Butterworthův filtr
Butterworth filtr je druh lineárního filtru , navrženy tak, aby se jako konstanta je zisk , jak je to možné v jeho propustným pásmem .
Butterworthovy filtry popsal poprvé britský inženýr Stephen Butterworth (v) .
Vlastnosti
Zisk filtru Butterworth je konstantní, jak je to možné v propustném pásmu a má tendenci k 0 v mezní pásmu. Na logaritmickém Bodeho diagramu tato odezva lineárně klesá směrem k -∞, od -6 dB / oktávu (-20 dB / dekádu ) pro filtr prvního řádu, -12 dB / oktávu nebo -40 dB / dekádu pro filtr druhého řádu , -18 dB / oktáva nebo -60 dB / dekáda pro filtr třetího řádu atd.
Funkce přenosu
Stejně jako u všech lineárních filtrů prototypem byla studována na dolní propusti , která může být snadno modifikována vysoké propusti nebo umístěných za sebou pro vytvoření filtrů pásmové propustnosti nebo bandstop .
Zisk nízkoprůchodového Butterworthova filtru řádu n je:
Gne(ω)=|Hne(jω)|=11+(ω/ωvs.)2ne{\ displaystyle G_ {n} (\ omega) = \ left | H_ {n} (j \ omega) \ right | = {1 \ over {\ sqrt {1 + (\ omega / \ omega _ {\ mathrm {c }}) ^ {2n}}}}}kde je zisk filtru,
Gne{\ displaystyle G_ {n}}
Hne{\ displaystyle H_ {n}}jeho
přenosová funkce ,
j{\ displaystyle j}imaginární jednotka : (elektronika inženýři použít písmeno j místo i tak, aby se pletou na intenzitu s i )
j2=-1{\ displaystyle j ^ {2} = - 1}
ω{\ displaystyle \ omega}úhlová
frekvence (nebo
pulsace ) signálu v radiánech za sekundu (
rad .
s -1 ) ( )
ω=2πF{\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}
a
mezní frekvence (úhlové) filtru (při -3 dB).
ωvs.{\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}}}
Normalizací výrazu (tj. Zadáním ):
ωvs.=1{\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}} = 1}
Gne(ω)=|Hne(jω)|=11+ω2ne{\ displaystyle G_ {n} (\ omega) = \ left | H_ {n} (j \ omega) \ right | = {1 \ over {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2n}}}}}První 2-n-1 deriváty z nulové pro , což znamená maximální stálosti zisku v propustném pásmu.
Gne{\ displaystyle G_ {n}}ω=0{\ displaystyle \ omega = 0}
Při vysokých frekvencích:
|H(jω)|dB∼-20×nelog10ω{\ displaystyle {{\ left | H (j \ omega) \ right |} _ {dB}} \ sim -20 \ times n \, \ log _ {10} {\ omega}}Filtr roll-off (sklon zisk v Bode diagramu) je -20n dB / dekádu, kde ‚n‘ je řád filtru.
Zisk představuje pouze modul přenosové funkce H (p) (ve smyslu Laplaceovy transformace ), který při určování druhé ponechává určitou šířku. Musíme mít
H(p)H(-p)=G021+(-p2ωvs.2)ne{\ displaystyle H (p) H (-p) = {\ frac {{G_ {0}} ^ {2}} {1+ \ left (- {\ frac {p ^ {2}} {\ omega _ { c} ^ {2}}} \ vpravo) ^ {n}}}}Póly tohoto výrazu jsou rovnoměrně rozloženy na kružnici o poloměru ω c . Aby byl filtr stabilní, volíme póly přenosové funkce jako póly H (p) H (-p) se zápornou skutečnou částí. K -tý pól se udává pomocí n-tých kořenů jednoty :
-pk2ωvs.2=Ej(2k-1)πnek=1,2,3,...,ne{\ displaystyle - {\ frac {p_ {k} ^ {2}} {\ omega _ {c} ^ {2}}} = e ^ {\ frac {j (2k-1) \ pi} {n}} \ qquad \ mathrm {k = 1,2,3, \ ldots, n}}odkud
pk=ωvs.Ej(2k+ne-1)π2nek=1,2,3,...,ne{\ displaystyle p_ {k} = \ omega _ {c} e ^ {\ frac {j (2k + n-1) \ pi} {2n}} \ qquad \ mathrm {k = 1,2,3, \ ldots , ne}}Funkce přenosu je zapsána jako funkce těchto pólů:
H(p)=G0∏k=1ne(p-pk)/ωvs.{\ displaystyle H (p) = {\ frac {G_ {0}} {\ prod _ {k = 1} ^ {n} (p-p_ {k}) / \ omega _ {c}}}}Polynom ve jmenovateli se nazývá Butterworthův polynom .
ne |
Butterworthův polynom pro ω c = 1.
Bne(p){\ displaystyle B_ {n} (p)} |
---|
1
|
(p+1){\ displaystyle (p + 1)}
|
---|
2
|
p2+1,4142p+1{\ displaystyle p ^ {2} + 1,4142p + 1}
|
---|
3
|
(p+1)(p2+p+1){\ displaystyle (p + 1) (p ^ {2} + p + 1)}
|
---|
4
|
(p2+0,7654p+1)(p2+1,8478p+1){\ displaystyle (p ^ {2} + 0,7654p + 1) (p ^ {2} + 1,8478p + 1)}
|
---|
5
|
(p+1)(p2+0,6180p+1)(p2+1,6180p+1){\ displaystyle (p + 1) (p ^ {2} + 0,6180p + 1) (p ^ {2} + 1,6180p + 1)}
|
---|
6
|
(p2+0,5176p+1)(p2+1,4142p+1)(p2+1,9319p+1){\ displaystyle (p ^ {2} + 0,5176p + 1) (p ^ {2} + 1,4142p + 1) (p ^ {2} + 1,9319p + 1)}
|
---|
7
|
(p+1)(p2+0,4450p+1)(p2+1,2470p+1)(p2+1,8019p+1){\ displaystyle (p + 1) (p ^ {2} + 0,4450p + 1) (p ^ {2} + 1,2470p + 1) (p ^ {2} + 1,8019p + 1)}
|
---|
8
|
(p2+0,3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1,6629p+1)(p2+1,9616p+1){\ displaystyle (p ^ {2} + 0,3902p + 1) (p ^ {2} + 1,1111p + 1) (p ^ {2} + 1,6629p + 1) (p ^ {2} + 1,9616p + 1 )}
|
---|
|
Butterworth normalizované polynomy lze použít k určení funkcí přenosu dolní propusti pro jakoukoli mezní frekvenci v závislosti na tom, zda:
ωvs.{\ displaystyle \ omega _ {c}}
H(p)=G0Bne(na){\ displaystyle H (p) = {\ frac {G_ {0}} {B_ {n} (a)}}} nebo
na=pωvs.{\ displaystyle a = {\ frac {p} {\ omega _ {c}}}}
Srovnání
Butterworthovy filtry jsou jediné lineární filtry, jejichž obecný tvar je podobný pro všechny objednávky (s výjimkou odlišného sklonu v mezním pásmu).
Ve srovnání s Čebyševovými nebo eliptickými filtry mají filtry Butterworth nižší roll-off, což znamená použití vyšší objednávky pro konkrétní vytyčování. Jejich zisk je však v pásmu mnohem konstantnější.
Implementace
Butterworthův filtr, jehož přenosová funkce je známá, může být vyroben elektronicky podle Cauerovy metody . K- tý prvek takového obvodu pro wc = 1 a odpor R s 1 ohm je dán vztahem:
VSk=2hřích[(2k-1)2neπ]{\ displaystyle C_ {k} = 2 \ sin \ left [{\ frac {(2k-1)} {2n}} \ pi \ right]} (k liché)
Lk=2hřích[(2k-1)2neπ]{\ displaystyle L_ {k} = 2 \ sin \ left [{\ frac {(2k-1)} {2n}} \ pi \ right]} (k sudé)
Obecněji definujeme koeficienty takové, aby:
nak=2hřích[(2k-1)2neπ]{\ displaystyle a_ {k} = 2 \ sin \ left [{\ frac {(2k-1)} {2n}} \ pi \ right]} (pro všechny k)
Takže pro realizaci nízkoprůchodového filtru Butterworth pro libovolné R s :
VSk=nak(wvs.∗Rs){\ displaystyle C_ {k} = {\ frac {a_ {k}} {(w_ {c} * R_ {s})}}}
Lk=nak+1∗Rswvs.{\ displaystyle L_ {k} = {\ frac {a_ {k + 1} * R_ {s}} {w_ {c}}}}
To lze zobecnit pro horní propust a pásmovou propust.
Bibliografie
Poznámky
-
(in) S. Butterworth , „ K teorii filtračních zesilovačů “ , Wireless Engineer , sv. 7,1930, str. 536-541
-
USA 1849656 , William R. Bennett, „Transmission Network“, publikováno 15. března 1932
Podívejte se také
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">