V algebře , je sesquilinear forma na komplexní vektor prostor E je mapa z E x E v ℂ, lineární podle jednoho z proměnných a semi-lineární vzhledem k druhé proměnné. Má tedy vlastnost „jeden a půl“ linearity (srov. Předpona sesqui , což znamená „v poměru jeden a půl“). Je to komplexní ekvivalent skutečných bilineárních forem .
Mezi studované sesquilinear formy jsou Hermitovské formy , které odpovídají symetrické (real) bilineární formy. Mezi nimi jsou pozitivně definitní Hermitovské formy, aby bylo možné zajistit E se skalárním součinem a otevřený ke studiu hermitovských prostorů , komplexní prehilbertian prostory a Hilbertovy prostory .
Původně plánovaný jako první krok k vytvoření hermitovské formy na ℂ, lze pojem sesquilineární formy rozšířit na vektorové prostory na jiných tělesech a dokonce i na moduly na prstencích .
Nechť E je ℂ-vektorový prostor, mapa φ od E do ℂ je semi-lineární (nebo antilineární ) forma, pokud respektuje sčítání a téměř násobení skalárem: pro všechna x , y z E , pro všechna λ z ℂ:
kde λ je konjugát z lambda .
Pololineární aplikace (nebo formulář) ověřuje:
což ospravedlňuje další použitý termín: anti-lineární aplikace.
Následující konvence ukládají volbu argumentu, který je lineární. Níže uvedená volba (sesquilineární forma vlevo: první semi-lineární proměnná, druhá lineární proměnná) je používána všemi fyziky, což je původně způsobeno použitím bra-ket notace (možná ne univerzální), ale opačná volba má byly v matematice běžné od padesátých let.
Nechť E a F jsou komplexní vektorové prostory, mapa f : E × F → ℂ je levá sesquilineární forma, pokud:
a) Je lineární vpravo: pro všechna x z E , y , y ' z F , pro všechna λ z ℂ: b) se nechá semi-lineární , což znamená, že pro všechny x , x ' z E a y z F , pro všechny lambda o ℂ: .Sesquilineární formy (vlevo) tvoří komplexní vektorový podprostor prostoru map E × F v ℂ.
Mapa f : E × F → ℂ je pravá sesquilineární forma , právě když mapa g : F × E → ℂ, definovaná g ( x , y ) = f ( y , x ), je seskvilineární vlevo.
Doleva (. Respektive vpravo) Hermitian (nebo sesquilinear ) forma přes komplexní vektor prostor E je levý (respektive vpravo, podle zvolené úmluvy.) Sesquilinear podobě na E x E , která splňuje Hermitian symetrie vlastnost:
Pro všechny x a y z E ,Zejména pro jakýkoli vektor x z E : , a proto je reálné číslo.
Naopak sesquilineární forma f , takže f ( x , x ) je reálná pro libovolný vektor x , je Hermitian.
DemonstracePokud je pro všechna x komplexní číslo f ( x , x ) skutečné, pak pro všechna y a z , a totéž (nahrazením z za i z ) Dvě čísla f ( y , z ) a f ( z , y ) mají tedy skutečný součet a čistý imaginární rozdíl , tj. Jsou konjugovaná.
Hermitovské formy (vlevo) tvoří skutečný vektorový podprostor prostoru seskvilineárních forem (vlevo).
Pozitivní Hermitian forma je sesquilinear forma, jako je:
Pro každou x části E , ,to je pak Hermitian, podle výše uvedené charakterizace.
Definitivní Hermitian forma je Hermitian forma tak, že
pro všechny x z E , vyplýváNedegenerovaný Hermitian forma je Hermitian forma, jako je:
pro všechny x z E , je-li pro všechny y z E , potomJakákoli určitá hermitovská forma je tedy nedegenerovaná. Pro pozitivní hermitovskou formu platí obrácení díky Cauchy-Schwarzově nerovnosti : je definována jakákoli nedegenerovaná pozitivní hermitovská forma.
Pozitivně definitní Hermitian forma (nebo nedegenerovaný pozitivní) je také nazýván Hermitian tečka produkt .
Nechť K tělo a å se automorphism řádu 2 (to znamená, že involutive ) a V vektorový prostor přes pole K . Pravá sesquilineární forma je mapa h : V × V → K taková, že:
Jinými slovy, h je lineární vlevo a semi-lineární vpravo.
Pokud navíc forma splňuje následující vlastnost, známou jako hermitovská symetrie: sesquilinear forma je Hermitian forma a podmínky 2) a 4) je provedeno automaticky, jakmile podmínek 1) a 3).
Nechť A je nekomutativní kroužek a U a V dva -modules na levé straně. Domníváme se, že je anti-automorphism å na A , tj bijection na A , který by splňoval, pro všechny a a P z A , σ (α + β) = σ (a) + σ (β) a σ (αβ) = å ( β) σ (α).
Pravá sesquilineární forma na U × V je mapa h od U × V do A , lineární vlevo a pololineární vpravo, tj. Ověřující: