Tepelné vedení
Vedení tepla (nebo tepelná difúze ) je způsob přenosu tepla způsobený rozdílem teplot mezi dvěma oblastmi stejného média nebo mezi dvěma médii, která jsou v kontaktu, a aniž by došlo k celkovému posunutí materiálu ( makroskopický ) na rozdíl od konvekce, která je další způsob přenosu tepla . Lze jej interpretovat jako postupný přenos tepelného míchání : atom (nebo molekula) se vzdá části své kinetické energie sousednímu atomu.
Tepelná vodivost je proces dopravy na vnitřní energie spojené s molekulární míchání a v důsledku heterogenity média v makroskopickém měřítku. Je to nevratný jev analogický s fenoménem difúze . V tekutin (kapaliny a plyny), výsledky této energie dopravy na mikroskopické úrovni od anizotropie v distribuční funkce rychlosti . V pevných látkách je tepelná vodivost zajištěna společně vodivými elektrony a vibracemi krystalové mřížky ( fonony ).
Fyzikální jevy
Vedení tepla je pohyb tepelné energie z horkých částech systému na chladných částech. Jak energie difunduje systémem, teplotní rozdíly se zmenšují a entropie se zvyšuje.
V nejjednodušším případě plynů dochází k difúzi tepelné energie, když se během svého translačního pohybu částice během srážek vzdá části své hybnosti jiným částicím.
V pevných látkách má translační pohyb formu fononů (viz obrázek). Fonony jsou základní (kvantovaná) množství vibrační energie pohybující se pevnou látkou rychlostí zvuku specifickou pro danou látku. Způsob, jakým fonony interagují v pevné látce, určuje jejich vlastnosti, jako je tepelná difúze. Například elektrické izolátory mají obecně nízkou tepelnou vodivost a tyto pevné látky jsou považovány za tepelné izolátory (jako sklo, plasty, guma, keramika a kámen). Je to proto, že v pevných látkách se atomy a molekuly nemohou volně pohybovat.
Kovu , nicméně, mají vysokou tepelnou vodivost. Jejich struktura skutečně umožňuje difúzi kinetické energie vodivými elektrony , lehkými a extrémně pohyblivými. Proto v kovech existuje téměř dokonalá korelace mezi elektrickou vodivostí a tepelnou vodivostí . V kovech převládá elektronická vodivost, protože elektrony jsou delokalizovány , to znamená, že nejsou vázány na atom a chovají se jako kvantový plyn.
Obecné informace o modelování
Fourierův zákon
Tepelné vedení je spontánní přenos tepla z oblasti vysoké teploty do oblasti nižší teploty a je popsán takzvaným Fourierovým zákonem stanoveným matematicky Jean-Baptiste Biotem v roce 1804 a poté experimentálně Fourierem v roce 1822 : hustota tepla průtok je úměrný teplotnímu gradientu .
φ→=-λ Grnad→ T{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ varphi}} = - \ lambda \ {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \ T}Konstanta proporcionality λ se nazývá tepelná vodivost materiálu. Vždy je pozitivní.
U jednotek mezinárodního systému je tepelná vodivost λ vyjádřena ve wattech na metr-Kelvin ( W m −1 K −1 ). Hustota tepelného toku je vyjádřena ve wattech na metr čtvereční ( W m -2 ), teplota T v kelvinech ( K ).
φ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ varphi}}}
Fourierův zákon je makroskopický zákon. To platí pouze pro tuhé látky velkých rozměrů ve srovnání se střední volná dráha a vlnové délky z fononů zapojených tepelných přenosů.
Fourierův zákon je fenomenologický zákon analogický s Fickovým zákonem pro difúzi částic nebo Ohmovým zákonem pro elektrické vedení (k vytvoření své teorie použil Ohm analogii mezi tepelnou a elektřinou). Tyto tři zákony lze interpretovat stejným způsobem: nehomogenita intenzivního parametru (teplota, počet částic na jednotku objemu, elektrický potenciál ) způsobuje transportní jev, který má tendenci kompenzovat nerovnováhu (tepelný tok, difúzní proud, elektrický proud).
Doplněk
Přenos tepla můžeme vyjádřit podle Ox na čas dt . Předpokládá se, že množství tepla procházejícího povrchem plochy dS x je úměrné dS x , době přenosu dt a rychlosti změny teploty T :
dQX=-λX δTδXdSXdt{\ displaystyle dQ_ {x} = - \ lambda _ {x} \ {\ frac {\ delta T} {\ delta x}} dS_ {x} dt}Hustota tepelného toku elementárním povrchem dS x je pak:
dϕ=dQXdt=-λXδTδXdSX{\ displaystyle d \ phi = {\ frac {dQ_ {x}} {dt}} = - \ lambda _ {x} {\ frac {\ delta T} {\ delta x}} dS_ {x} \,}Můžeme odvodit hustotu toku ve směru Ox:
φX=dϕdSX{\ displaystyle \ varphi _ {x} = {\ frac {d \ phi} {dS_ {x}}} \,}
φX=-λδTδX{\ displaystyle \ varphi _ {x} = - \ lambda {\ frac {\ delta T} {\ delta x}}}
Stejné uvažování v každém ze směrů vesmíru dává Fourierův zákon.
Tepelná rovnice
Energetická bilance a vyjádření Fourierova zákona vede k obecné rovnici vedení tepla v homogenním těle, rovnici přenosu teploty :
T(r→){\ displaystyle T ({\ vec {r}})}
∇→⋅[λ(T)∇→T]+P(r→)=ρVSP(T)∂T∂t{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left [\ lambda (T) \, {\ vec {\ nabla}} T \ right] + {\ mathcal {P}} ({\ vec {r} }) = \ rho \, C_ {P} (T) \, {\ frac {\ částečné T} {\ částečné t}}}nebo
λ{\ displaystyle \ lambda} |
je tepelná vodivost materiálu ve W m −1 K −1 ,
|
P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}} |
je energie vyrobená v samotném materiálu ve W m -3 ,
|
ρ{\ displaystyle \ rho} |
je hustota v kg / m 3
|
VSP{\ displaystyle C_ {P}} |
je měrná tepelná hmotnost materiálu v J kg −1 K −1 .
|
V jednorozměrné formě a v případě, že P je nula a konstanta vodivosti, se získá:
λ∇2T=ρVSP∂T∂t{\ displaystyle \ lambda \, \ nabla ^ {2} T = \ rho \, C_ {P} \, {\ frac {\ částečné T} {\ částečné t}}}Ve stacionárním režimu, kdy se teplota již nemění s časem a je-li P nula, klesá na: což je Laplaceova rovnice . T je pak harmonická funkce .
∇2T=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} T = 0}
V případě permanentního a unidimenzionálního režimu se předchozí rovnice redukuje na: jehož řešení je T = Ax + b, kde A a B jsou konstanty, které mají být fixovány podle okrajových podmínek.
d2TdX2=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = 0}
Mikroskopická stupnice: Boltzmann-Peierlsova rovnice
U problémů v nanometrickém měřítku, s nimiž se setkáváme například v mikroelektronice, není střední volná cesta fononů ve srovnání s velikostí studovaného objektu malá a rovnice difúze tepla již neplatí. Tento problém vyřešil Rudolf Peierls v roce 1929 poskytnutím mikroskopického popisu jevu pomocí Boltzmannovy rovnice pro energii d E ν přenesenou fonony považovanými za plyn, jako je plyn fotonů . Tato energie se redukuje na jednotku plochy procházejícího d S , na frekvenční interval považovaný za dν , na elementární plný úhel považovaný za dΩ a na časový interval d t, aby se získala intenzita I ν
dEν=JáνdSdνdΩdt{\ displaystyle \ mathrm {d} E _ {\ nu} = I _ {\ nu} \, \ mathrm {d} S \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d} \ Omega \, \ mathrm {d} t}Tato veličina je obdobou spektrálního jasu pro záření. Řídí se Boltzmannovou rovnicí, kterou zde dáme v jedné dimenzi prostoru a ve stacionárním případě
dJáνdτ(X,μ)=Gν(X)-Jáν(X,μ){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} I _ {\ nu}} {\ mathrm {d} \ tau}} (x, \ mu) = G _ {\ nu} (x) -I _ {\ nu} (x, \ mu)}Pro to :
- zavedli jsme veličinu τ = κ x ; kde κ je spektrální absorpční koeficient média, o kterém se předpokládá, že je nezávislý na ν . Tato veličina je inverzní k střední volné dráze l = 1 / τ , obvykle několik desítek nm při teplotě okolí;
- předpokládalo se, že úhlová závislost byla revoluční, charakterizovaná μ = cos θ ;
- difúzní podmínky, které mohou být výsledkem defektů krystalů nebo procesů umklapp, byly zanedbány .
G ν je termín vytvoření, který je výsledkem vytvoření fononů tepelným mícháním.
V případě, že je dosaženo termodynamické rovnováhy, je tento termín dán Planckovým zákonem (fonony jsou bosony stejně jako fotony, takže se řídí Bose-Einsteinovou statistikou )
Bν=2hν3vs.m21exp(hνkTm)-1,Bm=∫0∞Bνdν=σTm4π{\ displaystyle B _ {\ nu} = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c_ {m} ^ {2}}} {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ frac {h \ nu} {kT_ {m}}} \ vpravo) -1}} \ ,, \ qquad B_ {m} = \ int _ {0} ^ {\ infty} B _ {\ nu} \, \ mathrm {d } \ nu = {\ frac {\ sigma \; T_ {m} ^ {4}} {\ pi}}}nebo
Za předpokladu termodynamické rovnováhy média lze napsat rovnici pro intenzitu, která je identická s intenzitou přenosu záření . Získáme rovnici pro integrovanou intenzitu ve frekvenci :
Jám=∫0∞Jáνdν{\ displaystyle I_ {m} = \ int _ {0} ^ {\ infty} já _ {\ nu} \, \ mathrm {d} \ nu}
dJám(X,μ)dτ=Bm(Tm(X))-Jám(X,μ){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} I_ {m} (x, \ mu)} {\ mathrm {d} \ tau}} = B_ {m} (T_ {m} (x)) - I_ { m} (x, \ mu)}
Souvislost s makroskopickým měřítkem
Představme si první okamžiky I m :
- energie |
Em=2π∫-11Jámdμ=∫ρVSPROTIdT{\ displaystyle E_ {m} = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} I_ {m} \, \ mathrm {d} \ mu = \ int \ rho \, C_ {V} \, \ mathrm {d} T}
|
- hustota tepelného toku |
φm=2π∫-11μJámdμ{\ displaystyle \ varphi _ {m} = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} \ mu \, I_ {m} \, \ mathrm {d} \ mu}
|
kde ρ je hustota a C V je specifická tepelná kapacita .
Když :
- průměrná volná cesta je malá ve srovnání s dimenzí domény nebo jakoukoli jinou veličinou charakterizující řešení, jmenovitě ,l≪s|∂s∂X|{\ displaystyle l \ ll {\ frac {s} {\ vlevo | {\ frac {\ částečné s} {\ částečné x}} \ vpravo |}}}
- charakteristický čas je malý ve srovnání s jakoukoli časovou variací v doméně ,tm=1κvs.m{\ displaystyle t_ {m} = {\ frac {1} {\ kappa \, c_ {m}}}}tm≪s|∂s∂t|{\ displaystyle t_ {m} \ ll {\ frac {s} {\ vlevo | {\ frac {\ částečné s} {\ částečné t}} \ pravé |}}}
různé metody umožňují získat difúzní rovnici týkající se těchto veličin ve formě:
φm=-vs.m3∂Em∂X=-vs.m3κdEmdT∂T∂X=-vs.mρVSPROTI3κdTdX{\ displaystyle \ varphi _ {m} = - {\ frac {c_ {m}} {3}} {\ frac {\ částečné E_ {m}} {\ částečné x}} = - {\ frac {c_ {m }} {3 \ kappa}} {\ frac {\ mathrm {d} E_ {m}} {\ mathrm {d} T}} {\ frac {\ parciální T} {\ parciální x}} = - {\ frac {c_ {m} \ rho \, C_ {V}} {3 \ kappa}} {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} x}}}Uznáváme Fourierův zákon s tepelnou vodivostí
λ=vs.mρVSPROTI3κ{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {c_ {m} \ rho \, C_ {V}} {3 \ kappa}}}
Demonstrace
Stejně jako u radiačního přenosu můžeme snížit Boltzmannovu rovnici na následující systém
∂Em∂t+∂φm∂X=κ(4πBm-vs.mEm)∂φm∂t+vs.m2∂(EmDm)∂X=-vs.mκφm{\ displaystyle {\ begin {pole} {rcl} {\ frac {\ částečné E_ {m}} {\ částečné t}} + {\ frac {\ částečné \ mathbf {\ varphi} _ {m}} {\ částečné x}} & = & \ kappa \ left (4 \ pi B_ {m} -c_ {m} E_ {m} \ right) \\ [0,6em] {\ frac {\ částečné \ mathbf {\ varphi} _ { m}} {\ částečné t}} + c_ {m} ^ {2} {\ frac {\ částečné \ mathbf {(} E_ {m} {\ mathsf {D}} _ {m})} {\ částečné x }} & = & - c_ {m} \ kappa \ mathbf {\ varphi} _ {m} \ end {pole}}}Předpokládáme izotropní tenzor :: jedná se o Eddingtonovu metodu nebo metodu P 1 .
Dm{\ displaystyle \ textstyle {\ mathsf {D}} _ {m}}Dν=13Já{\ displaystyle \ textstyle {\ mathsf {D}} _ {\ nu} = {\ frac {1} {3}} {\ mathsf {I}}}
Pak dostaneme
vs.m2∂(EmDm)∂X=vs.m23∂Em∂X{\ displaystyle c_ {m} ^ {2} {\ frac {\ částečné \ mathbf {(} E_ {m} {\ mathsf {D}} _ {m})} {\ částečné x}} = {\ frac { c_ {m} ^ {2}} {3}} {\ frac {\ částečné E_ {m}} {\ částečné x}}}Za předpokladu ustálené hustoty toku je napsána druhá rovnice výše uvedeného systému
φm=-vs.m3κ∂Em∂X{\ displaystyle \ varphi _ {m} = - {\ frac {c_ {m}} {3 \ kappa}} {\ frac {\ částečné E_ {m}} {\ částečné x}}}
Tepelná vodivost je úměrná rychlosti šíření, specifické tepelné kapacitě a střední volné dráze v médiu.
V důsledku toho je koeficient tepelné difúze úměrný rychlosti šíření a střední volné dráze.
D=λρVSPROTI=vs.m3κ{\ displaystyle D = {\ frac {\ lambda} {\ rho C_ {V}}} = {\ frac {c_ {m}} {3 \ kappa}}}
Tepelná rovnice získaná touto difuzní aproximací je parabolická rovnice, pro kterou je rychlost šíření informací nekonečná.
Krátké časové stupnice: Cattaneo-Vernotteova rovnice
V určitých případech již hypotéza kvazistacionárnosti toku není platná: například pokud se k zahřátí vzorku použije ultra krátký zdroj tepla, jako je laserový puls.
Ponecháme-li dočasný člen na toku (viz předchozí rámeček), získáme:
φm+tm∂φm∂t=-vs.m3κ∂Em∂X=-λdTdX,tm=1κvs.m{\ displaystyle \ varphi _ {m} + t_ {m} {\ frac {\ částečné \ varphi _ {m}} {\ částečné t}} = - {\ frac {c_ {m}} {3 \ kappa}} {\ frac {\ částečné E_ {m}} {\ částečné x}} = - \ lambda {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} x}} \ ,, \ qquad t_ {m} = {\ frac {1} {\ kappa c_ {m}}}}Tento výraz toku včetně relaxačního termínu pro oscilaci fononů se nazývá Cattaneo-Vernotteova rovnice podle Carla Cattanea a Pierra Vernotteho. Systém, do kterého vede, je typových rovnic telegrafních operátorů . Všimněte si, že v tomto systému hyperbolické parciální diferenciální rovnice je rychlost šíření informací c m / √ 3 a ne c m .
Nanoskopická stupnice: kvantum tepla
Uvažujeme o virtuálním vlnovodu nanoskopické velikosti. Rolf Landauer ukázal, že tepelný tok pro způsob šíření α mezi médiem 1 a médiem 2 při termodynamické rovnováze je
φα=∫0∞ℏωα(k)vs.m(k)(ne2-ne1)Tαdk2π{\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ hbar \ omega _ {\ alpha} (k) c_ {m} (k) (n_ {2} -n_ {1 }) {\ mathcal {T}} _ {\ alpha} {\ frac {\ mathrm {d} k} {2 \ pi}}}nebo
Vodicí je omezena dvěma plochami pro perfektní výměnu: . Na jeho konci aplikujeme dvě média s teplotním rozdílem a uvažujeme limit . Předpokládá se, že tyto teploty jsou dostatečně nízké, aby měly právo brát v úvahu pouze vlnové číslo k = 0 pro každý režim.
Tα=1{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ alpha} = 1}ΔT=T2-T1{\ displaystyle \ Delta T = T_ {2} -T_ {1}}ΔT→0{\ displaystyle \ Delta T \ až 0}
S těmito předpoklady ukážeme, že kvantita vodivosti na režim je
qα=φαΔT=πk23hT1+T22{\ displaystyle q _ {\ alpha} = {\ frac {\ varphi _ {\ alpha}} {\ Delta T}} = {\ frac {\ pi k ^ {2}} {3h}} {\ frac {T_ {1} + T_ {2}} {2}}}Tato hodnota byla měřena experimentálně.
Rovnovážný stav vedení
Ustálený stav je definován nezávislostí na čase jakéhokoli množství, včetně teploty.
Poznámka: Ustálený stav je někdy zaměňován s ustáleným stavem , zatímco ustálený stav může záviset na čase (příklad: periodický režim).
Jednoduchý rovný povrch
Materiál je médium omezené dvěma rovnoběžnými rovinami (případ stěny). Každá rovina má po celé své ploše homogenní teplotu T. Má se za to, že letadla mají nekonečné rozměry, aby byly bez hranových efektů. V důsledku toho je médium jednorozměrné a hustota toku je ve všech bodech stejná. Dále se předpokládá, že vodivost je konstantní.
Označme pomocí T 1 teplotu roviny umístěné na úsečce x 1 a T 2 teplotu roviny umístěné na úsečce x 2 . Označme e = x 2 - x 1 tloušťku stěny. V ustáleném stavu je T afinní funkcí x , proto:
T=T1+X-X1E(T2-T1){\ displaystyle T = T_ {1} + {\ frac {x-x_ {1}} {e}} (T_ {2} -T_ {1})}Hustota tepelného toku povrchu je zapsána:
φ=-λdTdX=λE(T1-T2){\ displaystyle \ varphi = - \ lambda {\ frac {dT} {dx}} = {\ frac {\ lambda} {e}} (T_ {1} -T_ {2})}Tepelný tok povrchem S má hodnotu:
Φ=λSE(T1-T2)=T1-T2EλS{\ displaystyle \ Phi = {\ frac {\ lambda S} {e}} (T_ {1} -T_ {2}) = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {\ frac {e} {\ lambda S}}}}
Elektrická analogie
Analogicky s elektřinou ( Ohmův zákon ) můžeme paralelizovat dva výrazy:
U1-U2=RJá{\ displaystyle U_ {1} -U_ {2} = RI}
T1-T2=EλSΦ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {e} {\ lambda S}} \ Phi}
Můžeme dát paralelně na jedné straně napětí a teplotu, na druhé straně intenzitu a tok tepla:
U↔T,Já↔Φ{\ displaystyle U \ leftrightarrow T \ ,, \ qquad I \ leftrightarrow \ Phi}Poté můžeme definovat tepelný odpor , který hraje roli v přenosu tepla srovnatelný s elektrickým odporem.
R↔Rthvs.=EλS{\ displaystyle R \ leftrightarrow R_ {thc} = {\ frac {e} {\ lambda S}}}kde S je povrch materiálu ae jeho tloušťka. Tepelný odpor R thc je homogenní při K W -1
Rovné povrchy v sérii
Domníváme se, že materiály , B a C s příslušnými tlouštěk e A , E B a E C a příslušných vodivosti lambda A , λ B a λ C .
Předpoklady jsou stejné jako u jednoduché rovné plochy. Má se za to, že kontakt mezi každou vrstvou je dokonalý, což znamená, že teplota na rozhraní mezi 2 materiály je u každého materiálu stejná (žádný teplotní skok při průchodu rozhraním).
Součet tepelných odporů:
T1-T4=(ENAλNAS+EBλBS+EVSλVSS)Φ =(RthNA+RthB+RthVS)Φ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = \ left ({\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S}} + {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ { B} S}} + {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S}} \ vpravo) \ Phi \ = (R_ {thA} + R_ {thB} + R_ {thC}) \ Phi }
Demonstrace
Celkově máme
T1-T4=EλSΦ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = {\ frac {e} {\ lambda S}} \ Phi}Pokud se rozložíme
Pro vrstvu A :
T1-T2=ENAλNASΦ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S}} \ Phi}
pro vrstvu B :
T2-T3=EBλBSΦ{\ displaystyle T_ {2} -T_ {3} = {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ {B} S}} \ Phi}
pro vrstvu C :
T3-T4=EVSλVSSΦ{\ displaystyle T_ {3} -T_ {4} = {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S}} \ Phi}
Poznámka: Předpokládáme, že tok (nebo hustota toku) je konstantní.
S:
T1-T4=(T1-T2)+(T2-T3)+(T3-T4){\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = (T_ {1} -T_ {2}) + (T_ {2} -T_ {3}) + (T_ {3} -T_ {4}) \, }Proto
T1-T4=(ENAλNAS+EBλBS+EVSλVSS)Φ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = \ left ({\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S}} + {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ { B} S}} + {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S}} \ vpravo) \ Phi \,}
T1-T4=(RthNA+RthB+RthVS)Φ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = (R_ {thA} + R_ {thB} + R_ {thC}) \ Phi \,}
Teplotní profil
Pro každý materiál se teplotní změny řídí zákonem typu:
T=T1-EXλXSΦ{\ displaystyle T = T_ {1} - {\ frac {e_ {X}} {\ lambda _ {X} S}} \ Phi \,}Kolísání teploty je proto lineární v tloušťce uvažovaného materiálu. Sklon závisí na λ ( tepelné vodivosti ) charakteristické pro každý materiál. Čím nižší je tepelná vodivost (tím více je materiál izolován), tím strmější bude svah.
Elektrická analogie
Stejným způsobem, jako se sčítají elektrické odpory v sérii, se sčítají tepelné odpory v sérii.
Rovné povrchy paralelně
Zvažujeme vedle sebe rovinné materiály. Každý materiál je homogenní a omezený dvěma rovnoběžnými rovinami. To je například případ zdi s oknem.
Předpoklady jsou stejné jako u jednoduché rovné plochy. Kromě toho se má za to, že teplota je rovnoměrné na povrchu každého prvku (T 1 a T 2 ).
Nechť S A , S B a S C jsou příslušné povrchy prvků A, B a C.
Následně předpokládáme, že tok je vždy kolmý ke složené stěně; to není realistické, protože povrchová teplota každého prvku, který ji tvoří, je odlišná a v důsledku toho existuje boční teplotní gradient (na počátku tepelných mostů). Rovněž je nutné korigovat tepelný tok vypočítaný ve složené stěně pomocí lineárních ztrátových koeficientů, specifických pro každý spoj stěny (a které mohou být zanedbatelné, viz tepelná regulace TH 2000).
Sčítají se tepelné vodivosti:
VSth=1Rth=1ENAλNASNA+1EBλBSB+1EVSλVSSVS=1RthNA+1RthB+1RthVS{\ displaystyle C_ {th} = {\ frac {1} {R_ {th}}} = {\ frac {1} {\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S_ {A}}} } + {\ frac {1} {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ {B} S_ {B}}}} + {\ frac {1} {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S_ {C}}}} = {\ frac {1} {R_ {thA}}} + {\ frac {1} {R_ {thB}}} + {\ frac {1} {R_ {thC }}}}
Demonstrace
Pro každý prvek je tok vyjádřen podle vztahu
T1-T2=EXλXSΦ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {e_ {X}} {\ lambda _ {X} S}} \ Phi \,}S využitím elektrické analogie
RX=EXλXSX{\ displaystyle R_ {X} = {\ frac {e_ {X}} {\ lambda _ {X} S_ {X}}} \,}kde se rovná , nebo
My tedy máme
X{\ displaystyle X}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}
ΦNA=T1-T2RNA{\ displaystyle \ Phi _ {A} = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {R_ {A}}} \,}
ΦB=T1-T2RB{\ displaystyle \ Phi _ {B} = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {R_ {B}}} \,}
ΦVS=T1-T2RVS{\ displaystyle \ Phi _ {C} = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {R_ {C}}} \,}
Celkový tok se rovná součtu toků v každém prvku
Φ=ΦNA+ΦB+ΦVS{\ displaystyle \ Phi = \ Phi _ {A} + \ Phi _ {B} + \ Phi _ {C} \,}
Φ=(T1-T2)(1RNA+1RB+1RVS){\ displaystyle \ Phi = (T_ {1} -T_ {2}) \ vlevo ({\ frac {1} {R_ {A}}} + {\ frac {1} {R_ {B}}} + {\ frac {1} {R_ {C}}} \ vpravo) \,}
Nechť S je celková plocha
S=SNA+SB+SVS{\ displaystyle S = S_ {A} + S_ {B} + S_ {C} \,}Poté se zapíše povrchový tok
φ=ΦS{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ Phi} {S}} \,}Analogicky s elektrickými zákony se inverze tepelného odporu někdy nazývá tepelná vodivost.
VSth=1Rth=1ENAλNASNA+1EBλBSB+1EVSλVSSVS=1RthNA+1RthB+1RthVS{\ displaystyle C_ {th} = {\ frac {1} {R_ {th}}} = {\ frac {1} {\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S_ {A}}} } + {\ frac {1} {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ {B} S_ {B}}}} + {\ frac {1} {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S_ {C}}}} = {\ frac {1} {R_ {thA}}} + {\ frac {1} {R_ {thB}}} + {\ frac {1} {R_ {thC }}}}
Elektrická analogie
Je proto také možné provést analogii mezi elektrickým zapojením rezistorů paralelně.
|
|
Já=(1R1+1R2+1R3)ΔU{\ displaystyle I = \ left ({\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} + {\ frac {1} {R_ {3}}} \ vpravo) \ Delta U \,}
|
Φ=(1Rth1+1Rth2+1Rth3)ΔT{\ displaystyle \ Phi = \ left ({\ frac {1} {R_ {th1}}} + {\ frac {1} {R_ {th2}}} + {\ frac {1} {R_ {th3}}} \ right) \ Delta T \,}
|
Jednoduchý válcový povrch
Jedna trubka je vyrobena z jediného homogenního materiálu. Teplota je homogenní na každém povrchu trubice. Má se za to, že trubice má nekonečnou délku, aby byla bez okrajových efektů.
Kolísání teploty se zapisuje:
T1-T2=Φ2πλLln(R2R1){\ displaystyle \ T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \, \ lambda \, L}} \ ln \ vlevo ({\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}} \ vpravo)}
Demonstrace
Pokud vezmeme v úvahu variaci dR uvnitř materiálu tvořícího trubici, pak se vyjádří Fourierův zákon:
Φ=-λSdTdR{\ displaystyle \ Phi = - \ lambda \, S \, {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} R}}}(předpoklad ustáleného stavu ve skutečnosti zajišťuje, že tok tepla je ve válci konstantní, a proto je nezávislý na zvoleném místě)
Φ{\ displaystyle \ Phi}
Kolísání teploty v tloušťce trubice
Nechť S je povrch válce:
S=2πRL{\ displaystyle S = 2 \ pi RL \,}Můžeme napsat Fourierův zákon ve formě:
Φ=-λ2πRLdTdR{\ displaystyle \ Phi = - \ lambda 2 \ pi RL {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} R}} \,}dRR=-2πλLdTΦ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} R} {R}} = - {\ frac {2 \ pi \ lambda L \ mathrm {d} T} {\ Phi}} \,}∫R1R2dRR=-2πλLΦ∫T1TdT{\ displaystyle \ int _ {R_ {1}} ^ {R_ {2}} {\ frac {\ mathrm {d} R} {R}} = - {\ frac {2 \ pi \ lambda L} {\ Phi }} \ int _ {T_ {1}} ^ {T} \ mathrm {d} T \,}lnR2R1=2πλLΦ(T1-T){\ displaystyle \ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}} = {\ frac {2 \ pi \ lambda L} {\ Phi}} (T_ {1} -T) \,}Kolísání teploty v materiálu je tedy
T=T1-Φ2πλLlnRR1{\ displaystyle \ T = T_ {1} - {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \ lambda L}} \ ln {\ frac {R} {R_ {1}}} \,}Varianta je po celé tloušťce tuby
T1-T2=Φ2πλLlnR2R1{\ displaystyle \ T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \ lambda L}} \ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}} \, }
Soustředné válcové povrchy
Koncentrická trubice se skládá z trubek uspořádaných do soustředných vrstev. Má se za to, že kontakt mezi trubkami je dokonalý. Teplota je homogenní na každém povrchu trubice. Trubice má nekonečnou délku L, aby byla bez okrajových efektů.
Celkový odpor trubice je vyjádřen podle zákona typu „série“, jako je zeď složená ze série:
RthT=RthNA+RthB{\ displaystyle \ R_ {thT} = R_ {thA} + R_ {thB}}
Demonstrace
Vývoj teploty v první vrstvě:
T1-T2=Φ2πλNALlnR2R1{\ displaystyle \ T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \ lambda _ {A} L}} \ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1} }} \,}Vývoj teploty ve druhé vrstvě:
T2-T3=Φ2πλBLlnR3R2{\ displaystyle \ T_ {2} -T_ {3} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \ lambda _ {B} L}} \ ln {\ frac {R_ {3}} {R_ {2} }} \,}Po celé tloušťce tuby:
T1-T3=Φ2πL(lnR2R1λNA+lnR3R2λB){\ displaystyle \ T_ {1} -T_ {3} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi L}} \ vlevo ({\ frac {\ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1 }}}} {\ lambda _ {A}}} + {\ frac {\ ln {\ frac {R_ {3}} {R_ {2}}}} {\ lambda _ {B}}} \ vpravo) \ ,}Tepelný odpor vrstvy A.
RthNA=lnR2R1λNA2πL{\ displaystyle \ R_ {thA} = {\ frac {\ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}}} {\ lambda _ {A} {2 \ pi L}}} \,}Tepelný odpor vrstvy B.
RthB=lnR3R2λB2πL{\ displaystyle \ R_ {thB} = {\ frac {\ ln {\ frac {R_ {3}} {R_ {2}}}} {\ lambda _ {B} {2 \ pi L}}} \,}Celkový odpor trubice je vyjádřen podle zákona typu „série“, jako je zeď složená ze série:
RthT=RthNA+RthB{\ displaystyle \ R_ {thT} = R_ {thA} + R_ {thB} \,}
Vedení v dynamickém režimu
Rozlišení tepelné rovnice v dynamickém režimu je mnohem delikátnější. Využívá pojmy Fourierových transformací , konvolučního produktu a distribucí . Uvádíme několik příkladů řešení.
Případ neomezené domény
Obecná zásada
Napíšeme rovnici tepla ve tvaru:
∂T∂t-D∇2T=P{\ displaystyle {\ frac {\ částečné T} {\ částečné t}} - D \ nabla ^ {2} T = P}kde D je koeficient tepelné difuzivity a P zde představuje ohřev (v K / s) ze zdrojů tepla. P může být funkcí času a polohy zdroje tepla, ale také distribucí . Například, okamžitý a bodem vstřikování určitého množství tepla, mohou být reprezentovány produktem jednoho Diracovu distribuci v čase t = 0 rozdělením při x = 0 Dirac, x je úsečka v případě jednorozměrného problém nebo vektor polohy v obecném případě.
δ(t)δ(X){\ displaystyle \ delta (t) \ delta (x)}
Také si dáme počáteční stav domény , který může být také funkcí x nebo distribucí.
T0=T(0,X){\ displaystyle T_ {0} = T (0, x)}
Metoda řešení se skládá z:
- použít Fourierovu transformaci vzhledem k proměnné x, na všechny členy diferenciální rovnice. To transformuje derivaci vzhledem k x produktem. Pokud vezmeme , pak se rovnice stává:F(T)(p,t)=∫T(X,t)exp(-2iπpX)dX{\ Displaystyle F (T) (p, t) = \ int T (x, t) \ exp (-2i \ pi px) dx}
∂F(T)∂t+D4π2p2F(T)=F(P){\ displaystyle {\ frac {\ částečné F (T)} {\ částečné t}} + D4 \ pi ^ {2} p ^ {2} F (T) = F (P)}
nebo spíše ve smyslu distribucí zohlednit počáteční podmínku:
∂F(T)∂t+D4π2p2F(T)=F(P)+F(T0)δ(t){\ displaystyle {\ frac {\ částečné F (T)} {\ částečné t}} + D4 \ pi ^ {2} p ^ {2} F (T) = F (P) + F (T_ {0}) \ delta (t)}
(∂δ(t)∂t+4π2Dp2δ(t))∗F(T)=F(P)+F(T0)δ(t){\ displaystyle \ left ({\ frac {\ částečné \ delta (t)} {\ částečné t}} + 4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} \ delta (t) \ pravé) * F (T) = F (P) + F (T_ {0}) \ delta (t)}
Operátor, který aplikujeme na F, je produkt konvoluce vzhledem k proměnné t ;
- použijte převrácenou hodnotu operátoru, jehož hodnota je uvedena , kde H je funkce Heaviside , na konec:H(t)exp(-4π2Dp2t){\ displaystyle H (t) \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t)}
F(T)=F(P)∗H(t)exp(-4π2Dp2t)+F(T0)H(t)exp(-4π2Dp2t).{\ displaystyle F (T) = F (P) * H (t) \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t) + F (T_ {0}) H (t) \ exp ( -4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t).}Pokud F ( P ) je funkce a nikoli distribuce, stane se tato relace pro t > 0:
F(T)=∫0tF(P)(τ)exp(-4π2Dp2(t-τ))dτ+F(T0)exp(-4π2Dp2t){\ displaystyle F (T) = \ int _ {0} ^ {t} F (P) (\ tau) \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} (t- \ tau)) d \ tau + F (T_ {0}) \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t)}- přičemž inverzní Fourierova transformace odvodit T .
Konkrétní případ
Pokud vezmeme a (okamžitá injekce tepla v daném bodě), výše popsaná metoda vede k:
T0=0{\ displaystyle T_ {0} = 0}P=δ(t)δ(X){\ displaystyle P = \ delta (t) \ delta (x)}
F(P)=δ(t){\ displaystyle F (P) = \ delta (t)}proto pro t> 0:
F(T)=exp(-4π2Dp2t){\ displaystyle F (T) = \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t)}jehož inverzní Fourierova transformace je pro t> 0:
T=exp(-X24Dt)2πtD{\ displaystyle T = {\ frac {\ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {4Dt}} \ right)} {2 {\ sqrt {\ pi tD}}}}} v jednorozměrném případě;
T=exp(-r24Dt)8πtD3{\ displaystyle T = {\ frac {\ exp \ left (- {\ frac {r ^ {2}} {4Dt}} \ right)} {8 {\ sqrt {\ pi tD}} ^ {3}}} } v trojrozměrném případě.
Neomezená doména bez zdroje tepla
Pokud si dáme pouze počáteční teplotu média bez zdroje tepla (P = 0), zjistíme, že:
T0{\ displaystyle T_ {0}}
T=12πtD∫-∞+∞exp(-(X-u)24tD)T0(u)du{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ pi tD}}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ exp \ left (- {\ frac {(xu ) ^ {2}} {4tD}} \ vpravo) T_ {0} (u) \, du} v jednorozměrném případě.
T=18πtD3∫R3exp(-(r-s)24tD)T0(r)dXsdysdzs{\ displaystyle T = {\ frac {1} {8 {\ sqrt {\ pi tD}} ^ {3}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ exp \ left (- {\ frac {(rs) ^ {2}} {4tD}} \ vpravo) T_ {0} (r) \, dx_ {s} dy_ {s} dz_ {s}} v trojrozměrném případě.
Případ omezených ploch, bez zdroje tepla
Případ domény omezené letadlem. Kelvinův problém
Předpokládejme doménu omezenou rovinou x = 0. Pokud si dáme jako další okrajovou podmínku T (0, t) = 0 pro všechna t, pak stačí rozšířit počáteční rozdělení teploty o lichou funkci v x a použít předchozí výsledek.
T0{\ displaystyle T_ {0}}
Nejznámějším případem je Kelvinův problém . Ten se v 60. letech 19. století domníval, že Země měla zpočátku konstantní teplotu řádově 3000 ° C a že se ochladila jednoduchým vedením. Pomocí aktuální hodnoty teplotního gradientu jako funkce hloubky odvodil odhad stáří Země . Předchozí metodu rozlišení můžeme použít tak, že budeme Zemi považovat za plochou a nekonečně hlubokou, omezenou rovinou jejího povrchu. Výpočet vede k:
T0{\ displaystyle T_ {0}}
T=T0πtD∫0Xexp(-u24tD)du=T0ErF(X2Dt){\ displaystyle T = {\ frac {T_ {0}} {\ sqrt {\ pi tD}}} \ int _ {0} ^ {x} \ exp \ left (- {\ frac {u ^ {2}} {4tD}} \ right) \, du = T_ {0} \, {\ rm {erf}} \ left ({\ frac {x} {2 {\ sqrt {Dt}}}} \ right)}kde erf je považována za Gaussovu chybovou funkci .
Teplotní gradient na povrchu je:
∂T∂X=T0πtD{\ displaystyle {\ frac {\ částečné T} {\ částečné x}} = {\ frac {T_ {0}} {\ sqrt {\ pi tD}}}}:
Když víme o 3 ° C na 100 metrů hloubky a D odhadujeme na 10 −6 m 2 s −1 , zjistíme, že má hodnotu 100 milionů let. Tento výsledek je do značné míry podceňován, protože Kelvin ignoroval jevy proudění uvnitř zemského pláště .
∂T∂X{\ displaystyle {\ frac {\ částečné T} {\ částečné x}}} t{\ displaystyle t}
Případ domény ohraničené dvěma paralelními rovinami
Uvažujme doménu omezenou dvěma rovinami x = 0 a x = L. Předpokládejme, že si dáme okrajové podmínky T (0, t) = T (L, t) = 0. Použijeme metodu rozlišení založenou na Fourierově řadě hledáním T ve tvaru:
T=∑ne=1∞bnehřích(neπXL)exp(-Dne2π2tL2){\ displaystyle T = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin \ left (n \ pi {\ frac {x} {L}} \ right) \ exp \ left (- { \ frac {Dn ^ {2} \ pi ^ {2} t} {L ^ {2}}} \ vpravo)}Tento výraz kontroluje rovnici tepla i okrajové podmínky. Pokud si dáme počáteční rozložení teploty , stačí je vyvinout ve Fourierových řadách, abychom je určili .
T0{\ displaystyle T_ {0}}bne{\ displaystyle b_ {n}}
Například pokud vezmeme konstantu, dostaneme:
T0{\ displaystyle T_ {0}}
T=4T0π∑ne=0∞12ne+1hřích((2ne+1)πXL)exp(-D(2ne+1)2π2tL2){\ displaystyle T = {\ frac {4T_ {0}} {\ pi}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2n + 1}} \ sin \ left ({ \ frac {(2n + 1) \ pi x} {L}} \ vpravo) \ exp \ vlevo (- {\ frac {D (2n + 1) ^ {2} \ pi ^ {2} t} {L ^ {2}}} \ vpravo)}Když necháme L inklinovat k nekonečnu, najdeme Kelvinovo řešení z předchozího odstavce , přičemž předchozí součet je považován za Riemannovu součet konvergující k integrálu.
Případ domény se sférickou geometrií
V případě, že se šíření provádí ve sférické oblasti a kde teplota závisí pouze na vzdálenosti r ve středu, stává se rovnice tepla s přihlédnutím k výrazu Laplacian ve sférické oblasti :
∂T∂t=D(2r∂T∂r+∂2T∂r2){\ displaystyle {\ frac {\ částečné T} {\ částečné t}} = D \ vlevo ({\ frac {2} {r}} {\ frac {\ částečné T} {\ částečné r}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} T} {\ částečné r ^ {2}}} \ pravé)}Pokud pózujeme , rovnice se stává:
F=rT{\ displaystyle F = rT}
∂F∂t=D∂2F∂r2{\ displaystyle {\ frac {\ částečné F} {\ částečné t}} = D {\ frac {\ částečné ^ {2} F} {\ částečné r ^ {2}}}}Poté můžeme použít předchozí metody k určení F, poté odvodit T vydělením r .
Takže řešení Kelvinova problému v případě koule o poloměru R (počáteční teplota rovnoměrně rovná , povrch udržovaný na nulové teplotě) vede k následujícímu vyjádření T:
T0{\ displaystyle T_ {0}}
T(r,t)=2T0∑ne=1∞(-1)ne+1sinevs.(neπrR)exp(-Dne2π2tR2){\ displaystyle T (r, t) = 2T_ {0} \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} \, {\ rm {sinc}} \ vlevo (n \ pi {\ frac {r} {R}} \ vpravo) \ exp \ vlevo (- {\ frac {Dn ^ {2} \ pi ^ {2} t} {R ^ {2}}} \ vpravo)}kde sinc je kardinální sinusová funkce .
Případ omezených oblastí se zdrojem tepla
Uvažujeme rovnici:
∂T∂t-D∇2T=P{\ displaystyle {\ frac {\ částečné T} {\ částečné t}} - D \ nabla ^ {2} T = P}s P není nula. Obecně hledáme konkrétní řešení této rovnice, abychom se po odečtení od T mohli snížit na rovnici bez druhého člena. Zde je několik příkladů v případě, kdy P představuje konstantní hustotu zdroje tepla, nezávislou na poloze a čase.
Doména ohraničená dvěma paralelními rovinami
Uvažujme doménu omezenou dvěma rovinami x = 0 a x = L. Předpokládá se, že v počáteční době se teplota pole rovná nulové referenční teplotě a že okraje pole zůstanou trvale na této nulové teplotě. T proto ověří:
∂T∂t-D∂2T∂X2=P{\ displaystyle {\ frac {\ částečné T} {\ částečné t}} - D {\ frac {\ částečné ^ {2} T} {\ částečné x ^ {2}}} = P}
T (0, t ) = T (L, t ) = 0 pro jakékoli kladné t .
T ( x , 0) = 0 pro všechna x mezi 0 a L.
Nezávislá funkce t uspokojuje první dva vztahy, takže pokud nastavíme , pak G splňuje:
PX(L-X)2D{\ displaystyle {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}G=T-PX(L-X)2D{\ displaystyle G = T - {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}
∂G∂t-D∂2G∂X2=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné G} {\ částečné t}} - D {\ frac {\ částečné ^ {2} G} {\ částečné x ^ {2}}} = 0}
G(0,t)=G(L,t)=0{\ displaystyle G (0, t) = G (L, t) = 0}
G(X,0)=-PX(L-X)2D{\ displaystyle G (x, 0) = - {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}
Můžeme použít výše uvedenou metodu hledáním G ve formě série:
G=∑ne=1∞bnehřích(neπXL)exp(-ne2π2DtL2){\ displaystyle G = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {L}} \ right) \ exp \ left (- { \ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {L ^ {2}}} \ vpravo)}který kontroluje první dva vztahy. Protože z důvodů symetrie to očekáváme , můžeme předpokládat, že koeficienty jsou nulové, když n je sudé, takže:
G(X)=G(L-X){\ displaystyle G (x) = G (Lx)}bne{\ displaystyle b_ {n}}
G=∑ne=0∞b2ne+1hřích((2ne+1)πXL)exp(-(2ne+1)2π2DtL2){\ displaystyle G = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {2n + 1} \ sin \ left ({\ frac {(2n + 1) \ pi x} {L}} \ right) \ exp \ left (- {\ frac {(2n + 1) ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {L ^ {2}}} \ right)}:
Pro t = 0 máme:
-PX(L-X)2D=∑ne=0∞b2ne+1hřích((2ne+1)πXL){\ displaystyle - {\ frac {Px (Lx)} {2D}} = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {2n + 1} \ sin \ left ({\ frac {(2n + 1 ) \ pi x} {L}} \ vpravo)}:
Najdeme je vývojem v Fourierových sériích . Shledáváme :
b2ne+1{\ displaystyle b_ {2n + 1}}-PX(L-X)2D{\ displaystyle - {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}
b2ne+1=-4PL2(2ne+1)3π3D{\ displaystyle b_ {2n + 1} = - {\ frac {4PL ^ {2}} {(2n + 1) ^ {3} \ pi ^ {3} D}}}Proto G, pak nakonec:
T=PX(L-X)2D-4PL2Dπ3∑ne=0∞1(2ne+1)3hřích((2ne+1)πXL)exp(-(2ne+1)2π2DtL2){\ displaystyle T = {\ frac {Px (Lx)} {2D}} - {\ frac {4PL ^ {2}} {D \ pi ^ {3}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1) ^ {3}}} \ sin \ left ({\ frac {(2n + 1) \ pi x} {L}} \ right) \ exp \ left ( - {\ frac {(2n + 1) ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {L ^ {2}}} \ vpravo)}Při t inklinuje k nekonečnu, teplota domény směřuje k , tepelné topení v média, které je potom v rovnováze s evakuaci tepla obou okrajů.
PX(L-X)2D{\ displaystyle {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}
Doména omezená plánem
Řešení stejného problému v případě, že x > 0 spočívá v určení T tak, že:
∂T∂t-D∂2T∂X2=P{\ displaystyle {\ frac {\ částečné T} {\ částečné t}} - D {\ frac {\ částečné ^ {2} T} {\ částečné x ^ {2}}} = P}
T (0, t ) = 0 pro jakékoli kladné t .
T ( x , 0) = 0 pro všechna x > 0.
Řešení můžeme získat tak, že ve výrazu uvedeném v předchozím odstavci necháme L inklinovat k nekonečnu asimilováním řady na Riemannovu sumu . Poté získáme následující výraz:
T=-PX22D+PX22DErF(X2Dt)+PXtDπexp(-X24Dt)+PtErF(X2Dt){\ displaystyle T = - {\ frac {Px ^ {2}} {2D}} + {\ frac {Px ^ {2}} {2D}} \, {\ rm {erf}} \ left ({\ frac {x} {2 {\ sqrt {Dt}}}} \ vpravo) + {\ frac {Px {\ sqrt {t}}} {\ sqrt {D \ pi}}} \ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {4Dt}} \ right) + Pt \, {\ rm {erf}} \ left ({\ frac {x} {2 {\ sqrt {Dt}}}} \ right)}erf je funkce známá jako Gaussova chybová funkce . Můžeme také najít tento výraz použitím metody vyplývající z obecného principu vztahujícího se k neomezené doméně, poté, co jsme rozšířili na celý prostor funkce T a P v lichých funkcích na x , takže T zmizí na x = 0.
Když má t tendenci k nekonečnu, T se rovná přibližně P t , analogicky k nekonečné doméně. Jediný okraj není dostatečný k odvádění tepla.
Doména sférické geometrie
V případě domény, jejíž hranou je koule o poloměru R, se používá výraz kulovitého výrazu Laplacian a jeden se řeší:
∂T∂t=D(2r∂T∂r+∂2T∂r2)+P{\ displaystyle {\ frac {\ částečné T} {\ částečné t}} = D \ vlevo ({\ frac {2} {r}} {\ frac {\ částečné T} {\ částečné r}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} T} {\ částečné r ^ {2}}} \ pravé) + P}
Pro všechna t , T (R, t ) = 0
Pro všechna r , T ( r , 0) = 0
Postavením G ověří systém:
G=rT+r3P-rR2P6D{\ displaystyle G = rT + {\ frac {r ^ {3} P-rR ^ {2} P} {6D}}}
∂G∂t=D∂2G∂r2{\ displaystyle {\ frac {\ částečné G} {\ částečné t}} = D {\ frac {\ částečné ^ {2} G} {\ částečné r ^ {2}}}}
Pro všechna t , G (R, t ) = 0
Pro všechny r ,
G(r,0)=r3P-rR2P6D{\ displaystyle G (r, 0) = {\ frac {r ^ {3} P-rR ^ {2} P} {6D}}}
Metoda Fourierovy řady navrhuje hledat G ve formě série , kde jsou nalezeny rozšířením do Fourierovy řady. Získáváme:
∑ne=1∞bnehřích(neπrR)exp(-ne2π2DtR2){\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi r} {R}} \ right) \ exp \ left (- {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {R ^ {2}}} \ vpravo)}bne{\ displaystyle b_ {n}}r3P-rR2P6D{\ displaystyle {\ frac {r ^ {3} P-rR ^ {2} P} {6D}}}
G=2PR3Dπ3∑ne=1∞(-1)nene3hřích(neπrR)exp(-ne2π2DtR2){\ displaystyle G = {\ frac {2PR ^ {3}} {D \ pi ^ {3}}} \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} } {n ^ {3}}} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi r} {R}} \ right) \ exp \ left (- {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2 } Dt} {R ^ {2}}} \ vpravo)}:
a tak:
T=R2P-r2P6D+2PR2Dπ2∑ne=1∞(-1)nene2sinevs.(neπrR)exp(-ne2π2DtR2){\ displaystyle T = {\ frac {R ^ {2} Pr ^ {2} P} {6D}} + {\ frac {2PR ^ {2}} {D \ pi ^ {2}}} \ součet _ { n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n ^ {2}}} {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {n \ pi r} { R}} \ right) \ exp \ left (- {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {R ^ {2}}} \ right)}kde sinc je kardinální sinusová funkce .
Když t inklinuje k nekonečnu, teplota T inklinuje k limitnímu rozdělení .
R2P-r2P6D{\ displaystyle {\ frac {R ^ {2} Pr ^ {2} P} {6D}}}
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
Termín systém označuje těleso nebo soubor těles, kde dochází k výměnám tepla.
-
diamant je výrazná výjimka: jeho tuhý krystalová mřížka má mnoho kvantovaný režim vibrací. Výsledkem je, že diamant má jak velmi nízkou tepelnou kapacitu, tak vysokou tepelnou vodivost .
-
Často je nulová (například v případě tepelných usazenin na povrchu stěn), ale můžeme uvést mnoho případů, kdy tomu tak není; zahrnují mimo jiné studium přenosu tepla vedením v jaderném palivu nebo absorpci světla nebo mikrovln v poloprůhledných materiálech atd.
-
Konvekce přivádějící horké materiály blízko povrchu, teplotní gradient v jeho blízkosti je po daném čase v případě konvekce vyšší než v případě vedení. V důsledku toho bude doba chlazení vedoucí k danému gradientu odhadována na kratší v případě vedení než v případě konvekce. Viz England P, Molnar P, Richter F, Kelvin, Perry and the Age of the Earth , Pour la Science , únor 2008, str. 32-37 , přeloženo z článku amerického vědce . Druhý a okrajovější zdroj chyb pramení ze skutečnosti, že Kelvin kvůli radioaktivitě také zanedbává pojem zdroj energie.
Reference
-
José-Philippe Pérez a AM Romulus, termodynamika. Nadace a aplikace , Paříž, Masson ,1993, str. 153.
-
Pérez a Romulu 1993 , str. 158
-
Pérez a Romulus 1993 , s. 160
-
Viz Wiedemann a Franz Law .
-
Joseph Fourier , Analytická teorie tepla ,1822[ detail vydání ], Edward Leroy, „ O integraci tepelných rovnic “ Asens , řada 3 E , t. 14,1897, str. 379-465 ( číst online )a externí odkazy ( viz níže ).
-
tepelných toků, které uniknout Fourierova, pour la Science n O 494 prosince 2018 s. 63 .
-
(in) Yuan Dong Dynamická analýza non-Fourierova vedení tepla v nanosystémech , Springer ,2016( číst online )
-
O. Bourgeois, D. Tainoff, N. Mingo, B. Vermeersch a J.-L. Barrat, " Des tavidla de solidarité který uniknout Fourier ", pour la Science , n o 494,2008, str. 58-65.
-
(De) RE Peierls , „ Zur kinetischen Theorie der Wärmeleitung in Kristallen “ , Annalen der Physik , sv. 3,1929, str. 1055–1101
-
(in) Ingo Müller a Tommaso Ruggeri, Rational Extended Thermodynamics , sv. 37, Springer , kol. "Springerovy trakty v přírodní filozofii",1998( ISBN 978-1-4612-7460-5 )
-
(in) Michael M. Modest , Radiative Heat Transfer , Academic Press ,2003( ISBN 0-12-503163-7 )
-
(It) Carlo Cattaneo , „ Sulla conduzione del calore “ , Atti del Seminario Matematico e Fisico dell 'Universita di Modena e Reggio Emilia , sv. 3,1948, str. 83–101
-
P. Vernotte, „Paradoxy spojité teorie rovnice tepla “, Sborník Akademie věd , sv. 246, 1958 1958, s. 3154-3155
-
(in) Yoseph Imry, Úvod do mezoskopické fyziky , Oxford University Press ,2002( ISBN 0-19-850738-0 , číst online )
-
(in) JB Pendry , „ Kvantové limity toku informací a entropie “ , Journal of Physics A: Mathematical and General , sv. 16, n o 10,1983, str. 2161-2171 ( číst online )
-
(in) K. Schwab, EA Enriksen, JM Worlock a ML Roukes, „ Měření kvanta tepelné vodivosti “ , Letters to Nature , sv. 404,2000, str. 974-977 ( číst online )
-
Lev Landau a Evgueni Lifchits , teoretická fyzika , t. 6: Mechanika tekutin [ detail vydání ].
-
Laurent Schwartz , Matematické metody pro fyzikální vědy , Hermann , 1965.
-
Jean-Louis Le Mouël, ochlazování Země , 196 th Konference Univerzity veškerého poznání, dne 14. července 2000 [1] nebo [2]
-
John Perry, Na věk Země , 51 let , Příroda (7. února 1895), 341-342
Podívejte se také
Související články
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">