Kompaktní stohování

Kompaktní zásobník je způsob uspořádání koule v prostoru, aby měl co největší hustotu oblastech, aniž by, že se překrývají.

To je problém, který si obecně klademe v euklidovské geometrii v trojrozměrném prostoru, ale můžeme jej také zobecnit na euklidovskou rovinu („koule“ pak jsou kružnice ), v euklidovském prostoru s n dimenzemi ( n > 3 ) , s hypersférami nebo v neeuklidovském prostoru .

Kompaktní uspořádání kruhů v rovině

V rovině lze umístit maximálně šest kruhů o poloměru r kolem kruhu se stejným poloměrem. Středy tří kruhů v kontaktu definují rovnostranný trojúhelník, protože jsou od sebe vzdáleny 2 r . Každý úhel rovný 60 ° ( π / 3 ), můžeme tedy dát 6 trojúhelníků se společným vrcholem, abychom vytvořili pravidelný šestiúhelník .

Je snadno vidět, že se jedná o nejkompaktnější organizaci, která spočívá v ukládání kuliček stejného objemu do prostoru vhodné velikosti.

Povrchová hustota tohoto uspořádání je:

Demonstrace

Zvažte čtyři kruhy v kontaktu dva po druhém. Středy těchto kruhů tvoří kosočtverec se stranou 2 r . Je tedy možné řezat rovinu do mozaikování diamantů definujících síť.

Každý kosočtverec obsahuje dvě části úhlového disku ve středu 2π / 3 a dvě části úhlového disku ve středu π / 3 . Součet těchto čtyř úhlů ve středu se tedy rovná 2π , takže součet oblastí čtyř částí disku se rovná ploše celého disku, tj. Π r 2 .

Samotný kosočtverec má pro danou oblast . Disky proto zabírají část plochy rovnou .

Joseph-Louis Lagrange dokázal v roce 1773, že žádné pravidelné uspořádání není hustší. To neplatí, pokud kruhy nemají stejnou velikost (viz uspořádání citrusových plátků).

Kompaktní stoh koulí

Vezměme si tři koule stejného průměru, které jsou v kontaktu v rovině (rovině A). Můžeme umístit čtvrtou kouli, vždy stejného průměru, umístěnou na prohlubeň mezi prvními třemi, středy koulí tvořících pravidelný čtyřstěn .

Tím, že umístíme koule do prohlubní kompaktní roviny A, získáme druhou kompaktní rovinu (rovinu B). Když přidáme třetí rovinu, můžeme dát koule buď v souladu s koulemi první roviny (rovina A), nebo do třetí možnosti umístění definující novou kompaktní rovinu (rovina C). A tak dále: superpozice (regulární nebo ne) rovin A, B nebo C (dvě po sobě jdoucí písmena musí být vždy odlišná).

V roce 1611 Johannes Kepler předpokládá, že se jedná o nejkompaktnější prostorové uspořádání. V roce 1831 Carl Friedrich Gauss předvádí Keplerovu domněnku za předpokladu, že uspořádání je pravidelné (v síti). Obecný případ demonstruje Thomas Hales v roce 1998 (následovaný čtyřletým ověřováním matematiky) a formálně prokázán v roce 2014, stále Thomas Hales.

Existují tedy tři typy kompaktních rovin A, B a C, které mohou kombinací generovat nekonečno typů kompaktních stohování, které představují příklad polytypismu  :

Bez ohledu na uspořádání je každá koule obklopena 12 dalšími koulemi a objemová hustota je ve všech případech:

Demonstrace  - Výpočet lze provést jednoduchým způsobem na kubickém stohování se středem tváře a na kompaktním šestihranném stohování (výpočet kompaktnosti viz externí odkaz). U ostatních kompaktních hromádek postačí rozřezat strukturu na skupiny tří rovin a skončit v jednom ze zmíněných případů.

Vyšší rozměry

V euklidovských prostorech dimenze větší než 3 se problém kompaktního stohování zobecňuje na hypersféry . Hustoty nejkompaktnějších pravidelných uspořádání jsou známy až do dimenze 8 a do dimenze 24 (viz článek „  Hermitova konstanta  “).

V roce 2016 Maryna Viazovska oznámila, že síť E 8  (in) poskytuje optimální zásobník (ne nutně běžný) ve velikosti 8 a brzy poté ve spolupráci s dalšími matematiky poskytla podobné důkazy o tom, že síť de Leech je optimální pro rozměr 24.

Asymptoticky hustota nejkompaktnějšího uspořádání (regulárního nebo ne) klesá exponenciálně jako funkce dimenze n . Není důvod si myslet, že nejhustší opatření jsou obecně pravidelná. Nejznámější pokyny jsou však v obou případech stejné:

Aplikace v krystalografii

V krystalografii se atomy nebo ionty mohou uspořádat do kompaktních vrstev. To platí zejména pro kovové struktury, přičemž krystaly jsou tvořeny pouze z jednoho typu částic. Pokud jsou modelovány koulemi, je hromada kompaktní, když jsou koule v kontaktu.

Dva hlavní typy kompaktního zásobníku jsou:

Příklady:

Objemová hustota se nazývá kompaktnost . Rychlost plnění je přibližně 74  % (26% vakuum).

Struktura vs. síť

V kompaktní kubickou strukturu , atomy jsou umístěny v souladu s uzly v krychlové mřížky plošně centrované a z tohoto důvodu je kompaktní kubickou strukturu je také často nazýván kubickou strukturu plošně centrované.

Na druhou stranu, v kompaktní hexagonální struktuře atomy nejsou na uzlech sítě, ale v poloze ⅓, ⅔, ¼ a ⅔, ⅓, ¾, které jsou ekvivalentní v prostorové skupině ( P 6 3 / mmc , n ° 194). Síť kompaktního šestibokou je primitivní hexagonální sítě.

Reference

  1. Conway a Sloane 1999 , kap. 1, s. 8.
  2. (in) Frank Morgan, „  Sphere Packing in size 8  “ , na The Huffington Post ,21. března 2016(zpřístupněno 10. dubna 2016 )
  3. (de) Andreas Loos, „  Mathematik: So stapeln Mathematiker Melonen  “ , Die Zeit ,21. března 2016( ISSN  0044-2070 , číst online , přistupováno 10. dubna 2016 )
  4. (en-US) Lisa Grossman , „  Nový matematický důkaz ukazuje, jak skládat pomeranče do 24 dimenzí  “ , New Scientist ,28. března 2016(zpřístupněno 10. dubna 2016 )
  5. (in) Erica Klarreich , „  Balení koulí vyřešeno ve vyšších dimenzích  “ , Quanta Magazine ,30. března 2016( číst online , konzultováno 23. března 2021 )
  6. Conway a Sloane 1999 , kap. 1, s. 20.

Podívejte se také

Bibliografie

Související články

externí odkazy