neq k \ neq l}
-
dij{\ displaystyle d_ {ij}}= délka hrany ;Eij{\ displaystyle e_ {ij}}
-
αi,j{\ displaystyle \ alpha _ {i, j}}= úhel na vrcholu na obličeji (jinými slovy úhel );Pi{\ displaystyle P_ {i}}Fj{\ displaystyle F_ {j}}PiPk,PiPl^{\ displaystyle {\ widehat {P_ {i} P_ {k}, P_ {i} P_ {l}}}}
-
θij{\ displaystyle \ theta _ {ij}}= vzepětí mezi dvěma plochami sousedícími s hranou ;Eij{\ displaystyle e_ {ij}}
-
Ωi{\ displaystyle \ Omega _ {i}}= plný úhel nahoře .Pi{\ displaystyle P_ {i}}
-
Δi{\ displaystyle \ Delta _ {i}}= plocha obličeje .Fi{\ displaystyle F_ {i}}
Plochy a objem
Nechť je oblast obličeje . Známe tři délky hran a máme ( Heronův vzorec )
Δi{\ displaystyle \ Delta _ {i}}Fi{\ displaystyle F_ {i}}
Δi=(djk+djl+dkl)(-djk+djl+dkl)(djk-djl+dkl)(djk+djl-dkl)16{\ displaystyle \ Delta _ {i} = {\ sqrt {\ frac {(d_ {jk} + d_ {jl} + d_ {kl}) (- d_ {jk} + d_ {jl} + d_ {kl}) (d_ {jk} -d_ {jl} + d_ {kl}) (d_ {jk} + d_ {jl} -d_ {kl})} {16}}}}(nebo jednodušeji, znát jeden z úhlů, ).
Δi=12djkdjlhříchαj,i{\ displaystyle \ Delta _ {i} = {\ frac {1} {2}} d_ {jk} d_ {jl} \ sin \ alpha _ {j, i}}
Nechť je výška vedena od , to znamená vzdálenost od vrcholu k obličeji . Objem čtyřstěnu je dána ; lze ji vyjádřit přímo pomocí čtverců délek hran vztahem:
hi{\ displaystyle h_ {i}}Pi{\ displaystyle P_ {i}}Pi{\ displaystyle P_ {i}}Fi{\ displaystyle F_ {i}}PROTI=13Δihi{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ Delta _ {i} h_ {i}}
288PROTI2=|2d122d122+d132-d232d122+d142-d242d122+d132-d2322d132d132+d142-d342d122+d142-d242d132+d142-d3422d142|{\ displaystyle 288V ^ {2} = {\ begin {vmatrix} 2d_ {12} ^ {2} & d_ {12} ^ {2} + d_ {13} ^ {2} -d_ {23} ^ {2} & d_ {12} ^ {2} + d_ {14} ^ {2} -d_ {24} ^ {2} \\ d_ {12} ^ {2} + d_ {13} ^ {2} -d_ {23 } ^ {2} & 2d_ {13} ^ {2} & d_ {13} ^ {2} + d_ {14} ^ {2} -d_ {34} ^ {2} \\ d_ {12} ^ {2 } + d_ {14} ^ {2} -d_ {24} ^ {2} & d_ {13} ^ {2} + d_ {14} ^ {2} -d_ {34} ^ {2} & 2d_ {14 } ^ {2} \ end {vmatrix}}}.
Předběžné výsledky
Afinní trojúhelníky
Obličej je trojúhelník, jehož strany mají délky a příslušné úhly naproti těmto stranám . Platí klasické vztahy trojúhelníkové trigonometrie , například máme ( zákon kosinů )Fi{\ displaystyle F_ {i}}djk,djl,dkl{\ displaystyle d_ {jk}, d_ {jl}, d_ {kl}}αl,i,αk,i,αj,i{\ displaystyle \ alpha _ {l, i}, \ alpha _ {k, i}, \ alpha _ {j, i}}dkl2=djk2+djl2-2djkdjlcosαj,i.{\ displaystyle d_ {kl} ^ {2} = d_ {jk} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -2d_ {jk} d_ {jl} \ cos \ alpha _ {j, i}.}
Projektivní trojúhelníky
Vlajka na vrcholu (tj. Množina hran a ploch, který jím prochází), může být interpretován centrální projekce od vrcholu jako sférického trojúhelníku , jehož vrcholy jsou tři hrany, po stranách jsou tři plochy, které mají délku (na jednotková koule) a úhly jsou respektive úhly vzepětí . Platí klasické vztahy sférické trigonometrie a máme například ( kosinusový vzorec )Pi{\ displaystyle P_ {i}}αi,j,αi,k,αi,l{\ displaystyle \ alpha _ {i, j}, \ alpha _ {i, k}, \ alpha _ {i, l}} θij,θik,θil{\ displaystyle \ theta _ {ij}, \ theta _ {ik}, \ theta _ {il}}cosαi,j=cosαi,kcosαj,k+hříchαi,khříchαj,kcosθi,j .{\ displaystyle \ cos \ alpha _ {i, j} = \ cos \ alpha _ {i, k} \, \ cos \ alpha _ {j, k} + \ sin \ alpha _ {i, k} \, \ sin \ alpha _ {j, k} \, \ cos \ theta _ {i, j} ~.}
Trigonometrické vztahy v čtyřstěnu
Věta o střídavém sinu
Mezi devíti úhly tří souběžných povrchů nahoře se šesti nelíbilo, že vrchol je vázán následující identitou (odpovídající rotacím kolem dvou možných směrů) .
Pi{\ displaystyle P_ {i}}Pi{\ displaystyle P_ {i}}Pi{\ displaystyle P_ {i}}hříchαj,lhříchαk,jhříchαl,k=hříchαj,khříchαk,lhříchαl,j{\ displaystyle \ sin \ alpha _ {j, l} \ sin \ alpha _ {k, j} \ sin \ alpha _ {l, k} = \ sin \ alpha _ {j, k} \ sin \ alpha _ { k, l} \ sin \ alpha _ {l, j}}
Tvarový prostor
Čtyři takto získané identity nejsou nezávislé: vynásobením člena třemi z nich a zjednodušením získáme čtvrtou. Počínaje sadou dvanácti libovolných úhlů, tyto tři identity a čtyři omezení součtu tří úhlů každé tváře (musí se rovnat π) znamenají, že prostor forem čtyřstěnů musí mít rozměr 5, což potvrzuje skutečnost, že 6 délek hran určuje jeden čtyřstěn, a proto jsou všechny čtyřstěny stejného tvaru homotetické, postačuje k charakterizaci tvaru základna pěti čísel.
Sinusův zákon
Absolutní hodnota polárního sinu (psin) vektorů normálních ke třem plochám majícím společný vrchol děleno oblastí čtvrtého obličeje nezávisí na volbě tohoto vrcholu:
|psin(ne2,ne3,ne4)|Δ1=|psin(ne1,ne3,ne4)|Δ2=|psin(ne1,ne2,ne4)|Δ3=|psin(ne1,ne2,ne3)|Δ4=(3ObjemtEtrnaEdrE)22Δ1Δ2Δ3Δ4.{\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ frac {{\ bigl |} \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}, \ mathbf {n_ {4} }) {\ bigr |}} {\ Delta _ {1}}} = {\ frac {{\ bigl |} \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {3}} , \ mathbf {n_ {4}}) {\ bigr |}} {\ Delta _ {2}}} = {\ frac {{\ bigl |} \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {4}}) {\ bigr |}} {\ Delta _ {3}}} = {\ frac {{\ bigl |} \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}) {\ bigr |}} {\ Delta _ {4}}} \\ [4pt] = {} & {\ frac {(3 \ operatorname {Volume} _ {\ mathrm {tetraedre}}) ^ {2}} {2 \ Delta _ {1} \ Delta _ {2} \ Delta _ {3} \ Delta _ {4 }}} \ ,. \ end {zarovnáno}}}(obecněji pro n - simplex (například trojúhelník ( n = 2 ), kde tento vzorec odpovídá zákonu sinusů , nebo pentachorum ( n = 4 ) atd.) euklidovského prostoru dimenze n , máme stejný vztah, společná hodnota je , kde V je objem simplexu a P součin oblastí jeho ploch).
(nePROTI)ne-1(ne-1)!P{\ displaystyle {\ frac {(nV) ^ {n-1}} {(n-1)! P}}}
Kosinový zákon
Analog cosinus práva spojuje oblasti tváří k dihedral úhly: .
Δi2=Δj2+Δk2+Δl2-2(ΔjΔkcosθil+ΔjΔlcosθik+ΔkΔlcosθij){\ displaystyle \ Delta _ {i} ^ {2} = \ Delta _ {j} ^ {2} + \ Delta _ {k} ^ {2} + \ Delta _ {l} ^ {2} -2 (\ Delta _ {j} \ Delta _ {k} \ cos \ theta _ {il} + \ Delta _ {j} \ Delta _ {l} \ cos \ theta _ {ik} + \ Delta _ {k} \ Delta _ {l} \ cos \ theta _ {ij})}
Vztah mezi vzepětí
Když promítneme (ortogonálně) tři tváře na rovinu tváře a nastavením snadno uvidíme, že oblast tváře je (algebraický) součet promítaných ploch, to znamená ; z toho lze odvodit homogenní lineární systém
. Protože tento systém má netriviální řešení odpovídající čtyřstěnu, je determinant nula.
Fi,Fj,Fk{\ displaystyle F_ {i}, F_ {j}, F_ {k}}Fl{\ displaystyle F_ {l}}vs.ij=cosθij{\ displaystyle c_ {ij} = \ cos \ theta _ {ij}}Fl{\ displaystyle F_ {l}}Δl=Δivs.jk+Δjvs.ik+Δkvs.ij{\ displaystyle \ Delta _ {l} = \ Delta _ {i} c_ {jk} + \ Delta _ {j} c_ {ik} + \ Delta _ {k} c_ {ij}}{-Δ1+Δ2vs.34+Δ3vs.24+Δ4vs.23=0Δ1vs.34-Δ2+Δ3vs.14+Δ4vs.13=0Δ1vs.24+Δ2vs.14-Δ3+Δ4vs.12=0Δ1vs.23+Δ2vs.13+Δ3vs.12-Δ4=0{\ displaystyle {\ begin {cases} - \ Delta _ {1} + \ Delta _ {2} c_ {34} + \ Delta _ {3} c_ {24} + \ Delta _ {4} c_ {23} = 0 \\\ Delta _ {1} c_ {34} - \ Delta _ {2} + \ Delta _ {3} c_ {14} + \ Delta _ {4} c_ {13} = 0 \\\ Delta _ { 1} c_ {24} + \ Delta _ {2} c_ {14} - \ Delta _ {3} + \ Delta _ {4} c_ {12} = 0 \\\ Delta _ {1} c_ {23} + \ Delta _ {2} c_ {13} + \ Delta _ {3} c_ {12} - \ Delta _ {4} = 0 \ end {případů}}}|-1vs.34vs.24vs.23vs.34-1vs.14vs.13vs.24vs.14-1vs.12vs.23vs.13vs.12-1|{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} -1 & c_ {34} & c_ {24} & c_ {23} \\ c_ {34} & - 1 & c_ {14} & c_ {13} \\ c_ {24 } & c_ {14} & - 1 & c_ {12} \\ c_ {23} & c_ {13} & c_ {12} & - 1 \ end {vmatrix}}}
Rozšíření této determinant, získáme vztah mezi dihedral úhly: .
1-∑1≤i<j≤4vs.ij2+∑j=2k≠l≠j4vs.1j2vs.kl2=2(∑i=1j≠k≠l≠i4vs.ijvs.ikvs.il+∑2≤j<k≤4l≠j,kvs.1jvs.1kvs.jlvs.kl){\ displaystyle 1- \ součet _ {1 \ leq já <j \ leq 4} c_ {ij} ^ {2} + \ součet _ {j = 2 \ na vrcholu k \ neq l \ neq j} ^ {4} c_ {1j} ^ {2} c_ {kl} ^ {2} = 2 \ left (\ sum _ {i = 1 \ na vrcholu j \ neq k \ neq l \ neq i} ^ {4} c_ {ij} c_ { ik} c_ {il} + \ sum _ {2 \ leq j <k \ leq 4 \ na vrcholu l \ neq j, k} c_ {1j} c_ {1k} c_ {jl} c_ {kl} \ vpravo)}
Vzdálenosti mezi hranami
Podle předpokladů jsou dvě hrany a nejsou koplanární; výběr (na ) a (na ) nohou jejich společné kolmice (to znamená, že přímka je kolmá ke dvěma hranám), vzdálenost mezi dvěma hranami , je definována délkou segmentu (c 'je nejkratší vzdálenost mezi libovolnými dvěma body na okrajích).
Eij{\ displaystyle e_ {ij}}Ekl{\ displaystyle e_ {kl}}Pij{\ displaystyle P_ {ij}}Eij{\ displaystyle e_ {ij}}Pkl{\ displaystyle P_ {kl}}Ekl{\ displaystyle e_ {kl}}(PijPkl){\ displaystyle (P_ {ij} P_ {kl})}Rij{\ displaystyle R_ {ij}}[Pij,Pkl]{\ displaystyle [P_ {ij}, P_ {kl}]}
Základní, ale poněkud bolestivé trigonometrické výpočty vedou k následujícímu vzorci:
Rij=12PROTI4dij2dkl2-(dik2+djl2-dil2-djk2)2{\ displaystyle R_ {ij} = {\ frac {12V} {\ sqrt {4d_ {ij} ^ {2} d_ {kl} ^ {2} - (d_ {ik} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -d_ {il} ^ {2} -d_ {jk} ^ {2}) ^ {2}}}}},
kde jmenovatelem je variace vzorce Bretschneider (en) pro čtyřúhelníky.
Reference
-
(in) (in) G. Richardson , „ Trigonometrie čtyřstěnu “ , The Mathematical Gazette , sv. 2, n O 32,1 st 03. 1902, str. 149–158 ( DOI 10.2307 / 3603090 , JSTOR 3603090 , číst online )
-
100 velkých problémů elementární matematiky , New York, Dover Publications,1 st 06. 1965( ISBN 9780486613482 )
-
(in) André Rassat a Patrick W. Fowler , „ Existuje„ nejvíce chirální čtyřstěn “? " , Chemistry: A European Journal , sv. 10, N O 24,2004, str. 6575–6580 ( PMID 15558830 , DOI 10.1002 / chem.200400869 )
-
polární sinus je definován jako míra úhlu tvořeného trojhran tří vektorů: máme .psin(ne1,ne2,ne3)=det(ne1,ne2,ne3)‖ne1‖.‖ne2‖.‖ne3‖{\ displaystyle \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}) = {\ frac {\ operatorname {det} (\ mathbf { n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}})} {\ | \ mathbf {n_ {1}} \ |. \ | \ mathbf {n_ {2}} \ |. \ | \ mathbf {n_ {3}} \ |}}}
-
(en) Jung Rye Lee , „ Zákon kosinů v čtyřstěnu “ , J. Korea. Soc. Matematika. Educ. Ser. B: Čistá aplikace. Matematika. , sv. 4, n o 1,Červen 1997, str. 1–6 ( ISSN 1226-0657 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">