Otevřené a uzavřené aplikace

V matematice a přesněji v topologii je otevřená aplikace aplikací mezi dvěma topologickými prostory, které posílají otvory z jednoho do otvorů z druhého. Podobně uzavřená aplikace odesílá uzavřené z prvního prostoru do uzavřené z druhého.

Definice

Dovolit být dva topologické prostory X a Y  ; říkáme, že mapa f z X do Y je otevřená, pokud pro jakékoli otevřené U z X je obraz f ( U ) otevřený v Y  ; Podobně, se říká, že f je uzavřena , jestliže pro všechny uzavřené U a X , obraz f ( U ) je uzavřen v Y .

V obou případech není nutné, aby f bylo spojité  ; i když definice mohou zdát podobné, jsou otevřené nebo uzavřené hra mnohem méně důležitou roli v topologii, že kontinuální aplikace, kde se jedná o inverzní obraz podle kteréhokoliv z otevřené Y, která musí být otevřená X .

Mapa f : X → Y se říká, že je relativně otevřená, pokud je její korekce X → f ( X ) otevřená.

Příklady

• Spojitá mapa f  : R → R definovaná f ( x ) = x 2 je ( tedy správná ) uzavřená, ale neotevřená.
• Mapování identita z Y prostoru je homeomorfismus , proto je spojitá, otevřené a uzavřené. Ale pokud Y je podprostor z X , zahrnutí Y na X, je otevřen pouze v případě, Y je otevřen v X , protože obraz jakékoliv otevřené aplikace je otevřený prostoru příjezdu. Určení koncové sady aplikace je proto zásadní. Totéž platí nahrazením slova „otevřeno“ slovem „uzavřeno“.
• Bijection f [0, 2n [v kruhu jednotky , které v libovolném úhlu t Vstup přidružených bod přípona e iθ je kontinuální, tedy jeho reciproční bijection f -1 je otevřené a uzavřené (ale nespojitá v místě opatřit 1). To ukazuje, že obraz kompaktu otevřenou nebo uzavřenou aplikací nemusí být nutně kompaktní.
• Pokud Y má jednotlivou topologii (tj. Pokud jsou všechny podmnožiny z Y jsou oba otevřené a uzavřené), všechny mapy f: X? Y jsou otevřené a zavřené, ale ne nezbytně trvalý. Celočíselná funkce přecházející z R na celá čísla Z je tedy otevřená a uzavřená, ale ne spojitá. Tento příklad také ukazuje, že obraz propojeného prostoru otevřenou nebo uzavřenou aplikací není nutně spojen.
• Na libovolném produktu topologických prostorů X = Π X i jsou kanonické projekce p i  : X → X i otevřené (a spojité). Protože projekce svazků jsou místně identifikovány s kanonickými projekcemi produktů, jsou to také otevřené aplikace. Na druhou stranu kanonické projekce obecně nejsou uzavřenými mapami: pokud p 1  : R 2 → R je projekce na první složku ( p 1 ( x , y ) = x ) a pokud A = {( x , 1 / x ) | x ≠ 0}, je uzavřen z R 2 , ale s 1 ( ) = R \ {0} není uzavřen. Nicméně, v případě, X 2 je kompaktní, výstupek X 1 x X 2 → X 1 je uzavřen  ; tento výsledek je v podstatě ekvivalentní s lemmatem trubice .

Vlastnosti

Mapa f  : X → Y je otevřená právě tehdy, když pro všechna x z X a pro všechna sousedství U z x je f ( U ) sousedství f ( x ).

Chcete-li zobrazit aplikace se otevře, jednoduše zkontrolovat na základě původního kosmického X . Jinými slovy, f  : X → Y je otevřen tehdy, když se obraz f každé otevřené na základě X je otevřený.

Otevřené a uzavřené aplikace lze charakterizovat také z hlediska interiérů a adhezí . Mapa f  : X → Y je:

• otevřít tehdy a jen tehdy, když pro každou část A z X , f (int ( )) ⊂ int ( f ( A ));
• uzavřen pouze v případě, pro každou část A z X , f ( ) ⊂ f ( ).

Skládá ze dvou otevřených aplikací je otevřený, složený ze dvou uzavřených aplikací je uzavřen.

Produkt ze dvou otevřených jízd je otevřený, ale obecně platí, že produkt ze dvou uzavřených běhů není uzavřen.

Pro jakoukoli bijekci f  : X → Y je reciproční bijekce f −1  : Y → X spojitá právě tehdy, je-li f otevřené (nebo uzavřené, což je ekvivalent bijekce).

Pokud f  : X → Y je spojitá mapa, která je otevřená nebo uzavřená, pak:

• pokud f je surjekce , f je mapa kvocientu , tj. Y má nejlepší topologii, pro kterou je f spojitá;
• pokud f je injekce , jedná se o topologické vložení , tj. X a f (X) jsou homeomorfní (pomocí f );
• pokud f je bijekce, je to homeomorfismus.

V prvních dvou případech je otevření nebo zavření pouze dostatečnou podmínkou; v druhém případě je to také nezbytná podmínka.

Věty o charakterizaci

Často je užitečné mít podmínky, které zajistí, že aplikace bude otevřená nebo zavřená. Následující výsledky patří mezi nejčastěji používané.

Jakákoli souvislá aplikace z kompaktního prostoru do samostatného prostoru je (tedy čistá) uzavřena.

Ve funkční analýze je věta Banachova-Schauder (také známý jako otevřený mapa teorém) říká, že jakýkoli surjektivní kontinuální lineární operátor mezi Banachových prostorů je otevřený mapa.

Ve složité analýze věta o otevřeném obrazu říká, že jakákoli nekonstantní holomorfní funkce definovaná na spojeném otevřeném komplexu je otevřená mapa.

V diferenciální geometrii část věty o místní inverzi říká, že spojitě diferencovatelná funkce mezi euklidovskými prostory, jejíž Jacobiho matice je v daném bodě invertibilní, je otevřenou aplikací v sousedství tohoto bodu. Obecněji řečeno, je-li mapa F  : U → R m otevřeného U ⊂ R n v R m taková, že rozdíl d F ( x ) je surjektivní v kterémkoli bodě x ∈ U , pak F je otevřená mapa.

A konečně věta o doménové invariance (díky Brouwerovi a za použití jeho slavné věty o pevném bodě ) říká, že je otevřená spojitá a lokálně injektivní mapa mezi dvěma topologickými varietami stejné konečné dimenze.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „  Otevřené a uzavřené mapy  “ ( viz seznam autorů ) .

Poznámka

1. Je považována za aplikaci od R do R , je stále zavřená, ale již není otevřená.

Odkaz

N. Bourbaki , Elementy matematiky, kniha III: Obecná topologie [ detail vydání ], kap. I, § 5