Goldbach dohad je matematické tvrzení, které zní takto:
Jakékoli sudé celé číslo větší než 3 lze zapsat jako součet dvou prvočísel .
Formulován v roce 1742 Christianem Goldbachem , je to jeden z nejstarších nevyřešených problémů v teorii čísel a matematice . Sdílí to s Riemannovou hypotézou a hypotézou dvojčete číslo 8 Hilbertových problémů , které uvedl v roce 1900.
Na opačném obrázku je znázorněno řešení rovnice 2N = p + q představované kruhy, kde 2N je sudé číslo mezi 4 a 50 a p a q jsou dvě prvočísla: čísla 2N jsou reprezentována čarami vodorovnými čarami a prvočísly čísla p a q jsou reprezentována červenou a modrou čarou. Goldbachova domněnka odpovídá skutečnosti, že pokud rozšíříme obrázek dolů, jakákoli šedá vodorovná čára bude obsahovat alespoň jeden kruh:
4 | = | 2 + 2 | (1 řešení) | |||
6 | = | 3 + 3 | (1 řešení) | |||
8 | = | 3 + 5 | (1 řešení) | |||
10 | = | 3 + 7 | = 5 + 5 | (2 řešení) | ||
12 | = | 5 + 7 | (1 řešení) | |||
14 | = | 3 + 11 | = 7 + 7 | (2 řešení) | ||
50 | = | 19 + 31 | = 13 + 37 | = 7 + 43 | = 3 + 47 | (4 řešení) |
Goldbachova domněnka je zvláštní případ domněnky související s hypotézou H Schinzel .
The 7. června 1742, píše pruský matematik Christian Goldbach švýcarskému matematikovi Leonhardovi Eulerovi dopis, na jehož konci navrhuje následující domněnku:
Jakékoli číslo striktně větší než 2 lze zapsat jako součet tří prvočísel.
(Goldbach připustil 1 jako prvočíslo; moderní domněnka vylučuje 1, a proto nahradí 2 5).
Ve své odpovědi ze dne 30. června 1742, Euler Goldbachovi připomíná, že toto prohlášení vyplývá z dřívějšího prohlášení, které mu již Goldbach sdělil:
Jakékoli sudé číslo lze zapsat jako součet dvou prvočísel.
(Stejně jako dříve, „číslo“ je třeba chápat ve smyslu „celé číslo přísně větší než 0“ a moderní domněnka nahradí 0 číslem 2.)
Podle slabší verze domněnky je jakékoli liché číslo větší nebo rovné 9 součtem tří prvočísel.
Většina matematiků věří, že Goldbachova domněnka je pravdivá, opírajíc se většinou o statistické úvahy zaměřené na distribuci prvočísel : čím větší je toto číslo, tím více způsobů je k dispozici k jeho vyjádření jako součet dvou nebo tří dalších čísel a většina „kompatibilního“ se stane tím, u kterého alespoň jedna z těchto reprezentací sestává výhradně z prvočísel.
Velmi surová verze heuristického pravděpodobnostního argumentu (pro silnou formu Goldbachova domněnky) je následující. Tyto prvočíslo věta uvádí, že syrové náhodně vybrané číslo m má šanci být prvočíslo. Pokud tedy n je velké sudé celé číslo a m je číslo mezi 3 a n / 2 , pak můžeme očekávat, že pravděpodobnost, že m a n - m jsou obě prvočísla, se rovná . Tento heuristický argument není přísný z mnoha důvodů; předpokládejme například, že události, které m a n - m jsou prvočíselné, jsou na sobě statisticky nezávislé . Pokud budeme i nadále pokračovat v této heuristické úvaze, můžeme odhadnout, že celkový počet způsobů zápisu velkého sudého celého čísla n jako součtu dvou lichých prvočísel má hodnotu přibližně
Protože tato veličina má sklon k nekonečnu, jak se n zvyšuje, můžeme očekávat, že každé dostatečně velké i celé číslo má nejen alespoň jedno zastoupení jako součet dvou prvočísel, ale ve skutečnosti jich má spoustu.
Heuristický argument výše je ve skutečnosti poněkud nepřesný, protože ignoruje některé korelace mezi pravděpodobnostmi, že m a n - m jsou prvočísla. Například pokud m je liché, pak n - m také, a pokud m je sudé, pak také n - m , ale prvočísla jsou všechna lichá kromě 2. Podobně, pokud n je dělitelné 3 a pokud m je již prvočíslo na rozdíl od 3, pak n - m je také prvočíslo s 3, takže jeho pravděpodobnost, že bude prvočíslo, je o něco větší než u jakéhokoli čísla. Při provádění tohoto typu analýzy s větší opatrností se Hardy a Littlewood domnívali v roce 1923 (to je součást slavného domněnkového n -tuples domněnky Hardy-Littlewood ), že pro jakékoli c ≥ 2 je počet reprezentací d 'velké celé číslo n v forma součtu c prvočísel s by měla být ekvivalentní k kde součin souvisí se všemi prvočísly p a je počtem řešení rovnice v modulární aritmetice , která podléhá omezením . Tento asymptotický vzorec byl prokázán pro c ≥ 3 z Vinogradovovy práce , ale stále jde o odhad c = 2 . V druhém případě je výše uvedený výraz nula, když n je liché, a když n je sudé, zjednodušuje se to kde je konstanta dvojitých prvočísel Tento asymptotický vzorec se někdy nazývá rozšířená Goldbachova domněnka . Goldbachova silná domněnka je ve skutečnosti velmi podobná domněnce dvojčata a předpokládá se, že obě domněnky mají srovnatelnou obtížnost.
V průběhu výzkumu zaměřeného na prokázání Goldbachova domněnky přišlo několik teoretiků řady s teorémy slabšími než domněnky. Následující tabulka uvádí některé významné etapy tohoto výzkumu. Zmínka f označuje věty vztahující se k Goldbachově slabé domněnce , „jakékoli liché číslo větší nebo rovné 9 je součet tří prvočísel. ":
Rok | Autoři | Teorém | Detaily | |
---|---|---|---|---|
1920 | Viggo Brown | Jakékoli dostatečně velké sudé celé číslo je součet dvou celých čísel, z nichž každé se skládá z nejvýše 9 hlavních faktorů. | ||
1923 | Hardy a Littlewood | F | Za předpokladu, že nějaké zobecnění Riemannovy hypotézy bude pravdivé , každé dostatečně velké liché číslo je součtem tří prvočísel. | |
1924 | Hans rademacher | Jakékoli dostatečně velké sudé celé číslo je součet dvou celých čísel, z nichž každé se skládá z nejvýše 7 hlavních faktorů. | ||
1931 | Lev Schnirelmann | Jakékoli celé číslo> 1 je součet nejvýše 20 prvočísel. | ||
1937 | Ivan Vinogradov | F | Jakékoli velké liché celé číslo je součtem tří prvočísel. Dodatek: Každé dostatečně velké sudé celé číslo je součtem čtyř prvočísel. |
|
1937 | Nikolai Chudakov (en) | Téměř každé sudé celé číslo je součet dvou prvočísel. | ||
1938 | Johannes van der corput | |||
1938 | Theodor Estermann | |||
1947 | Alfréd Rényi | Existuje konstanta K taková, že každé sudé celé číslo je součtem prvočísla a čísla, které má nanejvýš K prvočísel. | ||
1951 | Yuri Linnik (en) | Existuje konstanta K taková, že každé i celé číslo, které je dostatečně velké, je součtem dvou prvočísel a maximálně K mocnin 2. | ||
1966 | Chen Jingrun | Jakékoli poměrně velké sudé celé číslo je součtem prvočísla a čísla, které má nejvýše dva prvočíselné faktory. | ||
1975 |
Hugh Montgomery a Robert Charles Vaughan |
Nejrovnoměrnější celá čísla jsou součtem dvou prvočísel. | ||
1995 | Olivier Ramaré | Jakékoli sudé celé číslo je součet nejvýše šesti prvočísel. Dodatek: Jakékoli liché celé číslo je součet nejvýše sedmi prvočísel. |
[ číst online ] | |
1997 | Jean-Marc Deshouillers , Gove Effinger , Herman te Riele a Dimitri Zinoviev | F | Zobecněný Riemann hypotéza zahrnuje slabé Goldbach dohad. | [ číst online ] [PDF] |
2002 |
Roger Heath-Brown a Jan-Christoph Schlage-Puchta |
Výsledek Linniku (1951) je platný pro K = 13. | ||
2012 | Terence tao | F | Jakékoli liché celé číslo> 1 je součet až pěti prvočísel. Dodatek: výsledek Olivier Ramaré, 1995. |
Podrobný článek (ověřování dokladu) |
2013 | Harald helfgott | F | Jakékoli liché celé číslo> 5 je součtem tří prvočísel. Dodatek: výsledek Terence Tao, 2012. |
Podrobný článek (ověřování dokladu) |
V roce 2014 vedla zveřejněná numerická ověření k následujícím závěrům: