Skutečné tělo uzavřeno

V matematiky , je uzavřený skutečné tělo je zcela orderable pole , které není správné algebraický prodloužení je zcela orderable.

Příklady

Následující orgány jsou skutečně uzavřeny:

tělo reálných čísel ,
subfield z algebraických reálných čísel ,
pole vypočítatelných realit (ve smyslu Turinga ),
tělo definovatelných realit (in) ,
pole řady Puiseux se skutečnými koeficienty,
jakékoli superreálné tělo (zejména jakékoli hyperrealistické tělo ).

Charakterizace uzavřených reálných těles

Komutativní pole F je uzavřený skutečná (podle definice v úvodu) tehdy a jen tehdy, jestliže splňuje jednu z následujících stejných vlastnostech:

F je euklidovský a jakýkoli polynom lichého stupně s koeficienty v F připouští alespoň jeden kořen v F ;
–1 není čtverec ve F a F ( √ -1 ) je algebraicky uzavřeno ;
algebraické uzávěr z F je správné konečné prodloužení z F ;
je o řád F , pro které hodnota teorém meziprodukt platí pro jakékoli polynom nad F .

Důkaz implikace 1 ⇒ 2 (přidělené Nicolas Bourbaki k Euler a Lagrange ) je uveden v článku věnovaném d'Alembert-Gauss teorém .

Artin-Schreierova věta

Emil Artin a Otto Schreier prokázáno v roce 1927, že pro každý subjekt totálně spořádaná K , tam existuje skutečný uzavřený algebraické nad K a jejíž řád rozšiřuje tomu K . Toto rozšíření, pouze do izomorfismu , se nazývá reálnou uzávěr z K .

Například, „“ skutečná uzavření ℚ je pole ℝ∩ ℚ z algebraických reálných čísel , podle charakterizaci 2 výše. Můžeme si všimnout, že podle charakterizace 3 se jedná o „jedinečné“ algebraické rozšíření ℚ, z nichž „„ algebraický uzávěr ℚ je správné konečné rozšíření.

Kromě toho pro každé podpole „skutečné“ (tj. Zcela objednatelné) tělo algebraicky uzavřené , existuje mezilehlé podpole skutečné jako uzavřené . $L$ $F$ ${\ displaystyle L = F ({\ sqrt {-1}})}$

Teorie uzavřených reálných těl

Teorie uzavřených reálných polí je teorie prvního řádu, jejíž nelogické symboly jsou konstanty 0 a 1, aritmetické operace +, × a vztah ≤; vzorce jsou sestaveny z atomových vzorců pomocí konektorů ⋀, ⋁, ⇒ a kvantifikátorů ∀, ∃; axiomy jsou ty, které vyjadřují, že struktura je přesně uzavřené skutečné tělo.

Tato teorie připouští eliminaci kvantifikátorů , to znamená, že z vzorce s kvantifikátory je možné najít vzorec bez kvantifikátorů, se stejnými volnými proměnnými a ekvivalentem (to znamená, že logická ekvivalence dva vzorce, které před eliminací a po eliminaci jsou odvozeny z axiomů). Existují algoritmy, které tuto eliminaci implementují. První, kvůli Alfredu Tarskému , má neelementární složitost, to znamená, že není ohraničen věží exponenciálů , a proto má hlavně historický zájem, ale uvádí příklad teorie netriviální axiomatiky, která neuspokojuje Gödelovu první věta o neúplnosti . $2 ^ {{2 ^ {{\ dots ^ {n}}}}}$

James Davenport (en) a Joos Heintz v roce 1988 ukázali, že problém je skutečně složitý: existuje rodina Φ n vzorců s n kvantifikátory, délky O (n) a konstantního stupně, takže jakýkoli vzorec bez kvantifikátoru ekvivalentní Φ n musí implementovat polynomy stupně a délky s asymptotickými zápisy O a Ω . $2 ^ {{2 ^ {{\ Omega (n)}}}}$ $2 ^ {{2 ^ {{\ Omega (n)}}}}$

Například software QEPCAD a funkce Reduce to Mathematica 5 poskytují implementace eliminace kvantifikátoru algoritmů pro skutečné uzavřené pole.

Vzhledem k existenci algoritmů eliminace kvantifikátoru je rozhodovatelná teorie uzavřených reálných polí : z libovolného uzavřeného vzorce můžeme algoritmicky získat ekvivalentní vzorec bez kvantifikátorů nebo volných proměnných, a proto snadno rozhodnutelný.

Dalším důsledkem eliminace kvantifikátorů (bez ohledu na to, zda je to proveditelné algoritmicky) je, že tato teorie je úplná , takže každé uzavřené skutečné tělo má stejnou teorii prvního řádu jako ℝ.

Multiplikativní skupina

Multiplikativní skupina všechna reálná uzavřené oblasti je přímý součet z podskupiny a podskupin isomorphic k : . Ve skutečnosti jsou 1 a –1 jeho jedinými torzními prvky ( tj. Kořeny jednoty ) a podskupina kladných prvků ( čtverců ) je dělitelná . $F$ ${\ displaystyle \ {\ pm 1 \}}$ $\ mathbb {Q}$ ${\ displaystyle F ^ {*} \ simeq \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(| F |)}}$

Naopak pro každého nekonečného kardinála existuje uzavřené reálné pole, jehož multiplikativní skupina je izomorfní . Ve skutečnosti existuje algebraicky uzavřené pole charakteristiky 0 a kardinálu $κ$ a ( viz výše ) takové pole má skutečné uzavřené podpole stejného kardinála. $\ kappa$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(\ kappa)}}$

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Real closed field “ ( Skutečné uzavřené pole ) ( viz seznam autorů ) .

(in) TY Lam , Úvod do kvadratických forem přes pole , AMS ,2005, 550 str. ( ISBN 978-0-8218-1095-8 , číst online ) , s. 236.
Ekvivalence mezi definicí úvodu a charakterizací 1 a 2 je klasická: viz například Lam 2005 , s. 240-242. Ekvivalence mezi 1 a 4 je demonstrována v (in) H. Salzmann , T. Grundhofer , H. Hahl a R. Lowen , The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers , Cambridge, CUP , al. "Encyclopedia of matematiky a její aplikace" ( n o 112)2007, 401 str. ( ISBN 978-0-521-86516-6 , číst online ) , s. 127-128. Důsledek 2 ⇒ 3 je okamžitý. Jeho konverzace je demonstrována v (en) Keithovi Conradovi , „ The Artin-Schreier theorem “ .
I. e. : F může být poskytnuto s objednávkou (ve smyslu: celková objednávka a kompatibilní s operacemi), pro kterou je libovolným kladným prvkem čtverec. Na euklidovském těle existuje pouze jeden řád (v předchozím smyslu).
N. Bourbaki , Algebra , kap. 6 (Skupiny a seřazená pole), věta 3 str. 25.
(De) E. Artin a O. Schreier, „ Algebraische Konstruktion reeller Körper “ , Hamb. Abh. , sv. 5,1927, str. 85-99, překlad do francouzštiny pracovní skupinou: „Aux sources de la Géométrie Algebrique Réelle“ z IRMAR
(en) Serge Lang , Algebra ,1965[ detail vydání ] , str. 278-279nebo str. 457 vydání z roku 2002 , příklad .
Artin a Schreier 1927 , Věta 7.
Alfred Tarski, Rozhodovací metoda pro elementární algebru a geometrii , University of California Press, 1951; zahrnuto v eliminaci kvantifikátoru a válcovém algebraickém rozkladu zmíněném v bibliografii
Dokumentace Mathematica pro Reduce , Co je nového v Mathematica 5: Reduce
(en) Gregory Karpilovsky, Field Theory: Classical Foundations and Multiplicative Groups , CRC Press ,1988( číst online ) , s. 469-470.

Bibliografie

(en) Saugata Basu, Richard Pollack (en) a Marie-Françoise Roy , Algorithms in Real Algebraic Geometry , Berlin / New York, Springer , coll. "Algoritmy a výpočetní matematiky" ( n o 10),2003, 662 s. ( ISBN 978-3-540-33099-8 , číst online )
(en) Bob F. Caviness a Jeremy R. Johnson, redaktoři, Quantifier Elimination and Cylindrical Algebraic Decomposition , Springer, 1998 ( ISBN 978-3-7091-9459-1 )
(in) Chen Chung Chang a Howard Jerome Keisler , model Theory , Elsevier, 3 e ed., 1990 ( ISBN 978-0-444-88054-3 )
(en) Harold Garth Dales a W. Hugh Woodin , Super-Real Fields , Clarendon Press, 1996 ( ISBN 978-0-19853991-9 )
(en) Bhubaneswar Mishra (en) , „Computational Real Algebraic Geometry“ , v příručce diskrétní a výpočetní geometrie , CRC Press ,1997( [PDF] nebo s. 743–764 vydání z roku 2004 v Knihách Google )