Třída pravidelnosti

V matematice a analýze , se pravidelnost třídy z digitálních funkcí představuje částečný katalog spoléhal na existenci a kontinuitu všech iterated odvozené , bez ohledu na formu nebo tvar funkce ( monotónnost , konvexnost , nul , atd).

Nicméně, třídy pravidelnost nemohou být žádným způsobem odrážejí vyčerpávající typ funkce: zejména kritéria se týkají celé oblasti definice .

Doména v dimenzi n = 1

Pokud $J$ je interval ℝ a celé číslo, uvažujeme následující funkční prostory : $k \ geq 1$

${\ mathcal {C}} ^ {0} (J, \ mathbb {R})$ : sada spojitých funkcí od $J$ do ℝ;
${\ mathcal {D}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})$ : sada funkcí od $J$ do ℝ, které jsou časově diferencovatelné; $k$
${\ mathcal {C}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})$ : podmnožina tvořená funkcemi, jejichž i-ta derivace je spojitá; ${\ mathcal {D}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})$ $k$
${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J, \ mathbb {R})$ , nebo striktně ekvivalentním způsobem : množina neomezeně diferencovatelných funkcí (tj. časů diferencovatelných pro všechna celá čísla ) od $J$ do ℝ, nazývaných také hladké nebo pravidelné funkce . ${\ mathcal {D}} ^ {\ infty} (J, \ mathbb {R})$ $ne$ $ne$

Tyto sady jsou algebra , tak ještě více v základě vektorových prostorů na ℝ.

Kontinuita je spojena s obvyklými topologiemi na $J$ a na ℝ. Na druhou stranu není specifikováno, zda $J$ je otevřené , uzavřené , polootevřené, napůl pravé nebo celé ℝ. Ani zde není vysvětlena topologie (nebo možná standard ) spojená s těmito prostory (viz Space of Fréchet ).

Když je kontext jasný, „argument“ ℝ je v notaci ignorován a totéž někdy platí o definiční oblasti (to je obvykle případ, když $J$ = ℝ).

Protože z diferencovatelnosti vyplývá kontinuita, uspokojují tyto sady posloupnost inkluzí:

{\ mathcal {C}} ^ {0} (J) \ supset {\ mathcal {D}} ^ {1} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {1} (J) \ supset {\ mathcal {D}} ^ {2} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {2} (J) \ supset \ cdots \ supset {\ mathcal {D}} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {k} (J) \ supset \ cdots \ supset {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J).

Běžně se zmiňují dvě další kategorie:

${\ mathcal {C}} _ {I} ^ {0} (J)$ sada po částech spojitých funkcí ;
${\ mathcal {C}} _ {I} ^ {k} (J)$ (s ) podmnožina skládající se z funkcí, jejichž i-ta derivace je po částech spojitá; $k \ geq 1$ ${\ mathcal {D}} ^ {k} (J)$ $k$
${\ mathcal {C}} _ {0} ^ {k} (J)$ podmnožina složená z funkcí, jejichž podpora je kompaktní v otevřené sadě obsažené v $J$ ; ${\ mathcal {C}} ^ {k} (J)$
${\ mathcal {C}} _ {0} ^ {\ infty} (J)$ podskupina se skládá z funkcí, jejichž podpora je kompaktní v otevřeném obsahu v $J$ . ${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J)$

Splňují následující inkluze:

{\ mathcal {D}} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} _ ​​{I} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {k} ( J) \ supset {\ mathcal {C}} _ ​​{0} ^ {k} (J).

Je-li interval

J

je non-triviální , všechny tyto soupravy představují, pokud se svými právními předpisy, vektorových prostorů dimenze kartu (ℝ) .

Doména v dimenzi n > 1

To znamená otevřený limit, hranice a přilnavost . $\ Omega \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {n}$ $\ částečné \ Omega$ ${\ overline {\ Omega}}$

Pro zjednodušení předpokládejme, že jde o „běžnou“ doménu; například a opravit myšlenky, že věta o divergenci je platná pro jakoukoli dostatečně hladkou funkci . $\ Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

V této souvislosti si předchozí definice zachovávají svoji platnost nahrazením $J$ výrazem „derivát“ ve smyslu „ diferenciálu “. ${\ overline {\ Omega}}$

Související články