Funkce Baire

V matematiky , Baire funkce jsou funkce získané ze spojité funkce podle transfinitní opakování operace plnění jednoduchých limity z posloupnosti funkcí .

Představil je René Baire . Sada Baire (en) je soubor, jehož funkce indikátoru je funkcí Baire (jakékoliv třídy).

Klasifikace funkcí Baire

Standardní definice

Ve třídě Baire funkce , pro většinu spočetnou pořadový , tvoří vektorový prostor reálných funkcí definovaných na topologického prostoru , definovány následovně: $\ alfa$ $\ alfa$

funkce třídy Baire 0 jsou spojité funkce ;
Funkce třídy Baire jsou jednoduché limity z sekvencí z třídy Baire funkcí ostře menší než . $\ alfa$ $\ alfa$

Baireovy funkce jsou pro některé funkce třídy (< ω₁ ). $\ alfa$ $\ alfa$

Henri Lebesgue prokázal (pro funkce definované v segmentu ), že jakákoli třída Baire pro počítatelné pořadové číslo obsahuje funkce, které nejsou nižší třídy, a že existují funkce, které do žádné třídy nepatří.

Libovolný jednotný limit řady funkcí skutečné třídy je třída . $\ alfa$ $\ alfa$

Další definice

Někteří autoři Poskytují restriktivnější definici, kromě třídních funkcí, které jsou striktně horší než třídní funkce, když jsou konečné; pak ztratíme strukturu vektorového prostoru. $ne$ $ne$ $ne$

Andreï Kolmogorov navrhuje část mírně upravené definice funkcí s parametry v autorizaci pouze z polynomiálních funkcí (v konečném počtu proměnných). Tyto dvě definice jsou ekvivalentní: ${\ mathbb {R}} ^ {N}$

Na jedné straně je jakákoli polynomiální funkce spojitá, tedy třídy 0 ve standardním smyslu;
Na druhou stranu, pokud je $f$ spojité , můžeme použít Stone-Weierstraßovu větu k nalezení posloupnosti funkcí , které jsou ve vzdálenosti nejvýše nad Hilbertovou krychlí , kompaktní podle Tychonovovy věty ; je pak jednoduchý limit. ${\ mathbb {R}} ^ {N}$ ${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $f_n$ ${\ displaystyle 2 ^ {- n}}$ $F$ ${\ displaystyle [-n, n] ^ {\ mathbb {N}}}$ $F$

Také tím, že s okamžitou indukci transfinitní, funkce třídy v Kolmogorov smyslu je i tak v souladu s naším standardním rozlišení, zatímco funkce třídy ve standardním smyslu je ve třídě ve Kolomogorov smyslu. Proto jsou funkce Baire ve standardním smyslu a ve smyslu Kolmogorovově stejné. $ne$ $ne$ $n + 1$

Elementárnějším způsobem (nepoužití tak silného zobecnění věty Weierstraße ani věty Tychonov) je možné ukázat, že funkce Baire v obvyklém smyslu jsou ve smyslu Kolmogorova ve dvou fázích : d 'nejprve uplatněním stejného uvažování k prokázání, že jakákoli spojitá funkce konečného počtu reálných proměnných je třídy 1 ve smyslu Kolmogorovova, poté je metrizovatelná vzdáleností , přístup podle funkcí (identifikovaných funkcemi konečné počet proměnných), což ukazuje, že jde o třídu 2. ${\ mathbb {R}} ^ {N}$ ${\ mathbb {R}} ^ {N}$ ${\ displaystyle d (u, v): = \ sup _ {n \ in \ mathbb {N}} [\ min (| u_ {n} -v_ {n} |, 2 ^ {- n})]}$ $F$ ${\ displaystyle f_ {n}: u \ mapsto f (u_ {0}, \ cdots, u_ {n}, 0, \ cdots, 0, \ cdots)}$

Baire třída 1

Funkce třídy Baire 1 jsou jednoduché limity posloupností spojitých funkcí.

Příklady:

derivát jakékoliv odvoditelné funkce je třída 1. příklad odvoditelné funkce s diskontinuálním derivátu je funkce platí v každém bodě , a na . Součet řady funkcí tohoto typu může dokonce poskytnout diferencovatelnou funkci, jejíž derivace je nespojitá přes hustou část . Body spojitosti této derivace však tvoří hustý G δ ; ${\ displaystyle x ^ {2} \ sin (1 / x)}$ $x \ neq 0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$
indikátorová funkce množiny celých čísel;
funkce Thomae . Má hustý soubor diskontinuit, jmenovitě soubor racionálních ;
Funkce indikátoru některého uzavřena z metrického prostoru . Lze k němu přistupovat spojitými funkcemi . $F$ ${\ displaystyle g_ {n}: x \ mapsto \ max (0,1-nd (x, F))}$

Baire charakterizace teorém říká, že pro funkci definovanou v průběhu kompletního metrického prostoru s hodnotami v Banachových prostoru , tyto tři podmínky jsou ekvivalentní: $F$ $X$

$F$ je Baire třída 1;
pro jakékoliv non prázdnou kompaktní podmnožinu z je omezení na , aby má bod kontinuity ( je opatřen na indukovanou topologie ); $K.$ $X$ $F$ $K.$ $K.$
pro všechny uzavřené vniknout z , omezení , aby se bod kontinuity. $F$ $X$ $F$ $F$

Podle jiné Bairovy věty pro jakoukoli funkci třídy Baire 1 tvoří body spojitosti G δ comaigre .

Baire třída 2

Příklad takové funkce, která není třídy 1, je dána Dirichletovou funkcí (ukazatel množiny racionálních), která nikde není spojitá .

Baire třída 3

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Baireova funkce “ ( viz seznam autorů ) .

René Baire, „ K reprezentaci nespojitých funkcí “, Acta Mathematica , Montpellier,1905( číst online ).
Posloupnost funkcí, které jsou (podle definice) indexovány N , nelze definici rozšířit nad ω₁ .
(in) Andrej Nikolaevich Kolmogorov ( překlad z němčiny Nathan Morrison), Základy teorie pravděpodobnosti [" Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung "], New York, Chelsea Publishing Company,1933, 84 s. ( OCLC 185529381 , číst online ) , dodatek: Zákon nula-nebo-jeden v teorii pravděpodobnosti, str. 69 , poznámka 2.
Toto je součet řadových čísel, což odpovídá sčítání celých čísel, pokud je n konečné, ale splňuje $1+ n = n,$ jakmile je n nekonečné.
(in) Charles Stegall, „ Funkce první třídy Baire s hodnotami v Banachových prostorech “ , Proc. Hořký. Matematika. Soc. , sv. 111,1991, str. 981-991 ( číst online ).
(in) Alexander S. Kechris , Classical Descriptive Set Theory , Springer-Verlag,1995, Věta 24.14.

Příloha

Související články

externí odkazy

(en) „Baire classes“ , Michiel Hazewinkel , Encyklopedie matematiky , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , číst online )
(en) Eric W. Weisstein , „ Baire Function “ , na MathWorld